Putnam 2014 A3

#1

Η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right)}$ ορίζεται αναδρομικά ως εξής: $\displaystyle{{a_0} = \frac{5}{2}}$ και $\displaystyle{{a_k} = a_{k - 1}^2 - 2}$ για κάθε θετικό ακέραιο

. Να υπολογίσετε (σε κλειστή μορφή) το γινόμενο $\displaystyle{\prod\limits_{k = 0}^\infty {\left( {1 - \frac{1}{{{a_k}}}} \right)} .}$

fdns · #2

Ας βάλουμε μια λύση:

Παρατηρούμε ότι: $a_{n+1}=a_{n}^2-2 \Leftrightarrow a_{n+1}+1=(a_{n}+1)(a_{n}-1)$

Απ΄όπου τηλεσκοπικά έχουμε ότι: $\dfrac{a_{n+1}+1}{a_{0}+1}=(a_{n}-1)\dots (a_{0}-1)$ (1)

Επίσης: $a_{n+1}=a_{n}^2-2 \Leftrightarrow a_{n+1}-2=(a_{n}-2)(a_{n}+2)$

Πάλι τηλεσκοπικά λαμβάνουμε ότι: $\dfrac{a_{n+1}-2}{a_{0}-2}=(a_{n}+2)\dots (a_{0}+2)$ (2)

Τέλος, πολλαπλασιάζοντας την αρχική κατά μέλη από 0 έως n παίρνουμε ότι:
$\displaystyle{(a_{n}\dots a_{0})^2 =\dfrac{(a_{n+1}+2)\dots (a_{0}+2)}{a_{0}-2}}$ (3)

Επαγωγικά, αποδεικνύεται εύκολα ότι $a_{n}>2$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$

Άρα, έπεται ότι $a_{n+1}-a_{n}=a_{n}^2-a_{n}-2=(a_{n}+1)(a_{n}-2)>0$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$

Οπότε, η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα, άρα θα έχει ή πεπερασμένο η άπειρο όριο.
Αν το όριό της ήταν πεπερασμένο, περνώντας τα όρια στη σχέση θα είχαμε ότι $\lim_{n\to\infty}a_{n}=2$ . Άτοπο

Άρα, $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty}$ (4)

Από τις (1) έως (4) έχουμε ότι: $\displaystyle\left(\prod_{k=0}^n\dfrac{a_{k}-1}{a_{k}} \right)^2=\dfrac{(a_{n+1}+1)^2}{(a_{0}+1)^2}\cdot\dfrac{a_{0}-2}{a_{n+2}-2}=\dfrac{3^2}{7^2}\cdot\dfrac{(a_{n+1}+1)^2}{a_{n+1}^2-4}\to\dfrac{3^2}{7^2}}$

Άρα το ζητούμενο όριο είναι $\dfrac{3}{7}$

fdns · #3

Να πω για την ιστορία, ότι αυτή η αναδρομική είναι πολύ παλιά και πολύ γνωστή:
Μια περίπτωση που εμφανίζεται, είναι στην πρώτη ημέρα του IMC 2010, αλλά έχω την εντύπωση ότι την έχω ξαναδεί και σε παλιό διαγωνισμό της ΕΜΕ!

Πραγματικά περίεργο για διαγωνισμό τέτοιας εμβέλειας...

Putnam 2014 A3

Putnam 2014 A3

Re: Putnam 2014 A3

Re: Putnam 2014 A3

Μέλη σε σύνδεση