Putnam 2014 B2

#1

Έστω $\displaystyle{f:\left[ {1,3} \right] \to \left[ { - 1,1} \right]}$ μια συνάρτηση τέτοια, ώστε $\displaystyle{\int_1^3 {f\left( x \right)dx = 0} .}$ Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} .}$

Σημείωση: Στην εκφώνηση δε διευκρινίζεται αν η

είναι συνεχής, ή απλά ολοκληρώσιμη. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει το δεύτερο...

#2

Μία διαισθητική (και μόνο) προσέγγιση και απάντηση, ευπρόσδεκτη κάθε βελτίωση ή ακόμη και διόρθωση:

Για να μεγιστοποιήσουμε το ζητούμενο ελαχιστοποιούμε το αρνητικό μέρος του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας μία συνάρτηση που είναι αρνητική ακριβώς εκεί όπου ο παρονομαστής μεγιστοποιείται: θεωρώντας λοιπόν μία συνάρτηση σταθερά ίση προς

στο

και σταθερά ίση προς

στο

λαμβάνουμε

$\displaystyle\int_{1}^{3}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}dx}=\int_{1}^{2}{\displaystyle\frac{1}{x}dx}+\int_{2}^{3}{\displaystyle\frac{-1}{x}dx}=ln2+ln(\displaystyle\frac{2}{3})=ln(\displaystyle\frac{4}{3})$

... που πιστεύω ότι είναι όντως η μέγιστη δυνατή τιμή του παραπάνω ολοκληρώματος κάτω από τις δοθείσες συνθήκες.

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

Όντως Γιώργο, σωστή η διαίσθησή σου. Μπορούμε να το αποδείξουμε ως εξής:

$\displaystyle{ \int_1^3 \frac{f(x)}{x} \, dx = \int_1^2 \frac{f(x)-1}{x} \, dx + \int_2^3 \frac{f(x)+1}{x} \, dx + \log{(4/3)}}$

Επειδή όμως $-1 \leqslant f(x) \leqslant 1$ τότε είναι

$\displaystyle{ \int_1^2 \frac{f(x)-1}{x} \, dx \leqslant \int_1^2 \frac{f(x)-1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^2 f(x) \, dx - \frac{1}{4}}$

και ομοίως

$\displaystyle{ \int_2^3 \frac{f(x)+1}{x} \, dx \leqslant \frac{1}{2} \int_2^3 f(x) \, dx + \frac{1}{4}.}$

Προσθέτοντας παίρνουμε $\displaystyle{\int_1^3 \frac{f(x)}{x} \, dx \leqslant \log{(4/3)}}$ με ισότητα π.χ. για την συνάρτηση του Γιώργου.

Putnam 2014 B2

Putnam 2014 B2

Re: Putnam 2014 B2

Re: Putnam 2014 B2

Μέλη σε σύνδεση