Εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με την ιδιότητα :

$f(x)f(y)=f(\sqrt{x^2+y^2}) , (\forall ) x,y\in \mathbb{R}$

#2

Αν f σταθερή τότε $\displaystyle{f(x)=1}$ ή $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ στο $\displaystyle{R}$

Αν $\displaystyle{f}$ όχι σταθερή τότε $\displaystyle{f}$ άρτια αφού $\displaystyle{f(x)f(y)=f(-x)f(y)}$ οπότε για $\displaystyle{y=a}$ με $\displaystyle{f(a)\ne 0}$ είναι $\displaystyle{f(x)=f(-x)}$

αρκεί να μελετηθεί για $\displaystyle{x\ge 0}$ (συμμετρική ως προς y'y)
Εύκολα $\displaystyle{f(0)=0}$ ή $\displaystyle{ f(0)=1}$

Eαν $\displaystyle{f(0)=0,0=f(x)f(0)=f(|x|)=f(x)}$ για κάθε χ στο R

Eαν $\displaystyle{f(0)=1}$ τότε $\displaystyle{f(x)=f(|x|)=f(\sqrt{x^2})}$ οπότε θέτοντας $\displaystyle{g(x)=f(\sqrt{x})}$ η αρχική σχέση γίνεται για $\displaystyle{x\ge 0 , g(x^2)g(y^2)=g(x^2+y^2)\Rightarrow g(x)g(y)=g(x+y)}$ απο οπου προκύπτει ότι αν g ειχε ρίζα θα ήταν η μηδενική (τετριμμένο) και για $\displaystyle{x=y=t/2 , g(t)=g^2(t/2)>0}$

Θέτουμε $\displaystyle{h(x)=lng(x)}$ πότε παίρνουμε $\displaystyle{h(x+y)=h(x)+h(y) (Cauchy)}$ που έχει συνεχείς λύσεις τις $\displaystyle{h(x)=ax \Rightarrow g(x)=e^{ax}\Rightarrow f(x)=e^{ax^2}}$

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Θα σας μαλώσω κύριε Μπάμπη, έχουμε ανοίξει ένα φάκελο που τοποθετούμε όλες τις συναρτησιακές σχέσεις viewtopic.php?f=55&t=3293, όλα μαζί σε ένα τακτοποιημένα!! Οι κανόνες λένε ότι δεν ανοίγουμε νέο θέμα όταν υπάρχει ήδη παλιό! Θα ενημερώσω τους συντονιστές για την απερισκεψία σας! Επιτέλους μάλωσα και εγώ κάποιον!!

Φυσικά και αστειεύομαι αλλά κάποια στιγμή πρέπει να μπει ένα συμμάζεμα στα θέματα-φακέλους, όπως το δωμάτιο μου που το περιποιούμαι μια φορά τον μήνα και μου παίρνει μια ολόκληρη μέρα!

Υ.Γ: Και ο συνήθης λύτης αυτών των ασκήσεων είναι ο Boris!! Όπως ο συχνός θεματοδότης ολοκληρωμάτων (κυρίως βραδινών) είναι ο mathxl, μάλλον θέλει να εκδώσει ένα βιβλίο "Τα ξενυχτισμένα ολοκληρώματα" αν το εκδώσω εγώ θα το ονομάσω "Τα μαύρα μου μεσάνυχτα στα ολοκληρώματα"

pito · #4

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Όπως ο συχνός θεματοδότης ολοκληρωμάτων (κυρίως βραδινών) είναι ο mathxl, μάλλον θέλει να εκδώσει ένα βιβλίο "Τα ξενυχτισμένα ολοκληρώματα" αν το εκδώσω εγώ θα το ονομάσω "Τα μαύρα μου μεσάνυχτα στα ολοκληρώματα"[/size]

Μάκη έγραψες!

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση