Επίκαιρη εξίσωση

#21

stranton έγραψε:Η παραγοντοποίηση μπορεί να εκτελεστεί και όπως εδώ.

Το θέμα βρίσκεται βέβαιο στο φάκελο της Α' Λυκείου, αλλά
ισότητα πολυωνύμων υπάρχει στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου.

Πράγματι!

Πρόκειται, μάλιστα, για μια στάνταρ μέθοδος παραγοντοποίησης πολυωνύμου 4ου βαθμού με ακέραιους συντελεστές (εφόσον υπάρχει τέτοια παραγοντοποίηση στο $\mathbb{Z}[x]$ )!

Δεν ξέρω πόσο διδάσκεται κι αυτή, όμως, αλλά στο συγκεκριμένο πρόβλημα μας λύνει τα χέρια με την παραγοντοποίηση, αν κάνουμε το ανάπτυγμα πρώτα.

Για ακόμα πιο δύσκολο παράδειγμα με πολυώνυμο 5ου βαθμού δείτε εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

gavrilos · #22

Καλησπέρα.

Γράφω για να πω δύο πράγματα

Πρώτον,για να μην περάσουν λανθασμένα μηνύματα σε αυτούς που διαβάζουν,αν και απόλυτα σωστή,η χρήση των τύπων τριωνύμου συχνά δεν είναι η ενδεδειγμένη.

Το πρώτο πράγμα που προσπαθεί κανείς όταν δει την εξίσωση $\displaystyle{2x^{4}+13x^{3}+33x^{2}+55x+25=0}$ είναι να παραγοντοποιήσει

(να κάνει δηλαδή αυτό που έκανε ο κύριος Δημήτρης στο πόστ 7 στην προηγούμενη σελίδα)

κι όχι να την μετασχηματίσει σε $\displaystyle{(x^2+3x+5)^{2}+(5x+x^2)(x^2+3x+5)-x^3-6x^2=0}$ και να πάρει διακρίνουσα

.

Απλά στην συγκεκριμένη περίπτωση ο κύριος Δημήτρης την έδωσε σκόπιμα σε αυτή τη μορφή για να φανεί και η μέθοδος του τριωνύμου.

Στις περισσότερες περιπτώσεις όμως η εξίσωση θα μας δοθεί στην πλήρως ανεπτυγμένη μορφή.

Δεύτερον,

chris_gatos έγραψε:Αλήθεια μαζί με το διδακτικό εγχειρίδιο που κάποιοι όταν τους βολεύει το θυμούνται (όταν αρχίζουν τα σφιξίματα συνήθως) ενώ το κατακεραυνώνουν
όταν δεν τους βολεύει...

Μπράβο κύριε Χρήστο που λέτε τα πράγματα όπως είναι.Αυτή η υποκρισία θα πρέπει να σταματήσει.

Μόνο αν ακολουθούμε πάντα πιστά το βιβλίο έχουμε το δικαίωμα να πούμε "αυτά δεν υπάρχουν στο βιβλίο".

Αλλιώς,ακόμη κι όταν αρχίζουν τα σκούρα,δεν έχουμε δικαίωμα να το επικαλεστούμε.

Καλό βράδυ.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#23

Σχετικά με τη χρήση διακρίνουσας σε δευτεροβάθμιες παραστάσεις, ας θυμηθούμε και την εξής περίπτωση:

$\displaystyle{\bullet}$ Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\sqrt{5-x}=5-x^2.}$

$\displaystyle{\rule{200pt}{1pt}}$

Για $\displaystyle{x\in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]}$ η εξίσωση γράφεται μετά από ύψωση στο τετράγωνο

$\displaystyle{5^2-(2x^2+1)5+x^4+x=0.}$

Αυτή την βλέπουμε σαν δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς το $\displaystyle{5}$ (!!!)

Είναι

$\displaystyle{\Delta =(2x-1)^2}$ άρα

$\displaystyle{5=\frac{2x^2+1\pm (2x-1)}{2}}$ .

Άρα αναγόμαστε στις εξισώσεις

$\displaystyle{x^2+x-5=0,~x^2-x-4=0,}$

οι οποίες έχουν ρίζες

$\displaystyle{\frac{-1\pm \sqrt{21}}{2},~\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}.}$

Εύκολα βλέπουμε ότι δεκτές είναι μόνον οι

$\displaystyle{\frac{-1+ \sqrt{21}}{2},~\frac{1- \sqrt{17}}{2}.}$

Λάμπρος Μπαλός · #24

matha έγραψε:Σχετικά με τη χρήση διακρίνουσας σε δευτεροβάθμιες παραστάσεις, ας θυμηθούμε και την εξής περίπτωση:

$\displaystyle{\bullet}$ Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\sqrt{5-x}=5-x^2.}$

$\displaystyle{\rule{200pt}{1pt}}$

Για $\displaystyle{x\in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]}$ η εξίσωση γράφεται μετά από ύψωση στο τετράγωνο

$\displaystyle{5^2-(2x^2+1)5+x^4+x=0.}$

Αυτή την βλέπουμε σαν δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς το $\displaystyle{5}$ (!!!)

Είναι

$\displaystyle{\Delta =(2x-1)^2}$ άρα

$\displaystyle{5=\frac{2x^2+1\pm (2x-1)}{2}}$ .

Άρα αναγόμαστε στις εξισώσεις

$\displaystyle{x^2+x-5=0,~x^2-x-4=0,}$

οι οποίες έχουν ρίζες

$\displaystyle{\frac{-1\pm \sqrt{21}}{2},~\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}.}$

Εύκολα βλέπουμε ότι δεκτές είναι μόνον οι

$\displaystyle{\frac{-1+ \sqrt{21}}{2},~\frac{1- \sqrt{17}}{2}.}$

Πολύ όμορφο κύριε Μάγκο.

#25

Θάνο, ωραιότατο παράδειγμα, που δείχνει ότι δεν χρειάζεται να κάνουμε την συμπλήρωση τετραγώνου, αλλά την χρήση της διακρίνουσας, αφού ουσιαστικά από την θεωρία του σχολικού, προκύπτει η διακρίνουσα από την συμπλήρωση τετραγώνου. Αν κάποιος μαθητής μου έλυνε έτσι την άσκηση, θα τον επαινούσα για την ευρηματικότητά του και τον πρωτότυπο τρόπο σκέψης του.

#26

matha έγραψε: $\displaystyle{5^2-(2x^2+1)5+x^4+x=0.}$

Αυτή την βλέπουμε σαν δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς το $\displaystyle{5}$ (!!!)

Αρχιμήδης 6 · #27

Έξυπνο.

Αν κάτι τέτοιο γίνεται με τον

θα ισχύει και γενικά δηλαδή το αυτό για την

$\sqrt{a-x}=a-x^2$

Επίκαιρη εξίσωση

Re: Επίκαιρη εξίσωση

Re: Επίκαιρη εξίσωση

Re: Επίκαιρη εξίσωση

Re: Επίκαιρη εξίσωση

Re: Επίκαιρη εξίσωση

Re: Επίκαιρη εξίσωση

Re: Επίκαιρη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση