Ενδιαφέρουσα κατασκευή

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

f'(0)=f'(c)=0

,

,

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)dt>0$ ,

$\displaystyle f'(x)(x-c)+1=f(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt,\forall x\in \mathbb{R}$

A. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,c)$ , ώστε $\displaystyle \int_{0}^{\xi }f(t)dt=1$ .

B. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle \frac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{x-\xi }=\frac{\int_{1}^{x}f(t)dt}{x}$ , να έχει τουλάχιστον μία λύση στο $(0,\xi )$ .

Γ. Αν η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα, τότε να δείξετε:

i) $\displaystyle f(x)\geq 1-\int_{0}^{c}f(t)dt$ .

ii) Υπάρχει, τουλάχιστον ένα, $x_{0}\in (0,\xi )$ , ώστε $f'(x_{0})=0$ .

iii) $\displaystyle f'(x)+f(x)<f(x+1)<f'(x+1)+f(x)$ .

#2

Επειδή το ποστ έχει τον προκλητικό τίτλο "Ενδιαφέρουσα κατασκευή" ας επαναλάβω (κοπή/αντιγραφή) ένα σχόλιό μου σε άλλο ποστ. Παλαιότερα έχω εκφράσει ξανά τον ίδιο προβληματισμό, και δεν θα σταματήσω να το κάνω.

Σχόλιο. Ασκήσεις αυτού του τύπου συναντώνται μόνο στην ελληνική βιβλιογραφία. Πρόκειται για παγκόσμια μοναδικότητα. Δράττομαι της ευκαιρίας να πω την γνώμη μου: Παρ' όλες τις όποιες αρετές αυτού του τύπου ασκήσεων, δυστυχώς θεωρώ ότι είναι είδος που αποτρέπει τους μαθητές από τα κομψά Μαθηματικά, ως επιτηδευμένες, ωθώντας τους σε εξεζητημένη ασκησιολογία. Βέβαια σηκώνει πολλή συζήτηση το θέμα, αλλά γράφω την γνώμη μου μήπως ο νομοθέτης και οι θεματοθέτες στις Πανελλήνιες Εξετάσεις ευαισθητοποιηθούν. Κοντολογίς, αναρωτιέμαι αν τα Μαθηματικά αυτά είναι εκείνα που πρέπει να μάθουν τα παιδιά μας. Είναι χρήσιμα; Είναι καλά; Είναι στον σωστό δρόμο; Έχω τις επιφυλάξεις μου.

Μ.

#3

M.S.Vovos έγραψε: , ,

M.S.Vovos έγραψε: Γ. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τότε να δείξετε:

Και αφού τα κάνετε όλα μα όλα όσα ζητά η άσκηση, δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση με τις παραπάνω ιδιότητες.

Ενδιαφέρουσα κατασκευή

Ενδιαφέρουσα κατασκευή

Re: Ενδιαφέρουσα κατασκευή

Re: Ενδιαφέρουσα κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση