Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρος)

Soteris · #1

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Αν $\displaystyle{\alpha=5-2\dfrac{1}{3}}$ και $\displaystyle{\beta=\dfrac{\frac{8}{5}\cdot\frac{45}{12}}{9-3}}$ , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=\alpha\div\beta^{2015}+3-\dfrac{4}{6\cdot\alpha}}$

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ , αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι $\displaystyle{6 cm^2}$ , να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.

: Α2.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 1860 φορές

Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος $\displaystyle{n}$ είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του $\displaystyle{15}$ τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε $\displaystyle{8}$ είτε $\displaystyle{0}$ . Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\dfrac{n}{15}}$ .

Πρόβλημα 4

Από τους μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης ενός Γυμνασίου, το $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ είναι στο χορευτικό όμιλο, το $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ είναι στον μουσικό όμιλο, το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ είναι στον αθλητικό όμιλο ενώ οι υπόλοιποι $\displaystyle{60}$ μαθητές ανήκουν σε άλλους ομίλους. Αν οι μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στους τρεις αυτούς ομίλους είναι μόνο σε ένα όμιλο, εκτός από $\displaystyle{8}$ μαθητές που είναι και στο χορευτικό και στον μουσικό όμιλο, να βρείτε:

(α) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου

(β) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στον αθλητικό όμιλο

ealexiou · #2

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος $\displaystyle{n}$ είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του $\displaystyle{15}$ τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε $\displaystyle{8}$ είτε $\displaystyle{0}$ . Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\dfrac{n}{15}}$ .

$15=3\cdot5$ , άρα το τελευταίο ψηφίο είναι

και το άθροισμα των ψηφίων πολλαπλάσιο του

, άρα το μικρότερο άθροισμα ψηφίων είναι $3\cdot 8=24$ ο αριθμός είναι ο 808080

papamixalis · #3

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Αν $\displaystyle{\alpha=5-2\dfrac{1}{3}}$ και $\displaystyle{\beta=\dfrac{\frac{8}{5}\cdot\frac{45}{12}}{9-3}}$ , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=\alpha\div\beta^{2015}+3-\dfrac{4}{6\cdot\alpha}}$

Καλησπέρα

$a=5-\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}$

Στο

γίνονται απλοποιήσεις και προκύπτει ότι

b=1

$A=\dfrac{8}{3} + 3-\dfrac{1}{4}=\dfrac{65}{12}$

Φιλικά
Μιχάλης

#4

ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος $\displaystyle{n}$ είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του $\displaystyle{15}$ τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε $\displaystyle{8}$ είτε $\displaystyle{0}$ . Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\dfrac{n}{15}}$ .
$15=3\cdot5$ , άρα το τελευταίο ψηφίο είναι και το άθροισμα των ψηφίων πολλαπλάσιο του , άρα το μικρότερο άθροισμα ψηφίων είναι $3\cdot 8=24$ ο αριθμός είναι ο

Μας κάνει και ο n=8880.

Ωραίο θεματάκι!

ealexiou · #5

socrates έγραψε:
ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος $\displaystyle{n}$ είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του $\displaystyle{15}$ τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε $\displaystyle{8}$ είτε $\displaystyle{0}$ . Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\dfrac{n}{15}}$ .
$15=3\cdot5$ , άρα το τελευταίο ψηφίο είναι και το άθροισμα των ψηφίων πολλαπλάσιο του , άρα το μικρότερο άθροισμα ψηφίων είναι $3\cdot 8=24$ ο αριθμός είναι ο
Μας κάνει και ο

Ωραίο θεματάκι!

Σωστά!

papamixalis · #6

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ , αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι $\displaystyle{6 cm^2}$ , να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.

Εικόνα

$\dfrac{x\cdot y}{2}=6$

Η

ενώνει τα μέσα D,E

άρα θα είναι παράλληλη προς την βάση και ίση με το μισό της.

Αν DE=y

τότε

$(ABC)=\dfrac{2x\cdot 2y}{2}=24 cm^2$

Οπότε το υπόλοιπο εμβαδόν είναι 18 cm^2

Φιλικά
Μιχάλης

ealexiou · #7

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4
Από τους μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης ενός Γυμνασίου, το $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ είναι στο χορευτικό όμιλο, το $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ είναι στον μουσικό όμιλο, το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ είναι στον αθλητικό όμιλο ενώ οι υπόλοιποι $\displaystyle{60}$ μαθητές ανήκουν σε άλλους ομίλους. Αν οι μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στους τρεις αυτούς ομίλους είναι μόνο σε ένα όμιλο, εκτός από $\displaystyle{8}$ μαθητές που είναι και στο χορευτικό και στον μουσικό όμιλο, να βρείτε:

(α) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου

(β) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στον αθλητικό όμιλο

Αν

το πλήθος των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου τότε:

$N=\dfrac{N}{3}+\dfrac{N}{4}+\dfrac{N}{5}+60-8$ (που διπλομετρήθηκαν και στον χορευτικό και στον μουσικό όμιλο)

$\Rightarrow N=\dfrac{47N}{60}+52\Rightarrow 13N=52\cdot60 \Rightarrow \boxed{N=240}$

papamixalis · #8

Πρόβλημα 4

Από τους μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης ενός Γυμνασίου, το $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ είναι στο χορευτικό όμιλο, το $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ είναι στον μουσικό όμιλο, το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ είναι στον αθλητικό όμιλο ενώ οι υπόλοιποι $\displaystyle{60}$ μαθητές ανήκουν σε άλλους ομίλους. Αν οι μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στους τρεις αυτούς ομίλους είναι μόνο σε ένα όμιλο, εκτός από $\displaystyle{8}$ μαθητές που είναι και στο χορευτικό και στον μουσικό όμιλο, να βρείτε:

(α) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου

(β) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στον αθλητικό όμιλο

Καλησπέρα.

a)Έστω

όλοι οι μαθητές.

$\dfrac{1x}{4}+\dfrac{1x}{5} + \dfrac{1x}{3} + 60 - 8 = x$

Άρα

x=240

b)
Οι μαθητές που είναι στον αθλητικό σύλλογο είναι $\dfrac{240}{3}=80$ μαθητές.

Φιλικά
Μιχάλης

Soteris · #9

Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 1 και 3, αφού τα προβλήματα 2 και 4 ήταν κοινά με την Α' Γυμνασίου.

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{A=\dfrac{2x-\left(\frac{5}{3}\right)^4\cdot3^4+5^4}{\left[1-\left(-1\right)^{2015}\right]^3}}$ και $\displaystyle{B=\dfrac{3\cdot\left[\left(-2\right)^3+\left(-3\right)^2\right]^{12}}{5^2-4^2}+\dfrac{x-2}{3}}$ .
Αν $\displaystyle{A=B}$ , να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Πρόβλημα 3

Σε τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ , το σημείο $\displaystyle{E}$ βρίσκεται πάνω στην πλευρά $\displaystyle{A\Delta}$ και το σημείο $\displaystyle{Z}$ βρίσκεται στην πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{BE=EZ=Z\Delta=30 cm}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .

#10

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 1 και 3, αφού τα προβλήματα 2 και 4 ήταν κοινά με την Α' Γυμνασίου.

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{A=\dfrac{2x-\left(\frac{5}{3}\right)^4\cdot3^4+5^4}{\left[1-\left(-1\right)^{2015}\right]^3}}$ και $\displaystyle{B=\dfrac{3\cdot\left[\left(-2\right)^3+\left(-3\right)^2\right]^{12}}{5^2-4^2}+\dfrac{x-2}{3}}$ .
Αν $\displaystyle{A=B}$ , να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Καλημέρα.

$\displaystyle{A = \frac{{2x - \frac{{{5^4}}}{{{3^4}}} \cdot {3^4} + {5^4}}}{{{{[1 - ( - 1)]}^3}}} = \frac{{2x}}{{{2^3}}} = \frac{{2x}}{8} = \frac{x}{4}}$

$\displaystyle{B = \frac{{3{{( - 8 + 9)}^{12}}}}{{25 - 16}} + \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{3 \cdot {1^{12}}}}{9} + \frac{{x - 2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{x - 1}}{3}}$

$\displaystyle{A = B \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{{x - 1}}{3} \Leftrightarrow 4x - 4 = 3x \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=4}$

#11

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 1 και 3, αφού τα προβλήματα 2 και 4 ήταν κοινά με την Α' Γυμνασίου.

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

Σε τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ , το σημείο $\displaystyle{E}$ βρίσκεται πάνω στην πλευρά $\displaystyle{A\Delta}$ και το σημείο $\displaystyle{Z}$ βρίσκεται στην πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{BE=EZ=Z\Delta=30 cm}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .

: Κύπρος Γυμνάσιο.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 1705 φορές

Φέρνω τις

κάθετες στην $A\Delta$ (

σημείο της $A\Delta$ και

σημείο της $B\Gamma$ .) Σχηματίζονται έτσι τρία ορθογώνια που έχουν μία βάση ίση με την πλευρά

του τετραγώνου και ίσες διαγώνιες. Άρα τα ορθογώνια θα έχουν και την άλλη βάση ίση με $\displaystyle{\frac{a}{3}}$ .

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο AEB

:
$\displaystyle{B{E^2} = A{B^2} + A{E^2} \Leftrightarrow {30^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow 900 = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{9} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{8100 = 10{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = 810 \Leftrightarrow }$ $\boxed{(AB\Gamma\Delta)=810cm^2}$

Soteris · #12

Το πρόβλημα 2 της Γ' Γυμνασίου ήταν το ίδιο με το πρόβλημα 3 της Β' Γυμνασίου.

Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: $\displaystyle{\left(\alpha+\beta\right)^2-\left(\alpha-\beta\right)^2=4\alpha\beta}$

(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{\left(\dfrac{154}{153}+\dfrac{153}{154}\right)^2-\left(\dfrac{153}{154}-\dfrac{154}{153}\right)^2}$

(γ) Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού: $\displaystyle{\left(\dfrac{5^{2009}+2^{2008}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5^{2009}-2^{2008}}{2}\right)^2}$

Πρόβλημα 3

Ένα Γυμνάσιο θα διοργανώσει φεστιβάλ χορού στα πλαίσια λειτουργίας των ομίλων. Στο φεστιβάλ χορού θα συμμετέχει το $\displaystyle{60\%}$ του αριθμού των αγοριών και το $\displaystyle{90\%}$ του αριθμού των κοριτσιών του σχολείου. Τα αγόρια που θα συμμετέχουν αν σχηματίσουν τριάδες δεν περισσεύει κανείς, ενώ αν σχηματίσουν πεντάδες ή επτάδες τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν τρία αγόρια. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από $\displaystyle{100}$ και λιγότερα από $\displaystyle{200}$ . Αν το $\displaystyle{90\%}$ των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο $\displaystyle{60\%}$ των αγοριών, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Γυμνασίου.

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Να βρείτε το άθροισμα όλων των τιμών του $\displaystyle{x}$ , που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7}}$

papamixalis · #13

Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: $\displaystyle{\left(\alpha+\beta\right)^2-\left(\alpha-\beta\right)^2=4\alpha\beta}$

(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{\left(\dfrac{154}{153}+\dfrac{153}{154}\right)^2-\left(\dfrac{153}{154}-\dfrac{154}{153}\right)^2}$

(γ) Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού: $\displaystyle{\left(\dfrac{5^{2009}+2^{2008}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5^{2009}-2^{2008}}{2}\right)^2}$

Καλησπέρα

a) a^2+2ab+b^2 -a^2+2ab-b^2=4ab

b) $a=\dfrac{154}{153}$

$b=\dfrac{153}{154}$

$A=(\dfrac{154}{153}+\dfrac{153}{154})^2 -(\dfrac{154}{153}-\dfrac{153}{154})^2$

$A=4\cdot \dfrac{154}{153} \cdot \dfrac{153}{154}=4$

c) $B=4\cdot \dfrac{5^{2009}}{2} \cdot \dfrac{2^{2008}}{2}=5 \cdot (5\cdot 2)^{2008}=5\cdot 10^{2008}$

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι

Φιλικά
Μιχάλης

Christos.N · #14

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ , αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι $\displaystyle{6 cm^2}$ , να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.

Μπορεί κάποιος να παραπέμψει στην επίσημη λύση;

papamixalis · #15

Πρόβλημα 3

Ένα Γυμνάσιο θα διοργανώσει φεστιβάλ χορού στα πλαίσια λειτουργίας των ομίλων. Στο φεστιβάλ χορού θα συμμετέχει το $\displaystyle{60\%}$ του αριθμού των αγοριών και το $\displaystyle{90\%}$ του αριθμού των κοριτσιών του σχολείου. Τα αγόρια που θα συμμετέχουν αν σχηματίσουν τριάδες δεν περισσεύει κανείς, ενώ αν σχηματίσουν πεντάδες ή επτάδες τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν τρία αγόρια. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από $\displaystyle{100}$ και λιγότερα από $\displaystyle{200}$ . Αν το $\displaystyle{90\%}$ των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο $\displaystyle{60\%}$ των αγοριών, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Γυμνασίου.

Καλησπέρα

Έστω

τα αγόρια και

τα κορίτσια.

$100<x<200 \Leftrightarrow 60<0,6x<120$

Παίρνω με την σειρά τους αριθμούς από το

ως το

οι οποίοι όταν διαιρούνται με το

και το

αφήνουν υπόλοιπο

Για το

είναι:

Για το

είναι:

Ο κοινός αριθμός είναι το 108

ο οποίος διαιρείται με το

άρα ικανοποιεί τα δεδομένα.

$0,6x=108 \Leftrightarrow x=180$

Αφού $0,9y=2\cdot 0,6 x \Leftrightarrow y=240$

Άρα οι μαθητές είναι

x+y=420

Φιλικά
Μιχάλης

#16

Christos.N έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ , αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι $\displaystyle{6 cm^2}$ , να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.
Μπορεί κάποιος να παραπέμψει στην επίσημη λύση;

Google is your friend!
http://www.cms.org.cy/index.php?id=756

Christos.N · #17

socrates έγραψε: Google is your friend!
http://www.cms.org.cy/index.php?id=756

Yes in deed .....thank you my dear friend.

Γίνεται χρήση μόνο της γνώσης της διαμέσου, αν και στο συγκεκριμένο είναι δυνατόν μια βοηθητική γραμη να χωρίσει το τρίγωνο σε τέσσερα ίσα μέρη, για πιο διαισθητική προσέγγιση.

όπου βλέπεται γραμή είναι η γνωστή γραμμή.

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

Μέλη σε σύνδεση