Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#61

Μετά από μια ''εξαντλητική" μέρα στις Βρυξέλλες και αφού τη "γλίτωσα" ακόμα μια φορά από τους τσιχαντιστές θυμήθηκα μια από τις πολλές προτάσεις
του Κώστα(Βήττα) στα τυχόντα ορθογώνια επί των πλευρών τριγώνου

Άσκηση 23 (Μία από τις πολλές προτάσεις Vittasko στα ορθογώνια)

: Μια πρόταση Vittasko στα ορθογώνια.png (35.3 KiB) Προβλήθηκε 1413 φορές

Έστω τυχόντα ορθογώνια εξωτερικά των πλευρών τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα $\vartriangle ABC,\vartriangle KLM$ με $K\equiv FE\cap TD,L\equiv TD\cap XQ,M\equiv XQ\cap FE$ είναι ορθοπολικά (δηλαδή οι εκ των κορυφών του ενός κάθετες ευθείες στις πλευρές του άλλου διέρχονται από το ίδιο σημείο) και τα ορθοπολικά τους κέντρα (όπως φαίνεται στο σχήμα) είναι συμμετρικά ως προς το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$

Στάθης

STOPJOHN · #62

ΑΣΚΗΣΗ 21

Καλησπέρα

Από το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι AB=15

και

.Aκόμη από το Πυθαγόρειο θεώρημα $ZMC, ZM=\sqrt{61},$ , $(DZKA)>(AKMB)\Leftrightarrow (KCM)<(ZKC)\Leftrightarrow ZK<KM,(*)$
Θετω $x=ZK,KM=\sqrt{61}-x,(*)\Leftrightarrow x<\dfrac{\sqrt{61}}{2}$

Από τα όμοια τρίγωνα $ZKC,AKT, AK=4KC,KC=\dfrac{3\sqrt{41}}{5},$

Στο τρίγωνο ZCM

με το θεώρημα του Stweart

$25\sqrt{61}x^{2}-500x+\sqrt{61}.256=0, \Delta =30^{2},x=\dfrac{78\sqrt{61}}{305},x=\dfrac{72\sqrt{61}}{305},$

οι τιμές είναι δεκτές και ικανοποιούν τηνπαραπάνω ανισότητα

Γιάννης

KARKAR · #63

Άσκηση 24

: Άσκηση 23.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

Το

είναι το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{DC}$ . Αν $\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{1}4$ , βρείτε το λόγο $\dfrac{AD}{AB}$

sakis1963 · #64

Ασκηση 24

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}$

Εστω M, N

τα μέσα των DC, AB

τότε $\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{SM}{SN}=\dfrac{SM}{SM+b}=\dfrac{1}{4}$ απόπου $SM=\dfrac{b}{3}$

Αλλά $AC^2=(b+2SM)^2=(b+\dfrac{2b}{3})^2=a^2+b^2$ απόπου 16b^2=9a^2

και τέλος $\dfrac{b}{a}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}$

Σάκης

ealexiou · #65

KARKAR έγραψε:Άσκηση 24
Το συνημμένο Άσκηση 23.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το είναι το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{DC}$ . Αν $\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{1}4$ , βρείτε το λόγο $\dfrac{AD}{AB}$

: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 24.png (29.65 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

$\triangle SRP \sim \triangle DRS \Rightarrow \dfrac {x}{\frac{a}{8}}=\dfrac{\frac{a}{2}}{x}\Rightarrow$ $x^2=\dfrac{a^2}{16} \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{a}{4}}$

$\triangle AZS \sim \triangle DRS \Rightarrow$ $\dfrac{AZ}{\frac{a}{2}}=\dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{4}}\Rightarrow$ AZ=a

, οπότε $AD=AZ-DZ=a-\dfrac{a}{4}=\dfrac{3a}{4}$ και άρα $\boxed{\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}}$

sakis1963 · #66

Ασκηση 25

Μπορεί να εγγραφεί σε ορθογώνιο άλλο ορθογώνιο (με τις κορυφές του στις πλευρές του αρχικού, μια προς μια) όμοιο με το αρχικό;
Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

Φανης Θεοφανιδης · #67

ΑΣΚΗΣΗ 26

Σε μία ευθεία $(\varepsilon )$ παίρνουμε στη σειρά τα σημεία $A, B, \Gamma ,\Delta$ .
Με διαμέτρους τα τμήματα

και $\Gamma \Delta$ γράφουμε δύο κύκλους και μετά φέρνουμε
ένα κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους

(

σημείο του πρώτου κύκλου και

του δεύτερου).
Οι ευθείες

και $\Delta Z$ τέμνονται στο

και οι ευθείες

και $Z\Gamma$ τέμνονται
στο $\Theta$ . Δείξτε ότι το $EHZ\Theta$ είναι ορθογώνιο
και ότι η διαγώνιός του $H\Theta$ είναι κάθετη στην $(\varepsilon )$ .

sakis1963 · #68

Ασκηση 22

Με τη λογική ότι στο

υπάρχουν και ηλικίες ...65...., νομίζω το 52 ανήκει στις 'μικρότερες' ηλικίες

Θέτω

Από τη δύναμη του σημείου

έχουμε

......(1)

Αλλά $b=\dfrac{a}{2}-x$ .....(2) οπότε αντικαθιστώντας στην (1) έχουνε $x(a+x)=(\dfrac{a}{2}-x)^2$ απόπου $x=\dfrac{a}{8}$

και αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε $b=\dfrac{3a}{8}$ οπότε τελικά $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{8}$

Σάκης

Ανδρέας Πούλος · #69

ΑΣΚΗΣΗ 27η
Τα ABCD

και

είναι τετράγωνα.
Τα AFE

,

είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
Κανένα από τα σχήματα αυτά δεν έχει κοινά εσωτερικά σημεία με τα υπόλοιπα.
Να βρεθεί το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με το ελάχιστο εμβαδόν στο οποίο και τα 5 δεδομένα σχήματα βρίσκονται στο εσωτερικό του.

Ανδρέας Πούλος

STOPJOHN · #70

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26

Σε μία ευθεία $(\varepsilon )$ παίρνουμε στη σειρά τα σημεία $A, B, \Gamma ,\Delta$ .
Με διαμέτρους τα τμήματα και $\Gamma \Delta$ γράφουμε δύο κύκλους και μετά φέρνουμε
ένα κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους ( σημείο του πρώτου κύκλου και του δεύτερου).
Οι ευθείες και $\Delta Z$ τέμνονται στο και οι ευθείες και $Z\Gamma$ τέμνονται
στο $\Theta$ . Δείξτε ότι το $EHZ\Theta$ είναι ορθογώνιο
και ότι η διαγώνιός του $H\Theta$ είναι κάθετη στην $(\varepsilon )$ .

Στο τρίγωνο

$\Gamma O_{2}Z,\hat{v}+\hat{\sigma }=90^{0},(1),\hat{\sigma }=90^{0}-\nu O_{1}E//ZO_{2},\hat{\phi }+\hat{\sigma }=90^{0},(3),\Rightarrow EZ\Theta=90^{0} , \hat{\omega }+\hat{\nu }=90^{0},(2) (1),(3)\Rightarrow \hat{\phi }=\hat{\nu } (1),(2)\Rightarrow \hat{\omega }=\hat{\sigma }, \hat{ZEH}=90^{0}-\hat{\phi },\hat{\Theta EH}=90^{0}=\hat{\Theta ZE},\phi +\sigma =90^{0}\Rightarrow \hat{H}=90^{0}$

Το τετράπλευρο $IO_{1}EK$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο ,γιατί $\hat{\phi }=\hat{\Theta EK}=\hat{E\Theta K}, \hat{EK\Theta }=180^{0}-2\phi =180^{0}-2(90-\omega )=\hat{AO_{1}E}\Rightarrow \hat{AIK}=90^{0}$

Tο σημείο

είναι η τομή $A\Delta ,H\Theta$

Γιάννης

#71

Άσκηση 28

: Ορθογώνια KARKAR_x.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 1297 φορές

Έστω ορθογώνιο ABCD

με

και σημείο

της

με

.

Οι ευθείες $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KC$ τέμνονται στο

.

Γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία , P,B,C

και τέμνει ακόμα την

στο

. Επίσης γράφουμε τον κύκλο (K,KD)

.

1. Δείξετε ότι ο κύκλος (K,KD)

διέρχεται από το

και έστω

το άλλο κοινό σημείο με τον κύκλο P,B,C

.

2. Δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου (K,KD)

στο

, η εφαπτομένη του κύκλου P,B,C

στο

και η

διέρχονται από το ίδιο σημείο , έστω

.

3. Να βρεθεί ως έκφραση του

το εμβαδόν που περικλείεται από τις $MD\,\,,\,MC$ και τα ( μικρά) τόξα $DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC$ των δύο κύκλων.

Ν.

STOPJOHN · #72

ΑΣΚΗΣΗ 28

Καλημέρα

α) Είναι $AB=3b\Leftrightarrow b+KB=3b\Leftrightarrow KB=2b$

Το τρίγωνο ADK

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα $KD=R=b\sqrt{2}$

Θα αποδειχθεί ότι $KE=R=b\sqrt{2}$

Aπό το εγράψιμο τετράπλευρο EPBC,DE.DC=DP.DB,(1)

Από τα όμοια τρίγωνα $DPC,PKB,DP=\dfrac{3\sqrt{10}b}{5},(2)$

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο

$ADB,DB=b\sqrt{10},(3) (1),(2),(3)\Rightarrow DE=2b\Rightarrow DL=LE=b, LKE, KE^{2}=2b^{2}\Leftrightarrow KE=b\sqrt{2}$

β) Θέτω $\hat{MDE}=\hat{\phi },\hat{MCD}=\hat{\omega }$

Θα αποδείξω ότι το τρίγωνο MDC

είναι ισοσκελες .Είναι

$\hat{AKD}=45^{0}=\hat{DKL}=\hat{\phi }=\hat{LKE}, \hat{MCD}=\hat{\omega }=\hat{COI}=\hat{OCJ}=45^{0}, \hat{\omega }=\hat{\phi }\Leftrightarrow MD=MC$

Συνέπως το σημείο Μ έχει την ίδια δύναμη ως προς τους δυο τεμνόμενους κύκλους και θα ανήκει στον ριζικό τους άξονα που είναι η κοινή τους χορδή

γ) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι

$E_{0}=(MDC)-(\tau _{1})-(\tau _{2}),(*) 2MD^{2}=DC^{2}\Leftrightarrow MD=\dfrac{3\sqrt{2}b}{2},(4) (MDC)=\frac{MD^{2}}{2}=\frac{9b^{2}}{4},(5), (\tau _{1})=\dfrac{\pi R^{2}90}{360}-(KED)=b^{2}.\dfrac{\pi -2}{2},(6), (\tau _{2})=\dfrac{\pi r^{2}90}{360}-(OEC)=\dfrac{b^{2}}{8}(\pi -2),(7), (*),(4),(5),(6),(7)\Rightarrow E_{0}=b^{2}.\dfrac{28-5\pi }{8}$

Γ.

#73

Ανδρέας Πούλος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27η
Τα και είναι τετράγωνα.
Τα , , είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
Κανένα από τα σχήματα αυτά δεν έχει κοινά εσωτερικά σημεία με τα υπόλοιπα.
Να βρεθεί το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με το ελάχιστο εμβαδόν στο οποίο και τα 5 δεδομένα σχήματα βρίσκονται στο εσωτερικό του.

Ανδρέας Πούλος

Καλημέρα σε όλους.

Οι κορυφές και οι ακμές των σχημάτων, φαντάζομαι ότι, μπορεί να είναι στις πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

Δίνω από το σχολείο, στο διάλειμμα, ένα πρόχειρο σχήμα και το ανοιχτό αρχείο Geogebra για όποιον προλαβαίνει να ασχοληθεί.

22-12-2015 Γεωμετρία.ggb: (13.93 KiB) Μεταφορτώθηκε 28 φορές

KARKAR · #74

Άσκηση 29

: Άσκηση 30.png (12.61 KiB) Προβλήθηκε 1229 φορές

Τμήμα

διαιρέθηκε με εσωτερικά του σημεία P,Q,T

στα τέσσερα τμήματα

OP=1,PQ=3,QT=3,TS=1

. Γράφω τους κύκλους (O,OP), (O,OQ)

και επί των (O,OP) , (O,OT)

παίρνω τυχαία σημεία D,C

.

Οι κάθετες στα άκρα του τμήματος

τέμνουν τους άλλους κύκλους προς το ίδιο

μέρος του , στα σημεία A,B

. Δείξτε ότι το ABCD

είναι ορθογώνιο .

Ανοιχτό θέμα : Δείξτε ότι το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού είναι $36 \tau. \mu.$

#75

Άσκηση 30

: Ορθογώνια.30.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 1226 φορές

Έστω

τυχαίο σημείο της διαγωνίου

ορθογωνίου ABCD

και

το συμμετρικό του

ως προς

. Αν

είναι οι προβολές του

στις

αντίστοιχα,

α) να δείξετε ότι τα σημεία E, H, M

είναι συνευθειακά.

β) Αν DM=4MB

, να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle{\frac{{(AENH)}}{{(ABCD)}}}$

KARKAR · #76

Άσκηση 31

: Άσκηση 29.png (13.48 KiB) Προβλήθηκε 1210 φορές

Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD

του σχήματος .

Ανδρέας Πούλος · #77

ΑΣΚΗΣΗ 27η.
Δείτε το σχήμα του Γιώργου Ρϊζου.
Υπάρχουν τρεις εκδοχές για το ζητούμενο ορθογώνιο.
1. Αυτό που η μία πλευρά του είναι ο φορέας της

.
2. Αυτό που η μία πλευρά του είναι ο φορέας της

.
3. Αυτό που η μία πλευρά του είναι ο φορέας της

.
Οι άλλες περιπτώσεις συμπίπτουν με αυτές τις τρεις, (π.χ. αν έχει πλευρά τον φορέα της

, τότε συμπίπτει με την περίπτωση 3).
Υπολογίζοντας τα εμβαδά αυτών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων διαπιστώνουμε ότι το ελάχιστο εμβαδόν είναι αυτό που υποδεικνύει ο Γιώργος.
Βέβαια, οι υπολογισμοί αυτών των εμβαδών απαιτούν κάποιο χρόνο, αλλά νομίζω ότι είναι μια σχετικά απλή άσκηση
που συνδυάζει Πυθαγόρειο θεώρημα και εμβαδά ευθύγραμμων σχημάτων.

Ανδρέας Πούλος

#78

KARKAR έγραψε:Άσκηση 31
Το συνημμένο Άσκηση 29.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου του σχήματος .

: Ορθογώνια.31.png (16.91 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

Έστω

. Επειδή οι AC, BD

έχουν κοινό μέσο με τετμημένη $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ , θα είναι $\boxed{b+d=1}$ και από $\displaystyle{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{bd=-3}$

Οι b,d

είναι λοιπόν ρίζες της εξίσωσης x^2-x-3=0

. Άρα: $\displaystyle{b = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2},d = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}}$

$\displaystyle{(ABCD) = |\det (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} | \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ABCD) = 3\sqrt {13} }$

#79

george visvikis έγραψε:Άσκηση 30 Έστω τυχαίο σημείο της διαγωνίου ορθογωνίου και το συμμετρικό του ως προς . Αν είναι οι προβολές του στις αντίστοιχα,
α) να δείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
β) Αν , να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle{\frac{{(AENH)}}{{(ABCD)}}}$

α) Με $AC \cap BD \equiv O,M$ τα μέσα αντίστοιχα των πλευρών του τριγώνου $\vartriangle CAN \Rightarrow AN\parallel DB$ και με το μέσο της προκύπτει ότι
η δέσμη είναι αρμονική και με $AB \bot AD \Rightarrow AB$ διχοτόμος της γωνίας $\angle CAN\mathop \Rightarrow \limits^{AH \bot NF,F \equiv NH \cap AC} FH = \parallel HN\mathop \Rightarrow \limits^{HN = \parallel AE}$ $FH = \parallel AE \Rightarrow AFHE$
παραλληλόγραμμο οπότε $EH\parallel AF \Rightarrow \boxed{EH\parallel AC}:\left( 1 \right)$ .

Με $AN \cap EH \equiv K,M$ τα μέσα των πλευρών του τριγώνου $\vartriangle CAN \Rightarrow KM\parallel AC\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} EH\parallel KM$ $\mathop \Rightarrow \limits^{E,K,H\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } E,K,H,M$ συνευθειακά
και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
[attachment=0]1.png[/attachment]
β) με $\angle NAH = \angle BAC \Rightarrow AENH \sim ABCD \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{\left( {AENH} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = {{\left( {\frac{{AE}}{{AD}}} \right)}^2}\mathop = \limits^{AO\parallel EM} {{\left( {\frac{{OM}}{{DO}}} \right)}^2}}:\left( 2 \right)$ .

Από $DM = 4MB \Rightarrow DB = 5MB \Rightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} DO = \frac{{DB}}{2} = \frac{{5MB}}{2} \\ OM = OB - MB = \frac{{DB}}{2} - \frac{{DB}}{5} = \frac{{3DB}}{{10}} = \frac{{3BM}}{2} \\ \end{gathered} \right.$ $\Rightarrow \dfrac{{DO}}{{OM}} = \dfrac{3}{5}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \boxed{\frac{{\left( {AENH} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \frac{9}{{25}}}$
και το β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

KARKAR · #80

Άσκηση 32

: Άσκηση 32.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

Στην πλευρά

του ορθογωνίου ABCD

βρίσκονται σημεία P,Q

, ώστε

οι AP,BQ

τεμνόμενες στο

, να ορίζουν τρίγωνο SPQ

με εμβαδό ίσο με

το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση