ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Συντονιστής: exdx

xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #41 από xr.tsif » Σάβ Ιαν 02, 2010 4:14 pm

Μιας και το ξεκινήσαμε , δεν τις κάνουμε 50;

ΑΣΚΗΣΗ 21

Θεωρούμε το πολυώνυμο Ρ(x) = 27\alpha \cdot x^3 - 9 x^2 + 6 \beta x - \gamma όπου α , β , γ πραγματικοί αριθμοί. Αν ο αριθμός
\rho = \frac{1}{3} είναι ρίζα του Ρ(x) , να δείξετε ότι: \left|\alpha  \right|+ 2 \left|\beta  \right| + \left|\gamma  \right|\geq 1.

ΑΣΚΗΣΗ 22

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x^v-v\cdot x + v - 1 με v\in N*.
i. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : (x-1)^2
ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x\geq 0 ισχύει x^v + v \geq v x + 1.



Χρήστος Τσιφάκης


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #42 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Ιαν 02, 2010 5:35 pm

Γιατί όχι, αυτή είναι η δύναμη του mathematica
μέσα σε 23 ώρες -λιγότερο από μια μέρα- μαζεύτηκαν και λύθηκαν 20 πρωτότυπες ασκήσεις στα πολυώνυμα, γιατί να μην γίνουν και 50, απλά μια παράκληση, στέλνετε τις λύσεις σε word γιατί πιάστηκε το χέρι μου να τις αντιγράφω....


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #43 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Ιαν 02, 2010 7:43 pm

επειδή ξεχάσαμε την 4η ΑΣΚΗΣΗ παραθέτω μία λύση

i) Έχουμε: \displaystyle{
{\rm P(x)  =  (x  -  }\alpha {\rm )}\pi _{\rm 1} {\rm (x)  +  P(}\alpha {\rm )}
} (1)
\displaystyle{
{\rm P(x)  =  (x  -  }\beta {\rm )}\pi _2 {\rm (x)  +  P(}\beta {\rm )}
} (2)

Για x = β από την (1) και για x = α από την (2) παίρνουμε:
\displaystyle{
{\rm P(}\beta {\rm )  =  (}\beta {\rm   -  }\alpha {\rm )}\pi _{\rm 1} {\rm (}\beta {\rm )  +  P(}\alpha {\rm ) }
}
\displaystyle{
{\rm P(}\alpha {\rm )  =  (}\alpha {\rm   -  }\beta {\rm )}\pi _{\rm 2} {\rm (}\beta {\rm )  +  P(}\alpha {\rm )}
}
ή
\displaystyle{
{\rm P(}\beta {\rm )  -  P(}\alpha {\rm )  =  (}\beta {\rm   - }\alpha {\rm  )}\pi _{\rm 1} {\rm (}\beta {\rm )     }
}
\displaystyle{
{\rm P(}\beta {\rm )  -  P(}\alpha {\rm )  =  (}\beta {\rm   - }\alpha {\rm  )}\pi _{\rm 2} {\rm (}\alpha {\rm ) }
}

άρα \displaystyle{
{\rm (}\beta {\rm   -  }\alpha {\rm )}\pi _{\rm 1} {\rm (}\beta {\rm )  =  (}\beta {\rm   -  }\alpha {\rm )}\pi _{\rm 2} {\rm (}\alpha {\rm )}
}, επειδή όμως β ≠ α έχουμε ότι \displaystyle{
\pi _{\rm 1} {\rm (}\beta {\rm )  =  }\pi _{\rm 2} {\rm (}\alpha {\rm )}
}


ii) Έστω ότι ο βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x) είναι ν (\displaystyle{
\nu  \ge 1{\rm   }
}), τότε τα πολυώνυμα \displaystyle{
\pi _1 (x)
}και \displaystyle{
\pi _2 (x)
} είναι βαθμού ν – 1.

Το πολυώνυμο \displaystyle{
x \cdot \pi _2^3 (x)
} είναι βαθμού: 1 + 3(ν – 1) = 3ν – 2
Το πολυώνυμο \displaystyle{
\pi _1^2 (x)
} είναι βαθμού: 2(ν – 1) = 2ν – 2
Επειδή 3ν – 2 > 2ν – 2, ο βαθμός του πολυωνύμου \displaystyle{
x \cdot \pi _2^3 (x) + \pi _1^2 (x)
} είναι 2ν – 2
επιπλέον ο βαθμός του πολυωνύμου \displaystyle{
\pi (x) \cdot P(x)
} είναι ν – 1 + ν = 2ν – 1,
επομένως για να ισχύει \displaystyle{
\pi _{\rm 1} {\rm (x)} \cdot {\rm P(x)  =  x} \cdot \pi _{\rm 2}^{\rm 3} {\rm (x)  +  }\pi _{\rm 1}^{\rm 2} (x)
} αρχικά θα πρέπει 2ν – 1 = 3ν – 2 άρα ν = 1

Άρα το πολυώνυμο Ρ(x) είναι πρώτου βαθμού οπότε έχουμε ότι \displaystyle{
\pi _{\rm 1} {\rm (x) = c}_{\rm 1} 
}και \displaystyle{
\pi _{\rm 2} {\rm (x) = c}_{\rm 2} 
} όπου \displaystyle{
{\rm c}_{\rm 1} {\rm ,c}_{\rm 2} 
} σταθεροί ακέραιοι.

Από το πρώτο ερώτημα έχουμε:
\displaystyle{
\pi _{\rm 1} {\rm (}\beta {\rm )  = }\pi _{\rm 2} {\rm (}\alpha {\rm ) } \Rightarrow {\rm  c}_{\rm 1} {\rm   =  c}_{\rm 2} {\rm   =  c } \ne {\rm  0}
} άρα:
\displaystyle{
\pi _{\rm 1}  \cdot {\rm (x) P(x)  =  x} \cdot \pi _2^3 {\rm (x)  + }\pi _{\rm 1}^{\rm 2} (x)
}
\displaystyle{
{\rm c} \cdot {\rm P(x)  =  c}^{\rm 3} {\rm x  +  c}^{\rm 2} 
}
\displaystyle{
{\rm P(x)  =  c}^{\rm 2} {\rm x  +  c}
}

με βάση την τελευταία σχέση η διαίρεση P(x) : (x – α) δίνει πηλίκο \displaystyle{
{\rm c}^{\rm 2} 
} , oπότε πρέπει
\displaystyle{
{\rm  c}^{\rm 2}  = c \Leftrightarrow c = 1
} αφού \displaystyle{
{\rm  }c \ne 0
}, άρα P(x) = x +1


Καρδαμίτσης Σπύρος
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1040
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #44 από p_gianno » Σάβ Ιαν 02, 2010 7:49 pm

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 22

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x^v-v\cdot x + v - 1 με v\in N*.
i. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : (x-1)^2
ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x\geq 0 ισχύει x^v + v \geq v x + 1.

Χρήστος Τσιφάκης


\displaystyle{\begin{array}{l}
 {x^n} - nx + n - 1 = {x^n} - 1 - nx + n = ({x^n} - 1) - n(x - 1) = (x - 1)({x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1 - n) =  \\ 
  \\ 
 (x - 1)[({x^{n - 1}} - 1) + ({x^{n - 2}} - 1) + ({x^{n - 3}} - 1) + ... + (x - 1) + (1 - 1)] =  \\ 
  \\ 
 (x - 1)(x - 1)[({x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1) + ({x^{n - 3}} + {x^{n - 4}} + ... + x + 1) + ... + (x + 1) + 1] =  \\ 
  \\ 
 {(x - 1)^2}({x^{n - 2}} + 2{x^{n - 3}} + 3{x^{n - 4}} + ... + (n - 2)x + n - 1) \\ 
 \end{array}}

Συνεπώς το πηλίκο είναι

\displaystyle{({x^{n - 2}} + 2{x^{n - 3}} + 3{x^{n - 4}} + ... + (n - 2)x + n - 1)}

Ενώ το υπόλοιπο είναι μηδέν (0)

ii)

\displaystyle{\begin{array}{l}
  \\ 
 {x^n} + n \ge nx + 1 \Leftrightarrow {x^n} + n - nx - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2}({x^{n - 2}} + 2{x^{n - 3}} + 3{x^{n - 4}} + ... + (n - 2)x + n - 1) \ge 0\,\,\, 
 \end{array}}
το οποίο ισχύει αφού (x-1)^2\geq 0 , x\geq 0 και n\in N*

Π.Γ
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ 22.doc
(41.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 66 φορές


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #45 από chris_gatos » Σάβ Ιαν 02, 2010 7:52 pm

Για την άσκηση 21
Έχουμε πως το 1/3 είναι ρίζα του P(x),αρα:

Ρ(1/3)=0 <=>
\displaystyle{
\frac{{27a}}{{3^3 }} - \frac{9}{{3^2 }} + 6\beta \frac{1}{3} - \gamma  = 0 \Leftrightarrow a + 2\beta  - \gamma  = 1
}

Λαμβάνοντας απόλυτα στην ισότητα έχουμε:

\displaystyle{
|a| + 2|\beta | + |\gamma | \ge |a + 2\beta  - \gamma | = 1 \Rightarrow |a| + 2|\beta | + |\gamma | \ge 1
}


Χρήστος Κυριαζής
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #46 από xr.tsif » Σάβ Ιαν 02, 2010 8:17 pm

Παναγιώτη πολύ ωραία :clap:


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #47 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Ιαν 03, 2010 8:05 pm

Στο αρχείο της λέσχης
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=244
συγκεντρώσαμε 30 ασκήσεις στα πολυώνυμα που προτάθηκαν και λύθηκαν από τα μέλη της λέσχης.

Βέβαια οι ασκήσεις που έχουν λυθεί μέχρι τώρα είναι περισσότερες και η επιλογή των 30 έγινε με γνώμονα να περιλαμβάνει ασκήσεις σχολικού επιπέδου. Το αρχείο είναι σε μορφή word για οποιονδήποτε θελήσει να τις επεξεργαστεί.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #48 από chris_gatos » Κυρ Ιαν 03, 2010 8:20 pm

Σπύρο ευχαριστούμε πολύ!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #49 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Ιαν 03, 2010 8:28 pm

κ.Καρδαμιτσή για την οργανωτικότητα σας απονέμεται το :winner_first_h4h:


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #50 από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Κυρ Ιαν 03, 2010 8:29 pm

:clap2: Μπράβο Σπύρο , να είσαι καλά .


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #51 από Φωτεινή » Κυρ Ιαν 03, 2010 8:32 pm

πολύ καλή δουλειά Σπύρο ............ :winner_first_h4h:


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2054
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #52 από R BORIS » Δευ Ιαν 04, 2010 7:02 pm

Εδώ υπάρχει μια επιλογή από 30 περίπου ασκήσεις πολυωνύμων για Β λυκείου
Συνημμένα
d pol-B lyk.doc
(97 KiB) Μεταφορτώθηκε 328 φορές


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #53 από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Ιαν 04, 2010 7:26 pm

Αυτές οι προσπάθειες έχουν διαχρονική αξία και μπορούν να γίνουν βαθμιαία περισσότερες.
Είναι τελικά αυτό που μένει από την όλη προσπάθεια !

Σπύρο , νάσαι καλά !

Πολλά ευχαριστώ να εκφράσω επίσης και στο Ροδόλφο για την ωραία συλλογή του!

Μπάμπης



Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης