Ακολουθία ακεραίων

#1

Δίνονται μια ακολουθία $a_1,a_2,\ldots,a_{2k+1}$ από 2k+1

ακέραιους αριθμούς . Από αυτούς κατασκευάζουμε την ακολουθία $(a_1+a_2)/2,(a_2+a_3)/2,\ldots,(a_{2k+1}+a_1)/2$ και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία επ' άπειρον.

Να δειχθεί ότι αν όλοι οι αριθμοί όλων των ακολουθιών είναι ακέραιοι τότε στην αρχική ακολουθία όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι.

Επιπρόσθετο ερώτημα: Ας εξεταστεί τι συμβαίνει αν η αρχική ακολουθία έχει άρτιο αριθμό ακεραίων.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1964

#2

Έγινε διόρθωση στον τελευταίο όρο της δεύτερης ακολουθίας.

#3

Επαναφορά.

#4

Demetres έγραψε:Δίνονται μια ακολουθία $a_1,a_2,\ldots,a_{2k+1}$ από ακέραιους αριθμούς . Από αυτούς κατασκευάζουμε την ακολουθία $(a_1+a_2)/2,(a_2+a_3)/2,\ldots,(a_{2k+1}+a_1)/2$ και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία επ' άπειρον.

Να δειχθεί ότι αν όλοι οι αριθμοί όλων των ακολουθιών είναι ακέραιοι τότε στην αρχική ακολουθία όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι.

Επιπρόσθετο ερώτημα: Ας εξεταστεί τι συμβαίνει αν η αρχική ακολουθία έχει άρτιο αριθμό ακεραίων.

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας παίρνει διαδοχικά τις τιμές

$a_1, \, \frac {a_1+a_2}{2}, \, \frac {a_1 +2 a_2+a_3}{4}, \, \frac {a_1+3a_2+3a_3 + a_4}{8}, \, ...$ και λοιπά.

Δεν είναι ανάγκη να βρούμε τους συντελεστές (είναι οι διωνυμικοί) αλλά να παρατηρήσουμε ότι οι όροι είναι κυρτός συνδυασμός των αρχικών. Μπορούμε να το δούμε π.χ. επαγωγικά. Μετά από 2k+1

βήματα, ο όρος θα περιέχει όλα τα $a_1,a_2,\ldots,a_{2k+1}$ .

Έστω

ο μέγιστος από τους a_n

. Αν δεν είναι ίσοι όλοι οι όροι, που σημαίνει ότι κάποιος είναι γνήσια μικρότερος, τότε από αυτά που έγραψα περί κυρτών συνδυασμών η τιμή του πρώτου όρου είναι πάντα $\le M$ . Επίσης συμπεραίνουμε ότι μετά από 2k+1

βήματα ο κυρτός συνδυασμός έχει τιμή σίγουρα γνήσια μικρότερη του

(αφού κάποιος προσθετέος είναι γνήσια μικρότερος).

Με άλλα λόγια, το μέγιστο μικραίνει σταδιακά και κάθε τόσο γνησίως. Το ίδιο και για τους υπόλοιπους όρους. Συμβαίνει το αντίστοιχο για τον ελάχιστο όρο σε κάθε βήμα (αυξάνει και μάλιστα γνησίως κάθε τόσο).

Επειδή το μέγιστο και το ελάχιστο σε κάθε βήμα παίρνει ακέραιες τιμές, κάποια στιγμή θα γίνουν ίσα. Αυτό είναι το κλειδί. Σε εκείνο το βήμα όλοι οι όροι θα είναι ίσοι μεταξύ τους. Εξετάζουμε την πρώτη φορά που θα γίνει αυτό (αν οι αρχικοί δεν ήσαν ήδη ίσοι). Αν οι αριθμοί στο προηγούμενο (μη όλων ίσων αριθμών) ήσαν οι

$c_1,c_2,\ldots,c_{2k+1}$

τότε θα έχουμε

$\frac {c_1+c_2}{2}=\frac {c_2+c_3}{2} = \ldots = \frac {c_{2k+1}+c_1}{2}$

από όπου εύκολα $c_1=c_2= ... = c_{2k+1}$ (εδώ χρειάζεται ότι το πλήθος είναι περιττός, γιατί οι ισότητες είναι της μορφής "ο κάθε όρος ισούται με τον μεθεπόμενο, κυκλικά"). Άτοπο.

Τελικά οι αριθμοί ήσαν από την αρχή ίσοι.

Αν το πλήθος ήταν άρτιο,

, κάνουμε ακριβώς την ίδια διαδικασία αλλά τώρα συμπεραίνουμε (αρχικά) ότι θα καταλήξουμε σε σχέση $c_1=c_3= ... = c_{2k-1}= p$ και $c_2=c_4= ... = c_{2k}=q$ . Εξετάζοντας τώρα το επόμενο βήμα, εύκολα βλέπουμε p=q

, και λοιπά.

Ακολουθία ακεραίων

Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση