Διχοτόμος γωνίας της οποίας οι πλευρές τέμνονται εκτός ...

[Μάκης Χατζόπουλος]

Κάπου είχα δει το θαυμάσιο τρόπο εύρεσης της διχοτόμου γωνίας που οι πλευρές της τέμνονται εκτός σελίδας, δεν θυμάμαι που και δεν έχω το απαιτούμενο χρόνο για να το ψάξω όσο θέλω...

Επίσης θυμάμαι ότι είχε αναφερθεί και ο Γιώργος Μπαλόγλου (νομίζω ότι ο πατέρας του είχε ασχοληθεί με αυτό το θέμα) αλλά σίγουρα δεν είχαμε δώσει έκταση...

Αν κάποιος έχει κάτι εύκολο να επισυνάψει θα ήταν χρήσιμο να υπάρχει στο

[gbaloglou]

Μακη μαλλoν αναφερεσαι στo πρoβλημα της χαραξης ευθειας "πoυ ενωνει ενα δoσμενo σημειo Μ και τo σημειo τoμης δυo δoσμενων συνεπιπεδων ευθειων α, β πoυ τεμνoνται εκτoς σχεδιoυ" [Σκoρπιες Σταγoνες Γεωμετριας, σελιδα 116]

Για τo πρoβλημα της διχoτoμoυ της γωνιας πoυ σχηματιζoυν oι ευθειες α, β πρoτεινω τo εξης:

Εστω oτι oι α, β τεμνoνται περαν της αριστερης πλευρας της σελιδας ή της αριστερης πλευρας τoυ πινακα. Επιλεγoυμε σημεια Α, Α' επι της α και σημεια Β, Β' επι της β ετσι ωστε τα Α', Β' να βρισκoνται αριστερα των Α, Β, αντιστoιχα. Η ζητoυμενη διχoτoμoς ειναι η ΚΚ', oπoυ Κ τo σημειo τoμης των εξωτερικων διχoτoμων των Α [τριγωνo ΑΒΑ'] και Β [τριγωνo ΒΑΒ'] και Κ' τo σημειo τoμης των εσωτερικων διχoτoμων των Α' [τριγωνo Α'Β'Α] και Β' [τριγωνo Β'Α'Β]. Πραγματι, αν Ε ειναι τo σημειo τoμης των α, β, τα Κ, Κ' ειναι παρακεντρα των ΕΑΒ, ΕΑ'Β', αντιστoιχα

Επισυναπτω σχημα -- ατελες λoγω ανακριβειων στις διχoτoμησεις

Γιωργoς Μπαλoγλoυ

[Μάκης Χατζόπουλος]

Σε ευχαριστώ Γιώργο αυτό είναι!! Τα παράκεντρα δεν έβλεπα τόσο καιρό... όσο για την άσκηση έπρεπε να το είχα υποψιαστεί ότι την είδα στο βιβλίο "Σκόρπιες σταγόνες Γεωμετρίας"!

[fmak65]

Μια αλλη λυση ειναι η εξης.
Παιρνουμε σημειο Α στην μια πλευρα και φερουμε παραλληλη προσ την αλλη πλευρα. Η γωνια ειναι ιση με την αρχικη.Φερουμε την διχοτομο της γωνιας και φερουμε την καθετη σε αυτη. Αυτη τεμνει την αλλη πλευρα σε σημειο Β. Το μεσο ειναι σημειο της διχοτομου. Επαναλαμβανοντας με αλλο σημειο Γ βρισκουμε και δευτερο σημειο της διχοτομου , οποτε βρικαμε την διχοτομο.

Κώδικας: Επιλογή όλων

[vittasko]

Φώτη καλημέρα.

Αρκεί μόνο από το μέσον του να φέρουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της γωνίας που κατασκευάσαμε ( μεσοκάθετη του ) η οποία είναι η ζητούμενη διχοτόμος.

Πριν από σαράντα χρόνια, στο 2ο έτος της Αρχιτεκτονικής σχολής του ΕΜΠ, στην Έδρα της Προβολικής και Παραστατικής Γεωμετρίας, είχαμε σαν άσκηση ( = εργασία, που μαζί με άλλες ασκήσεις, έπρεπε στο τέλος της χρονιάς να παραδοθεί ) τη γεωμετρική κατασκευή των διαγωνίων τετραπλεύρου του οποίου δίνονται τμήματα μόνο των πλευρών του και όλες οι κορυφές του βρίσκονται έξω από το χαρτί σχεδίασης.

Η παρουσίαση θα γίνονταν σε χαρτί Α3 σέλερ ( = χαρτί 200 gr, που σχεδιάζεις και δεν απλώνει το μελάνι ), με πενάκια ( = ραμπιντογράφοι ) μελάνης μαύρου χρώματος, αλλά όποιος παλαβός ήθελε, μπορούσε να χρησιμοποιήσει και χρωματιστά μελάνια ( βολικά όμως, ώστε να διακρίνεις καλύτερα τις επί μέρους κατασκευές ).

Μιλάμε για πολύ Desarques... και ατέλειωτη υπομονή μέχρι να τελειώσει το σχέδιο και εκεί που κοντεύεις να το τελειώσεις, να σου χύνεται πάνω του ο καφές ( του ξενυχτιού στο σχεδιαστήριο ), ευτυχώς ξώφαλτσα, αλλά τα ίχνη του φαίνονται ακόμα...

Μάκη τι μου θύμισες ...

Να είσαι καλά, Κώστας Βήττας.

[fmak65]

Σωστα Κωστα. Στην προσπαθεια να βρω την λυση δεν προσεξα αυτη την ευκολη ιδιοτητα. Ευχαριστω για την συμπληρωση της λυσης.

[p_gianno]

Άλλη μία κατασκευή της διχοτόμου

bisector.png (8.82 KiB) Προβλήθηκε 4469 φορές

Π . Γ

[Μπάμπης Στεργίου]

Φώτη καλημέρα.

Αρκεί μόνο από το μέσον του να φέρουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της γωνίας που κατασκευάσαμε ( μεσοκάθετη του ) η οποία είναι η ζητούμενη διχοτόμος.

Πριν από σαράντα χρόνια, στο 2ο έτος της Αρχιτεκτονικής σχολής του ΕΜΠ, στην Έδρα της Προβολικής και Παραστατικής Γεωμετρίας, είχαμε σαν άσκηση ( = εργασία, που μαζί με άλλες ασκήσεις, έπρεπε στο τέλος της χρονιάς να παραδοθεί ) τη γεωμετρική κατασκευή των διαγωνίων τετραπλεύρου του οποίου δίνονται τμήματα μόνο των πλευρών του και όλες οι κορυφές του βρίσκονται έξω από το χαρτί σχεδίασης.

Η παρουσίαση θα γίνονταν σε χαρτί Α3 σέλερ ( = χαρτί 200 gr, που σχεδιάζεις και δεν απλώνει το μελάνι ), με πενάκια ( = ραμπιντογράφοι ) μελάνης μαύρου χρώματος, αλλά όποιος παλαβός ήθελε, μπορούσε να χρησιμοποιήσει και χρωματιστά μελάνια ( βολικά όμως, ώστε να διακρίνεις καλύτερα τις επί μέρους κατασκευές ).

Μιλάμε για πολύ Desarques... και ατέλειωτη υπομονή μέχρι να τελειώσει το σχέδιο και εκεί που κοντεύεις να το τελειώσεις, να σου χύνεται πάνω του ο καφές ( του ξενυχτιού στο σχεδιαστήριο ), ευτυχώς ξώφαλτσα, αλλά τα ίχνη του φαίνονται ακόμα...

Μάκη τι μου θύμισες ...

Να είσαι καλά, Κώστας Βήττας.

Κώστα, αναρωτιέμαι μήπως μπορούμε να βρούμε και καμιά λύση με πλήρη τετράπλευρα, παίρνοντας σημείο έξω από τη γωνία και επιλέγοντας κατάλληλες τέμνουσες.
Θα το ξανακοιτάξω και γω. Η σκέψη αυτή ξεκίνησε από ένα άλλο ερώτημα που έκανα στον εαυτό μου :

Αν μέσα στη γωνία έχουμε ένα σημείο Α , να φέρουμε ευθεία που να περνάει από το Α και το σημείο τομής των ευθειών αυτών , που βρίσκεται εκτός του σχεδίου..

Όπως παρατηρώ, το πρόβλημα αυτό λύνεται πολύ εύκολα με αρμονικότητα (Desargues είναι στην ουσία !)

Μπάμπης

[vittasko]

Αν μέσα στη γωνία έχουμε ένα σημείο Α , να φέρουμε ευθεία που να περνάει από το Α και το σημείο τομής των ευθειών αυτών , που βρίσκεται εκτός του σχεδίου..

Μπάμπη καλημέρα.

Η κλασσική κατασκευή που μου έρχεται στο νου, βασίζεται στο Θεώρημα Desarques.

Έστω οι προβολές του σημείου ( που βρίσκεται στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό μέρος της γωνίας των δοσμένων ευθείών ) στις ευθείες αντιστοίχως.

Επί των , λαμβάνουμε αντιστοίχως τα σημεία έτσι ώστε

Δια των σημείων φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις αντιστοίχως, οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω

Τα τρίγωνα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους παράλληλες εκ κατασκευής και άρα είναι προοπτικά.

Σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, οι ευθείες συντρέχουν και έτσι η ευθεία περνάει από το σημείο τομής των δοσμένων ευθειών.

Κώστας Βήττας.

[gbaloglou]

Αν μέσα στη γωνία έχουμε ένα σημείο Α , να φέρουμε ευθεία που να περνάει από το Α και το σημείο τομής των ευθειών αυτών , που βρίσκεται εκτός του σχεδίου..

Μπαμπη αυτο ακριβως το προβλημα συζηταει και ο πατερας μου -- βλεπε αρχη αυτης της συζητησης -- δινοντας και αυτος λυσεις προβολικες που αποδιδει στον αειμνηστο Ιωαννη Αυδη* και στον Νικο Καστανη**. Βλεπω τωρα μια απλη λυση ως εξης:

Εστω Σ, Τ οι προβολες του Α στις ευθειες ε, η, αντιστοιχα, και Ζ η εκτος σχεδιου τομη τους. Το 'ανυπαρκτο' τετραπλευρο ΑΤΖΣ ειναι εγγραψιμο, αρα ΑΖΤ = ΑΣΤ = θ (γνωστη γωνια): αρκει επομενως να φερουμε απο το Α ευθεια παραλληλη προς οποιαδηποτε ευθεια -- διερχομενη απο το Τ για παραδειγμα -- σχηματιζουσα γωνια θ με την η [Αναλογη κατασκευη μπορει φυσικα να βασισθει στην ε και στο Σ, βλεπε και συνημμενο.]

*πρεπει να ημουν 6-7 χρονων οταν ο Αυδής, σε καποια επισκεψη του στο σπιτι μας, με καθισε στα γονατα του και μου εξηγησε τον τυπο του Euler (Εδρες + Κορυφες = Ακμες + 2)^ πολλα χρονια αργοτερα ελεγξα καποιους υπολογισμους για λογαριασμο του, αλλα δεν θυμαμαι πλεον το αντικειμενο της μελετης του.

**ο Νικος Καστανης ειναι παλιος φιλος με αξιολογη προσφορα στο πεδιο της Ιστοριας των Μαθηματικων, ιδιως των Νεοελληνικων Μαθηματικων.

Γιωργος Μπαλογλου

[dimitris pap]

Αν μέσα στη γωνία έχουμε ένα σημείο Α , να φέρουμε ευθεία που να περνάει από το Α και το σημείο τομής των ευθειών αυτών , που βρίσκεται εκτός του σχεδίου..
Όπως παρατηρώ, το πρόβλημα αυτό λύνεται πολύ εύκολα με αρμονικότητα (Desargues είναι στην ουσία !)
Μπάμπης

Επίσης μπορεί να βρεθεί με χρήση πολικών (στην ουσία δηλαδή πάλι αρμονικότητα χρησιμοποιείται). Δηλαδή απ' το Α φέρουμε τυχαία ευθύγραμμα τμήματα ώστε να τέμνονται εντός χαρτιού (έστω στο Ρ). Τότε αν φέρουμε και μια ακόμα ευθεία που τέμνει τις 2 πλευρές στα και θεωρήσουμε το σημείο , η είναι η πολική του κι άρα αποτελεί τη ζητούμενη ευθεία (αφού αυτή θα περνάει κι απ' την τομή των πλευρών

Y.Γ. στη λύση τα βρίσκονται στην μία πλευρά, και τα στην άλλη

Σημαντική παρατήρηση: Για αυτήν την κατασκευή δεν χρειαζόμαστε καν διαβήτη

[Μπάμπης Στεργίου]

Αν μέσα στη γωνία έχουμε ένα σημείο Α , να φέρουμε ευθεία που να περνάει από το Α και το σημείο τομής των ευθειών αυτών , που βρίσκεται εκτός του σχεδίου..
Όπως παρατηρώ, το πρόβλημα αυτό λύνεται πολύ εύκολα με αρμονικότητα (Desargues είναι στην ουσία !)
Μπάμπης

Επίσης μπορεί να βρεθεί με χρήση πολικών (στην ουσία δηλαδή πάλι αρμονικότητα χρησιμοποιείται). Δηλαδή απ' το Α φέρουμε τυχαία ευθύγραμμα τμήματα ώστε να τέμνονται εντός χαρτιού (έστω στο Ρ). Τότε αν φέρουμε και μια ακόμα ευθεία που τέμνει τις 2 πλευρές στα και θεωρήσουμε το σημείο , η είναι η πολική του κι άρα αποτελεί τη ζητούμενη ευθεία (αφού αυτή θα περνάει κι απ' την τομή των πλευρών

Y.Γ. στη λύση τα βρίσκονται στην μία πλευρά, και τα στην άλλη

Σημαντική παρατήρηση: Για αυτήν την κατασκευή δεν χρειαζόμαστε καν διαβήτη

Δημήτρη, για το πρόβλημα που έβαλα, αυτήν ακριβώς τη λύση σκέφτηκα. Η ερώτησή μου είναι πώς με το ίδιο σκεπτικό θα μπορούσαμε ίσως, επιλέγοντας κατάλληλα σημεία, να φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας αυτών των ευθειών.

Μπάμπης

[ΝΙΚΟΣ]

Αν μέσα στη γωνία έχουμε ένα σημείο Α , να φέρουμε ευθεία που να περνάει από το Α και το σημείο τομής των ευθειών αυτών , που βρίσκεται εκτός του σχεδίου..

Σημαντική παρατήρηση: Για αυτήν την κατασκευή δεν χρειαζόμαστε καν διαβήτη

Δημήτρη, για το πρόβλημα που έβαλα, αυτήν ακριβώς τη λύση σκέφτηκα. Η ερώτησή μου είναι πώς με το ίδιο σκεπτικό θα μπορούσαμε ίσως, επιλέγοντας κατάλληλα σημεία, να φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας αυτών των ευθειών.

Μπάμπης

Μπάμπη, το πρόβλημα, όπως το θέτεις, έχω τη γνώμη ότι θέλει περισσότερο χρόνο να ωριμάσει. Όμως αυτή τη στιγμή εκτιμώ ότι το Πρόβλημα έχει λύση, αν το σημείο Α που μας δίνεται, είναι ένα σημείο της ζητούμενης διχοτόμου.
Με δοσμένο το στοιχείο αυτό, της ζητούμενης διχοτόμου, μπορεί να γραφεί η διχοτόμος της γωνίας των δύο δοσμένων ευθειών με έναν από τους ακόλουθους τρόπους:
(α). Με τον γενικό τρόπο του αείμνηστου Ι. Αυδή (χρήση του Θ. Desarques).
(β). Με τον τρόπο του αείμνηστου Χρήστου Μπαλόγλου, που χρησιμοποιεί και ο φίλος Δημήτρης Παπαδημητρίου (χρήση συζυγών ευθειών).
(γ). Με τη μέθοδο της ομοιοθεσίας, που χρησιμοποιεί και ο φίλος Κώστας Βήττας [τρίγωνα με παράλληλες τις ομόλογες πλευρές τους (Γεωμετρία G. Lemaire σελ. 202].

Όμως εγώ θα επεκτείνω το Πρόβλημα για να συνεχισθεί αυτή η ωραία μας συζήτηση. Έτσι βάζω και τα παρακάτω πέντε σχετικά Προβλήματα για λύση:

Σε τρίγωνο, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται έξω από το χαρτί σχεδιάσεως, να ορισθούν:
(α). Το έγκεντρό του (απλό καθώς βασίζεται στις παραπάνω λύσεις της διχοτόμου).
(β). Οι διάμεσοι και τα μέσα των πλευρών του.
(γ). Το βαρύκεντρο, το περίκεντρο και το ορθόκεντρό του, με τη σειρά όμως που αναφέρονται.
(δ). Τα ύψη και οι πόδες των υψών του.
(ε). Τα ύψη, το ορθόκεντρο και το περίκεντρο του, με τη σειρά όμως που αναφέρονται.

[Τα παραπάνω Προβλήματα αντιστοιχούν στα Προβλήματα των παραγράφων 1ε(25) μέχρι 1ε(29) αντίστοιχα, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, τόμος 3/1996].

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[dimitris pap]

(β). Με τον τρόπο του αείμνηστου Χρήστου Μπαλόγλου, που χρησιμοποιεί και ο φίλος Δημήτρης Παπαδόπουλος (χρήση συζυγών ευθειών).
...
(β). Οι διάμεσοι και τα μέσα των πλευρών του.

Κατ' αρχάς να πω ότι το επίθετό μου είναι Παπαδημητρίου

Για αυτό το β ερώτημα έχω μια ιδέα (λίγο περίεργη) αλλά δεν είμαι βέβαιος αν πιάνεται ως σωστή
Προτείνω το εξής:
Βρίσκουμε πρώτα το έγκεντρο (φέρνοντας τις διχοτόμους). Επειτα δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε τα παράκεντρα (φέρνοντας 2 εξωτερικές διχοτόμους και μία εσωτερική). Τώρα (ας δουλέψουμε για μία πλευρά) απ' το έγκεντρο φέρνουμε κάθετη προς την πλευρά (κι έστω to σημείο τομής). Ομοια απ' το παράκεντρο (το αντιστοιχούμενο σε αυτήν την πλευρά) φέρνουμε κάθετη προς την πλευρά κι έστω το σημείο τομής. Τώρα το μέσο της πλευράς είναι απλά το μέσο της ! Ετσι βρήκαμε το μέσο της πλευράς και για τη διάμεσο εφαρμόζουμε αυτό που είπαμε πριν για κατασκευή ευθείας που περνάει από δοσμένο σημείο (και απ' την κορυφή της γωνίας).

Υ.Γ. Ετσι βρίσκουμε και το βαρύκεντρο (με την τομή των διαμέσων)

[ΝΙΚΟΣ]

(β). Με τον τρόπο του αείμνηστου Χρήστου Μπαλόγλου, που χρησιμοποιεί και ο φίλος Δημήτρης Παπαδόπουλος (χρήση συζυγών ευθειών).
...
(β). Οι διάμεσοι και τα μέσα των πλευρών του.

Κατ' αρχάς να πω ότι το επίθετό μου είναι Παπαδημητρίου

Για αυτό το β ερώτημα έχω μια ιδέα (λίγο περίεργη) αλλά δεν είμαι βέβαιος αν πιάνεται ως σωστή
Προτείνω το εξής:
Βρίσκουμε πρώτα το έγκεντρο (φέρνοντας τις διχοτόμους). Επειτα δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε τα παράκεντρα (φέρνοντας 2 εξωτερικές διχοτόμους και μία εσωτερική). Τώρα (ας δουλέψουμε για μία πλευρά) απ' το έγκεντρο φέρνουμε κάθετη προς την πλευρά (κι έστω to σημείο τομής). Ομοια απ' το παράκεντρο (το αντιστοιχούμενο σε αυτήν την πλευρά) φέρνουμε κάθετη προς την πλευρά κι έστω το σημείο τομής. Τώρα το μέσο της πλευράς είναι απλά το μέσο της ! Ετσι βρήκαμε το μέσο της πλευράς και για τη διάμεσο εφαρμόζουμε αυτό που είπαμε πριν για κατασκευή ευθείας που περνάει από δοσμένο σημείο (και απ' την κορυφή της γωνίας).

Υ.Γ. Ετσι βρίσκουμε και το βαρύκεντρο (με την τομή των διαμέσων)

Αγαπητέ φίλε Δημήτρη, συγνώμη για το λάθος που έκανα στο επίθετό σου. Ήδη έχω κάνει την σχετική διόρθωση.
Όσο για τη λύση σου, έχω τη γνώμη ότι θεωρητικά είναι σωστή, όμως πολύ μακροσκελής και προπάντων στην πράξη μάλλον ανεφάρμοστη, καθώς οι κατασκευές που προτείνεις να γίνουν είναι σίγουρο ότι βγαίνουν έξω από το χαρτί σχεδιάσεως.
Αν αρκεσθούμε στο θεωρητικό μέρος της πρέπει να αντιμετωπίσεις το Πρόβλημα της κατασκευής των παράκεντρων, να αποδείξεις ότι τα D και Ε είναι ισοτομικά της πλευράς στην οποία ανήκουν, που είναι εύκολο, κτλ.
Υπάρχουν άλλες εύκολες λύσεις, σχετικά σύντομες και πρακτικά εφαρμόσιμες. Προσπάθησε και πάλι.
Πάντως, πιστεύω ότι έχεις πολύ μεγάλη φαντασία και αυτό είναι πολύ μεγάλο προσόν για τη Γεωμετρία. Θέλει όμως πολύ προσοχή να μη πηγαίνεις σε πολύ μακροσκελείς λύσεις και πλατειάζεις, ενώ η λύση μπορεί να είναι απλή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[vittasko]

Σε τρίγωνο, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται έξω από το χαρτί σχεδιάσεως, να ορισθούν:
(α). Το έγκεντρό του (απλό καθώς βασίζεται στις παραπάνω λύσεις της διχοτόμου).
(β). Οι διάμεσοι και τα μέσα των πλευρών του.
(γ). Το βαρύκεντρο, το περίκεντρο και το ορθόκεντρό του, με τη σειρά όμως που αναφέρονται.
(δ). Τα ύψη και οι πόδες των υψών του.
(ε). Τα ύψη, το ορθόκεντρο και το περίκεντρο του, με τη σειρά όμως που αναφέρονται.

Μία απλή κατασκευή που μας δίνει κάθε ζητούμενο σημείο του δοσμένου τριγώνου , βασίζεται στο Θεώρημα Desarques ( ή στην ομοιοθεσία αν προτιμάτε ).

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο ώστε οι κορυφές του να βρίσκονται μέσα στο χαρτί σχεδίασης και ώστε να είναι οι πλευρές του παράλληλες προς τις ομόλογες πλευρές του δοσμένου τριγώνου ( και και ).

Με βάση τη γνωστή μέθοδο που αναφέρθηκε πιο πάνω, φέρνουμε τις ευθείες οι οποίες, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω το

Οι ευθείες που συνδέουν ομόλογα σημεία των τριγώνων περνάνε από το σημείο και οι ομόλογες ευθείες τους είναι παράλληλες.

Έστω το ύψος του

Η ευθεία τέμνει την πλευρά του στο σημείο που είναι το ίχνος του ύψους του

Εάν είναι το ορθόκεντρο του ( σημείο επί της ), το σημείο είναι το ορθόκεντρο του και όμοίως για το βαρύκεντρο αλλά και για κάθε άλλο σημείο του

Κώστας Βήττας.

[alkmel]

Πρόκειται για την άσκηση 1 στις Γενικές του προηγούμενου βιβλίου της Γ΄Γυμνασίου σελ 186.
Καλή χρονιά σε όλους από τα Χανιά

[Γιώργος Ρίζος]

Το θέμα αυτό ήταν η αφορμή να γνωρίσω τον αείμνηστο Χρήστο Μπαλόγλου, πατέρα του φίλου Γιώργου στο βιβλιοπωλείο του Χάρη Βαφειάδη (Μαθηματική Βιβλιοθήκη) περίπου το 1996.
Είχε την καλοσύνη να διορθώσει και να συμπληρώσει μια αποσπασματική λύση που είχα δώσει στο 2ο τεύχος της Μαθηματικής Παιδείας.
Στο επόμενο τεύχος δημοσιεύτηκαν σχετικά άρθρα των Νίκου Καστάνη, Σπ. Αραβανή και Χρήστου Μπαλόγλου που ανάλυαν πλήρως και γενίκευαν το πρόβλημα.
Επίσης, στο 4ο τεύχος του ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ (2005) δημοσιεύτηκε μια εργασία των Γ. Κόσυβα και Π. Μάστακα, την εισαγωγή της οποίας δίνω στο συνημμένο.

Θα ζητήσουμε τη συγκατάθεση των δημιουργών και των εκδοτών για να δημοσιεύσουμε όλη την ενδιαφέρουσα εργασία.
Το έχουμε ξαναπεί ότι κάποια περιοδικά όπως η Μαθηματική Παιδεία, ο Απολλώνιος, μα και ο Θεαίτητος του Μανώλη Μαραγκάκη και το "Φ" του Βασίλη Βισκαδουράκη κ.α. έχουν διαχρονική αξία και πρέπει να βρίσκονται στα μπροστινά ράφια της μαθηματικής μας βιβλιοθήκης...


Γιώργος Ρίζος

[rek2]

Αν απορρίψουμε, ως τεχνική, το «δοκιμάζω μέχρι να μου κάτσει», (το λέω με Humor), πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι τα στοιχεία των κατασκευών που κάνουμε είναι εντός του φύλου σχεδιάσεως, που δυσκολεύει τα πράγματα.

[ΝΙΚΟΣ]

Φίλε Κώστα,
η λύση σου είναι καταπληκτική. Αντιμετωπίζει πλήρως το Πρόβλημα, στη Γε-νική του μορφή. Συγχαρητήρια !!!
Την θεωρώ εφάμιλλη με τη λύση που έχω δώσει για την Πρόταση 1 της διεύθυνσης viewtopic. php?f=50&t=4477, αν την έχεις δει, ή όπως παλιότερα σε μια λύση που μου είχες δώσει εσύ για την Πρόταση 2ζ(13), ή με μια παλιότερη δική μου λύση για μια Πρόταση δική σου (αυτά λίγες φορές συμβαίνουν, αλλά τα χαιρόμαστε).
Η δική μου Γενική λύση, για την Πρόταση αυτή, θα ακολουθήσει με την πρώτη ευκαιρία. Και για την Πρόταση αυτή η δική μου Γενική λύση βασίζεται στην ομοιοθεσία, ενώ οι υπόλοιπες λύσεις μου σε πιο απλή θεωρία, προσιτή και σε μαθητές Α' Λυκείου, οι οποίες αναφέρονται με τη σειρά που τις έχω δώσει παραπάνω, αλλά και στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στις παραγράφους 1ε(25) έως 1ε(29) (τόμος 3).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.