Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Soteris · #1

Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in\left[-\dfrac{1}{2},0\right)\cup\left(0, +\infty\right)}$ ισχύει: $\displaystyle{\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2}=\left(1+\sqrt{1+2x}\right)^2}$

(β) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ , για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση: $\displaystyle{\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2}\leqslant 2x+9}$

Πρόβλημα 2

Αν ο $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος με $\displaystyle{\nu>2}$ , να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{\nu^5-5\nu^3+4\nu}{120}}$ είναι ακέραιος αριθμός.

Πρόβλημα 3

Αν $\displaystyle{\epsilon\phi x\cdot\epsilon\phi y=\dfrac{\beta}{a}, a, \beta\neq 0$ , να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης $\displaystyle{K=\dfrac{\tau\epsilon\mu^2x}{a\cdot\epsilon\phi^2x+\beta}+\dfrac{\tau\epsilon\mu^2y}{a\cdot\epsilon\phi^2 y+\beta}}$ είναι $\displaystyle{K=\dfrac{a+\beta}{a\beta}}$ .

Πρόβλημα 4

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm{AB\Gamma}}}$ . Από τις κορυφές $\displaystyle{\rm{A, B, \Gamma}}$ φέρουμε κάθετες προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου και έστω $\displaystyle{\rm{\Delta, E, Z}}$ τα ίχνη των καθέτων πάνω στις πλευρές $\displaystyle{\rm{B\Gamma, A\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα. Ονομάζουμε $\displaystyle{\rm{H}}$ το σημείο τομής των υψών $\displaystyle{\rm{A\Delta, BE, \Gamma Z}}$ του τριγώνου.

(α) Αν $\displaystyle{\rm{\Theta, K, \Lambda, I}}$ τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων $\displaystyle{\rm{AH, \Gamma H, B\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{\rm{\Theta K\Lambda I}}$ είναι ορθογώνιο.

(β) Φέρουμε την εφαπτομένη $\displaystyle{(\epsilon)}$ του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου $\displaystyle{\rm{\Theta K \Lambda I}}$ στο σημείο $\displaystyle{\rm{\Theta}}$ . Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{(\epsilon)}$ είναι παράλληλη με την ευθεία $\displaystyle{\rm{ZE}}$ .

JimNt. · #2

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.

Αν ο $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος με $\displaystyle{\nu>2}$ , να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{\nu^5-5\nu^3+4\nu}{120}}$ είναι ακέραιος αριθμός.

Πρόβλημα 3

Είναι $A=n^{5}-5n^{3}+4n=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)$ . Ισχύει ότι ανάμεσα σε

διαδοχικούς υπάρχει ένας που διαιρείται με τον

.

. Διακρίνουμε περιπτώσεις:
n=2a

. Τότε

. Ισχύει λοιπόν 8|A

και λόγω της (1)

$3|2a(2a+1)(2a-1) \Leftrightarrow 3|A$ , 5|A

. Και άρα

$\Rightarrow$ 120|A

Ομοίως και στην περίπτωση που είναι περιττός...

Al.Koutsouridis · #3

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.
Πρόβλημα 2

Αν ο $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος με $\displaystyle{\nu>2}$ , να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{\nu^5-5\nu^3+4\nu}{120}}$ είναι ακέραιος αριθμός.

Ο αριθμητής του κλάσματος γράφεται

n^5-5v^3+4n = n(n^4-n^2+4)= n(n^2-1)(n^2-4) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

παρατηρούμε ότι είναι γινόμενο 5 διαδοχικών φυσικών. Οπότε ένας τουλάχιστον από αυτούς θα διαιρείτε με το 5 και ο αριθμητής θα είναι της μορφής

. Επίσης τουλάχιστον ένας από αυτούς θα διαρείται με το 3 άρα ο αριθμητής θα είναι της μορφής $5\cdot 3 k$ .

Μένει να παρατηρήσουμε ότι ανάμεσα σε 5 διαδοχικούς φυσικούς θα έχουμε τουλάχιστον δυο διαδοχικούς άρτιους. Δηλαδή γινόμενο της μορφής 2p(2p+2) = 4p(p+1)

που είναι πολλαπλάσιο του 8.

Εν τέλη ο αριθμητής είναι της μορφής $8 \cdot 5 \cdot 3 l = 120l$ για κάποιο φυσικό

, πράγμα που αποδεικνυεί το ζητούμενο.

#4

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.

Πρόβλημα 2

Αν ο $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος με $\displaystyle{\nu>2}$ , να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{\nu^5-5\nu^3+4\nu}{120}}$ είναι ακέραιος αριθμός.

$\displaystyle{\frac{{{n^5} - 5{n^3} + 4n}}{{120}} = \frac{{n({n^4} - 5{n^2} + 4)}}{{120}} = \frac{{n({n^2} - 1)({n^2} - 4)}}{{120}} = \frac{{(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)}}{{120}}}$

Ο αριθμητής είναι το γινόμενο

διαδοχικών θετικών ακεραίων, δηλαδή πολλαπλάσιο του 120

Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο.

#5

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.

Πρόβλημα 4

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm{AB\Gamma}}}$ . Από τις κορυφές $\displaystyle{\rm{A, B, \Gamma}}$ φέρουμε κάθετες προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου και έστω $\displaystyle{\rm{\Delta, E, Z}}$ τα ίχνη των καθέτων πάνω στις πλευρές $\displaystyle{\rm{B\Gamma, A\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα. Ονομάζουμε $\displaystyle{\rm{H}}$ το σημείο τομής των υψών $\displaystyle{\rm{A\Delta, BE, \Gamma Z}}$ του τριγώνου.

(α) Αν $\displaystyle{\rm{\Theta, K, \Lambda, I}}$ τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων $\displaystyle{\rm{AH, \Gamma H, B\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{\rm{\Theta K\Lambda I}}$ είναι ορθογώνιο.

(β) Φέρουμε την εφαπτομένη $\displaystyle{(\epsilon)}$ του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου $\displaystyle{\rm{\Theta K \Lambda I}}$ στο σημείο $\displaystyle{\rm{\Theta}}$ . Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{(\epsilon)}$ είναι παράλληλη με την ευθεία $\displaystyle{\rm{ZE}}$ .

: Παγκύπριο 2016 (Α Λυκείου).png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 3169 φορές

α) $\displaystyle{\Theta {\rm K}|| = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2},{\rm I}\Lambda || = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2} \Rightarrow \Theta {\rm K}|| = {\rm I}\Lambda }$ , άρα το $\displaystyle{\Theta {\rm K}\Lambda {\rm I}}$ είναι παραλληλόγραμμο. Ομοίως βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{{\rm I}\Theta || = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{2}}$ κι επειδή $\displaystyle{{\rm B}{\rm H} \bot {\rm A}\Gamma }$ , το $\displaystyle{\Theta {\rm K}\Lambda {\rm I}}$ θα είναι ορθογώνιο.

β) Επειδή η $\displaystyle{\Lambda \Theta }$ είναι διάμετρος του κύκλου, θα είναι $\displaystyle{\Lambda \Theta \bot \varepsilon }$ . Τα ύψη όμως του τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες του

ορθικού, άρα από τις ίσες πορτοκαλί γωνίες θα είναι $Z\Theta= \Theta E$ , οπότε $\displaystyle{\Lambda \Theta \bot ZE}$ και το ζητούμενο έπεται.

#6

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in\left[-\dfrac{1}{2},0\right)\cup\left(0, +\infty\right)}$ ισχύει: $\displaystyle{\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2}=\left(1+\sqrt{1+2x}\right)^2}$

(β) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ , για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση: $\displaystyle{\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2}\leqslant 2x+9}$

α) Για κάθε $\displaystyle{x\in\left[-\dfrac{1}{2},0\right)\cup\left(0, +\infty\right)}$ , $\displaystyle{{\left( {1 + \sqrt {1 + 2x} } \right)^2}{\left( {1 - \sqrt {1 + 2x} } \right)^2} = {\left( {1 - {{\left( {\sqrt {1 + 2x} } \right)}^2}} \right)^2} = 4{x^2}}$ και το ζητούμενο έπεται.

β) Η ανίσωση γράφεται: $\displaystyle{{\left( {1 + \sqrt {1 + 2x} } \right)^2} \le 2x + 9 \Leftrightarrow 2 + 2x + 2\sqrt {1 + 2x} \le 2x + 9 \Leftrightarrow 4(1 + 2x) \le 49 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ - \frac{1}{2} \le x \le \frac{{45}}{8}}$ . Επειδή όμως ισχύουν οι αρχικοί περιορισμοί θα είναι: $\boxed{x \in \left[ { - \frac{1}{2},0} \right) \cup \left( {0,\frac{{45}}{8}} \right]}$

Έχω την αίσθηση ότι κάποιοι διαγωνιζόμενοι θα ξέχασαν τον αρχικό περιορισμό $x\ne 0$

nikkru · #7

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.

Πρόβλημα 4

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm{AB\Gamma}}}$ . Από τις κορυφές $\displaystyle{\rm{A, B, \Gamma}}$ φέρουμε κάθετες προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου και έστω $\displaystyle{\rm{\Delta, E, Z}}$ τα ίχνη των καθέτων πάνω στις πλευρές $\displaystyle{\rm{B\Gamma, A\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα. Ονομάζουμε $\displaystyle{\rm{H}}$ το σημείο τομής των υψών $\displaystyle{\rm{A\Delta, BE, \Gamma Z}}$ του τριγώνου.

(α) Αν $\displaystyle{\rm{\Theta, K, \Lambda, I}}$ τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων $\displaystyle{\rm{AH, \Gamma H, B\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{\rm{\Theta K\Lambda I}}$ είναι ορθογώνιο.

(β) Φέρουμε την εφαπτομένη $\displaystyle{(\epsilon)}$ του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου $\displaystyle{\rm{\Theta K \Lambda I}}$ στο σημείο $\displaystyle{\rm{\Theta}}$ . Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{(\epsilon)}$ είναι παράλληλη με την ευθεία $\displaystyle{\rm{ZE}}$ .

Παραθέτω άλλη μια λύση για το (β) ερώτημα.

: Παγκύπριος2016_7_Θ4.png (32.85 KiB) Προβλήθηκε 3066 φορές

Το $\displaystyle{\rm{\Theta K\Lambda I}}$ είναι ορθογώνιο, άρα το $\displaystyle{\rm{\Theta \Lambda }}$ διάμετρος με αποτέλεσμα $\varepsilon \perp \Theta \Lambda$ και τα τόξα $\Lambda Z\Theta,\Lambda E\Theta$ είναι ίσα.

Τα $Z\Lambda ,E\Lambda$ διάμεσοι προς την υποτείνουσα $B \Gamma$ στα ορθογώνια τρίγωνα $ZB \Gamma$ και $EB \Gamma$ οπότε $Z\Lambda =E\Lambda=\frac{B \Gamma}{2}$ .

Από τα προηγούμενα, τα $\Theta , \Lambda$ μέσα των τόξων $Z \Theta E,Z \Lambda E$ , άρα $\Lambda \Theta \perp ZE$ , με συνέπεια $ZE//\varepsilon$ .

Soteris · #8

Β΄Λυκείου

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:A\to\mathbb{R}, g:B\to\mathbb{R}}$ και $\displaystyle{h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ με τύπους $\displaystyle{f(x)=\left(\dfrac{2x}{1-\sqrt{1+2x}}\right)^2, g(x)=\left(1+\sqrt{1+2x}\right)^2}$ και $\displaystyle{h(x)=2x+9}$ , όπου $\displaystyle{A, B\subseteq\mathbb{R}}$ .

(α) Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{R},}$ στο οποίο $\displaystyle{f=g}$ .

(β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\displaystyle{x}$ , για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f(x)\leqslant h(x)}$ .

Πρόβλημα 2

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων $\displaystyle{x{\rm O}y}$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{{\rm\Lambda}(a, a), {\rm M}(2a, 0), {\rm N}(0, a), a>0}$ .

(α) Να βρείτε μιαν εξίσωση δεύτερου βαθμού, για την οποία γνωρίζουμε ότι οι ρίζες της είναι ίσες με τις κλίσεις των δύο ευθειών $\displaystyle{(\epsilon_1), (\epsilon_2)}$ που διέρχονται από το $\displaystyle{(0, 0)}$ και χωρίζουν το τραπέζιο $\displaystyle{\rm{OM\Lambda N}}$ σε τρία ισεμβαδικά μέρη.

(β) Αν $\displaystyle{\angle{\omega}}$ είναι η οξεία γωνία των ευθειών $\displaystyle{(\epsilon_1), (\epsilon_2)}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu\omega=\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$

Πρόβλημα 3

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm{AB\Gamma}}}$ και ευθεία παράλληλη προς την πλευρά $\displaystyle{\rm{B\Gamma}}$ , που τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{\rm{AB, A\Gamma}}$ στα σημεία $\displaystyle{\rm{\Delta, E}}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{(\omega_1)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm{BE}}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm{\Gamma\Delta}}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από την κορυφή $\displaystyle{\rm{A}}$ προς τους κύκλους $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ είναι ίσα.

(β) Αν $\displaystyle{\rm{P}}$ είναι το ένα από τα σημεία τομής των κύκλων $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ , να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{\rm{AP}}$ είναι κάθετη στην πλευρά $\displaystyle{\rm{B\Gamma}}$ .

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ για την οποία ισχύουν:

i. $\displaystyle{4032\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(2-y)+f(y)\cdot f(2-x), \forall x, y\in\mathbb{R}}$

ii. $\displaystyle{f(0)=2016}$

(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι άρτια.

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ .

#9

Soteris έγραψε:Β΄Λυκείου

Πρόβλημα 3

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm{AB\Gamma}}}$ και ευθεία παράλληλη προς την πλευρά $\displaystyle{\rm{B\Gamma}}$ , που τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{\rm{AB, A\Gamma}}$ στα σημεία $\displaystyle{\rm{\Delta, E}}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{(\omega_1)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm{BE}}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm{\Gamma\Delta}}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από την κορυφή $\displaystyle{\rm{A}}$ προς τους κύκλους $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ είναι ίσα.

(β) Αν $\displaystyle{\rm{P}}$ είναι το ένα από τα σημεία τομής των κύκλων $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ , να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{\rm{AP}}$ είναι κάθετη στην πλευρά $\displaystyle{\rm{B\Gamma}}$ .

Δείτε και εδώ

#10

Soteris έγραψε:Β΄Λυκείου

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:A\to\mathbb{R}, g:B\to\mathbb{R}}$ και $\displaystyle{h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ με τύπους $\displaystyle{f(x)=\left(\dfrac{2x}{1-\sqrt{1+2x}}\right)^2, g(x)=\left(1+\sqrt{1+2x}\right)^2}$ και $\displaystyle{h(x)=2x+9}$ , όπου $\displaystyle{A, B\subseteq\mathbb{R}}$ .

(α) Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{R},}$ στο οποίο $\displaystyle{f=g}$ .

(β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\displaystyle{x}$ , για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f(x)\leqslant h(x)}$ .

Στην ουσία είναι το ίδιο με το Πρόβλημα 1 της Α΄ Λυκείου.

α) $\boxed{A=\left[-\dfrac{1}{2},0\right)\cup\left(0, +\infty\right)}}$ β) $\boxed{x \in \left[ { - \frac{1}{2},0} \right) \cup \left( {0,\frac{{45}}{8}} \right]}$

simantiris j. · #11

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 4

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ για την οποία ισχύουν:

i. $\displaystyle{4032\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(2-y)+f(y)\cdot f(2-x), \forall x, y\in\mathbb{R}}$

ii. $\displaystyle{f(0)=2016}$

(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι άρτια.

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$

Για

παίρνουμε $4032f(0)=2f(0)f(2)\Rightarrow f(2)=2016$
Για y=0

παίρνουμε $4032f(x)=2016f(x)+2016f(2-x)\Rightarrow f(x)=f(2-x)$ ,άρα η αρχική γίνεται 2016f(x+y)=f(x)f(y)

από όπου για x=y

έχουμε

(1).
Στην αρχική τώρα αν βάλουμε όπου

το

και

το

έχουμε $4032 \cdot 2016=f^2(2-x)+f^2(x)\Rightarrow f^2(x)=2016^2$ και με την (1) είναι $2016f(2x)=2016^2\Rightarrow f(2x)=2016\Rightarrow f(x)=2016, \forall x \in \mathbb{R}$ ,που επαληθεύει.
Προφανώς και η συνάρτηση αυτή είναι άρτια.

#12

Soteris έγραψε:Β΄Λυκείου

Πρόβλημα 2

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων $\displaystyle{x{\rm O}y}$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{{\rm\Lambda}(a, a), {\rm M}(2a, 0), {\rm N}(0, a), a>0}$ .

(α) Να βρείτε μιαν εξίσωση δεύτερου βαθμού, για την οποία γνωρίζουμε ότι οι ρίζες της είναι ίσες με τις κλίσεις των δύο ευθειών $\displaystyle{(\epsilon_1), (\epsilon_2)}$ που διέρχονται από το $\displaystyle{(0, 0)}$ και χωρίζουν το τραπέζιο $\displaystyle{\rm{OM\Lambda N}}$ σε τρία ισεμβαδικά μέρη.

(β) Αν $\displaystyle{\angle{\omega}}$ είναι η οξεία γωνία των ευθειών $\displaystyle{(\epsilon_1), (\epsilon_2)}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu\omega=\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$

: Παγκύπριο 2016 (Β Λυκείου).png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 2984 φορές

α) $\displaystyle{{\lambda _{{\rm O}\Lambda }} = {\lambda _1} = 1,{\lambda _{OP}} = {\lambda _2} = \frac{1}{3}}$ και είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{x^2} - \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} = 0}$

β) $\displaystyle{\varepsilon \varphi \omega = \frac{{{\lambda _1} - {\lambda _2}}}{{1 + {\lambda _1}{\lambda _2}}} = \frac{{1 - \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \frac{1}{2}}.$ Αλλά, $\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega = \frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\omega }} = \frac{4}{5}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\omega < {{90}^0}} }$ $\boxed{\sigma \upsilon \nu \omega = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}$

#13

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα των Β΄ και Γ΄ Λυκείου.

Πρόβλημα 3

Αν $\displaystyle{\epsilon\phi x\cdot\epsilon\phi y=\dfrac{\beta}{a}, a, \beta\neq 0$ , να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης $\displaystyle{K=\dfrac{\tau\epsilon\mu^2x}{a\cdot\epsilon\phi^2x+\beta}+\dfrac{\tau\epsilon\mu^2y}{a\cdot\epsilon\phi^2 y+\beta}}$ είναι $\displaystyle{K=\dfrac{a+\beta}{a\beta}}$ .

Είναι $\displaystyle{\tau \varepsilon \mu x = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}} \Rightarrow \tau \varepsilon {\mu ^2}x = 1 + \varepsilon {\varphi ^2}x}$

$\displaystyle{K = \frac{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}x}}{{a\varepsilon {\varphi ^2}x + a\varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y}} + \frac{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}y}}{{a\varepsilon {\varphi ^2}y + a\varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y}} = \frac{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}x}}{{a\varepsilon \varphi x(\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y)}} + \frac{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}y}}{{a\varepsilon \varphi y(\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y)}} = }$

$\displaystyle{\frac{{\varepsilon \varphi y + \varepsilon \varphi y\varepsilon {\varphi ^2}x + \varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi x\varepsilon {\varphi ^2}y}}{{a\varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y(\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y)}} = \frac{{(\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y)(\varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y + 1)}}{{a\varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y(\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y)}} = \frac{{\frac{b}{a} + 1}}{{a\frac{b}{a}}} = \frac{{a + b}}{{ab}}}$

Soteris · #14

Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $\displaystyle{(x, y)}$ που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle{x^2+2xy+y^2-x+y-4=0}$

Πρόβλημα 2

(α) Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x^3-32x+64}$ . Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία της.

(β) Έστω $\displaystyle{a, \beta>0}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{a\beta=1}$ . Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{(a+\beta)^6\geqslant 32(a^2+\beta^2)}$

Πρόβλημα 3

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma} ({\rm AB}<{\rm A\Gamma})}$ φέρουμε τις διαμέτρους $\displaystyle{\rm \Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{\rm BE}$ . Έστω $\displaystyle{(\omega_1)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm BE}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm \Gamma\Delta}$ . Από την κορυφή $\displaystyle{\rm A}$ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $\displaystyle{\rm{AK, A\Lambda}}$ που άγονται προς τους κύκλους $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ , αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{\rm P}$ ένα από τα κοινά σημεία των κύκλων $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ , η ευθεία $\displaystyle{\rm AP}$ τέμνει το $\displaystyle{\rm K\Lambda}$ στο $\displaystyle{\rm Z}$ και την πλευρά $\displaystyle{\rm B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\rm T}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{\rm KA\Lambda}}$ τέμνει το $\displaystyle{\rm K\Lambda}$ στο $\displaystyle{\rm M}$ και την πλευρά $\displaystyle{\rm B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\rm N}$ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{\rm Z, T, M, N}$ είναι ομοκυκλικά.

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

i. $\displaystyle{4032\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(2-y)+f(y)\cdot f(2-x),\;\forall x, y\in\mathbb{R}}$

ii. $\displaystyle{f(0)=2016}$

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=f(-x),\;\forall x\in\mathbb{R}}$

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μοναδική.

#15

Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

i. $\displaystyle{4032\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(2-y)+f(y)\cdot f(2-x),\;\forall x, y\in\mathbb{R}}$

ii. $\displaystyle{f(0)=2016}$

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=f(-x),\;\forall x\in\mathbb{R}}$

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μοναδική.

Για ένα αρκετά παρόμοιο πρόβλημα δείτε εδώ: http://artofproblemsolving.com/communit ... 359p822867

nikkru · #16

Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

i. $\displaystyle{4032\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(2-y)+f(y)\cdot f(2-x),\;\forall x, y\in\mathbb{R}}$

ii. $\displaystyle{f(0)=2016}$

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=f(-x),\;\forall x\in\mathbb{R}}$

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μοναδική.

Το θέμα είναι το ίδιο με το 4ο θέμα της Β΄Λυκείου 2016 που υπάρχει σε αυτή την δημοσίευση (#8) και έχει λυθεί από τον simantiris j. στο #11.

Soteris · #17

nikkru έγραψε:
Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

i. $\displaystyle{4032\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(2-y)+f(y)\cdot f(2-x),\;\forall x, y\in\mathbb{R}}$

ii. $\displaystyle{f(0)=2016}$

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=f(-x),\;\forall x\in\mathbb{R}}$

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μοναδική.
Το θέμα είναι το ίδιο με το 4ο θέμα της Β΄Λυκείου 2016 που υπάρχει σε αυτή την δημοσίευση (#8) και έχει λυθεί από τον simantiris j. στο #11.

Υπάρχει κάτι περισσότερο στο ερώτημα (β). Ζητείται να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση

είναι μοναδική.

#18

Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μοναδική.

Αν δεν κάνω λάθος, οι διατυπώσεις "Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης και να δείξετε ότι είναι μοναδική" και "Να βρείτε όλες τι συναρτήσεις που ικανοποιούν" είναι ισοδύναμες.

simantiris j. · #19

Soteris έγραψε:
nikkru έγραψε:
Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

i. $\displaystyle{4032\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(2-y)+f(y)\cdot f(2-x),\;\forall x, y\in\mathbb{R}}$

ii. $\displaystyle{f(0)=2016}$

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=f(-x),\;\forall x\in\mathbb{R}}$

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μοναδική.
Το θέμα είναι το ίδιο με το 4ο θέμα της Β΄Λυκείου 2016 που υπάρχει σε αυτή την δημοσίευση (#8) και έχει λυθεί από τον simantiris j. στο #11.
Υπάρχει κάτι περισσότερο στο ερώτημα (β). Ζητείται να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι μοναδική.

Μα αυτό εξασφαλίζεται από την πορεία της απόδειξης.Το μόνο που πρέπει να ελέγξουμε είναι αν η συνάρτηση που βρήκαμε ικανοποιεί και εδώ όντως επαληθεύει.
ΕDIT:Δείτε και την απάντηση του κ.Σιλουανού αμέσως πάνω.

Soteris · #20

silouan έγραψε:
Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι μοναδική.
Αν δεν κάνω λάθος, οι διατυπώσεις "Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης και να δείξετε ότι είναι μοναδική" και "Να βρείτε όλες τι συναρτήσεις που ικανοποιούν" είναι ισοδύναμες.

Σιλουανέ, συμφωνώ. Η λύση που δόθηκε το καλύπτει.

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Μέλη σε σύνδεση