Σύστημα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 583
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Δεκ 15, 2016 5:06 pm

Να βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p) όπου x,y θετικοί ακέραιοι και p πρώτος, που ικανοποιούν το σύστημα:
x^2-y^2=p
3xy+(x-y)p=p^2
Για Juniors (δεν βάζω προθεσμία, είμαι σίγουρος ότι θα απαντηθεί αμέσως... )


Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
Πρώτος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Δεκ 15, 2016 5:46 pm

Στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

x^2-y^2=p \Rightarrow (x-y)(x+y)=p και επειδή ο p είναι πρώτος, προκύπτει ότι x-y=1 και ότι x+y=p, δηλαδή ότι x=y+1 καιp=2y+1.

Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι:

3y(y+1)+2y+1=(2y+1)^2 \Rightarrow 3y^2+5y+1=4y^2+4y+1 \Rightarrow y^2-y=0 και επειδή ο y είναι θετικός προκύπτει ότι y=1

Άρα έχουμε την τριάδα λύσεων:

(x, y , p)=(2, 1, 3)


Houston, we have a problem!
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης