Θέμα Δ

Λάμπρος Μπαλός · #1

Ένα 4ο Θέμα από το βιβλίο του Χρήστου Πατήλα με τίτλο 35 Διαγωνίσματα και 150 Γενικά Θέματα που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Μαυρίδη.

Θέμα Δ

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,1] \rightarrow R$ , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1]

. Επίσης, ισχύουν f(0)=2

και

. Να αποδείξετε ότι :

Δ1.

α) Υπάρχει μοναδικός $x_{0} \in (0,1)$ , ώστε $f(x_{0})=x_{0}$ .

β) Υπάρχουν $a,b \in (0,1)$ , με a<b

, ώστε $\frac{2}{f'(b)}-f'(a)=1$ .

γ) Υπάρχει εφαπτομένη της $C_{f}$ σε σημείο

με τετμημένη στο διάστημα $(0, x_{0})$ η οποία σχηματίζει με τον άξονα x'x

γωνία $\omega$ με την ιδιότητα $90< \omega <135$ .

Δ2.

α) Αν για κάθε $x \in [0,1]$ ισχύει

$[12+4f'(x)](x-a)+9f'(a)+9 \geq \frac{18}{f'(b)}$

να βρείτε τους f'(a),f'(b)

και $x_{0}$ .

β) Αν επιπλέον ισχύει $f'(x) e^{2(x-1)^{2}}+2xe^{f(x)}=(6x-4)e^{2(x-1)^{2}}$ , για κάθε $x \in [0,1]$ , να βρείτε την f(x)

στο διάστημα [0,1]

.

Christos.N · #2

Να το γράψω για τα χρόνια πολλά μου

Δ1.

α) Έστω $g(x)=f(x)-x,x\in[0,1]$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano,
άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in(0,1)$ με f(x_0)=x_0

.
Αν δεν ήταν μοναδικό, τότε υπάρχει ένα ακόμα $x^*_0\in(0,1)$ με την ίδια ιδιότητα.

Στο διάστημα που ορίζουν τα x_0,x^*_0

η

ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης τιμής, άρα υπάρχει $c\in(0,1) :f'(c)=1$ .
Το τελευταίο όμως είναι άτοπο, καθώς εύκολα αποδεικνύεται ότι $\displaystyle{f'\left( x \right) \le 0,x \in \left[ {0,1} \right]}$
(θα το δείξω με Λήμμα)

β)Στα διαστήματα [0,x_0]

,

για την

ιχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, έχουμε αντίστοιχα:

$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} \alpha \in \left( {0,{x_0}} \right):f'\left( a \right) = \frac{{f\left( {{x_0}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{{x_0}}} = \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0}}} = 1 - \frac{2}{{{x_0}}}\\ b \in \left( {{x_0},1} \right):f'\left( b \right) = \frac{{f\left( 1 \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{1 - {x_0}}} = \frac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}} \Rightarrow \frac{2}{{f'\left( b \right)}} = 2 - \frac{2}{{{x_0}}} \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{2}{{f'\left( b \right)}} - f'\left( a \right) = 1}$

γ)Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε:
$\displaystyle{\alpha \in \left( {0,{x_0}} \right):f'\left( a \right) = \frac{{f\left( {{x_0}} \right) - f\left( 0 \right)}}{{{x_0}}} = \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0}}} = 1 - \frac{2}{{{x_0}}} < - 1}$

γιατί, $\displaystyle{0 < {x_0} < 1 \Rightarrow 1 < \frac{1}{{{x_0}}} \Rightarrow - \frac{2}{{{x_0}}} < - 2 \Rightarrow 1 - \frac{2}{{{x_0}}} < - 1}$

(Έγινε διόρθωση, παρακάτω σε παράθεση βρίσκεται η εσφαλμένη αρχική τοποθέτηση)
Προσθέτω το Λήμμα

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta }$ τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή $\displaystyle{f'\left( x \right) \le 0,x \in \Delta }$ .

Απόδειξη:

Έστω $\displaystyle{c \in \Delta }$ , ορίζεται η πρώτη παράγωγος σε αυτό $\displaystyle{f'\left( c \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^{}}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}}}$ , θα δείξουμε ότι $\displaystyle{f'\left( c \right) \le 0}$ .

τότε χρησιμοποιώντας την μονοτονία της συνάρτησης :

$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} x < c \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} \le 0\\ x > c \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}} \le 0 \end{array} \right\} \Rightarrow f'\left( c \right) \le 0}$

Να προσθέσω όμως και ένα δεύτερο Λήμμα που είναι πιο κοντά στα δεδομένα της άσκησης.

Απόδειξη:

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta }$ τότε η παράγωγος της είναι μη θετική, δηλαδή $\displaystyle{f'\left( x \right) \le 0,x \in \Delta }$ .

Αφού η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε η πρώτη παράγωγος θα είναι συνεχής συνάρτηση.

Έστω $\displaystyle{c \in \Delta }$ με $\displaystyle{f'\left( c \right) > 0}$ ,τότε αφού η

είναι συνεχής θα υπάρχει περιοχή (διάστημα) του $\displaystyle{c}$ όπου $\displaystyle{f'\left( x \right) > 0}$ σε αυτή, συνεπώς η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό, καταλήξαμε σε άτοπο όμως καθώς η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $\Delta$ .

Σταμ. Γλάρος · #3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Ένα 4ο Θέμα από το βιβλίο του Χρήστου Πατήλα με τίτλο 35 Διαγωνίσματα και 150 Γενικά Θέματα που μόλις κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Μαυρίδη.

Θέμα Δ

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,1] \rightarrow R$ , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα . Επίσης, ισχύουν και . Να αποδείξετε ότι :

Δ1.

α) Υπάρχει μοναδικός $x_{0} \in (0,1)$ , ώστε $f(x_{0})=x_{0}$ .

β) Υπάρχουν $a,b \in (0,1)$ , με , ώστε $\frac{2}{f'(b)}-f'(a)=1$ .

γ) Υπάρχει εφαπτομένη της $C_{f}$ σε σημείο με τετμημένη στο διάστημα $(0, x_{0})$ η οποία σχηματίζει με τον άξονα γωνία $\omega$ με την ιδιότητα $90< \omega <135$ .

Δ2.

α) Αν για κάθε $x \in [0,1]$ ισχύει

$[12+4f'(x)](x-a)+9f'(a)+9 \geq \frac{18}{f'(b)}$

να βρείτε τους και $x_{0}$ .

β) Αν επιπλέον ισχύει $f'(x) e^{2(x-1)^{2}}+2xe^{f(x)}=(6x-4)e^{2(x-1)^{2}}$ , για κάθε $x \in [0,1]$ , να βρείτε την στο διάστημα .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Δ1) α) Εφαρμόζοντας Θ. Bolzano στην συνάρτηση g(x)=f(x)-x

στο διάστημα [0,1]

προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα $x_{0} \in (0,1)$ , ώστε $f(x_{0})=x_{0}$ και επειδή η

είναι γνησίως φθίνουσα το $x_{0}$ είναι μοναδικό.

β) Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στην συνάρτηση

στο διάστημα $[0,x_{0}]$ προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα $a \in (0, x_{0})$ τέτοιο ώστε $f'(a)=\dfrac{f(x_{0})-f(0)}{x_{0}-0} = \dfrac{x_{0}-2}{x_{0}}$ .

Επίσης εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ. στην συνάρτηση

στο διάστημα $[x_{0} ,1]$ προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα $b \in ( x_{0},1)$ τέτοιο ώστε $f'(b)=\dfrac{f(1)-f(x_{0})}{1- x_{0}} = \dfrac{x_{0}}{x_{0}-1}$ .

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην $\frac{2}{f'(b)}-f'(a)=1$ επαληθεύουμε ότι ισχύει.

γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το

, αφού $x_{0} \in (0,1)$ προκύπτει ότι f'(a)<0

.
Συνεπώς η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο A( a,f(a))

με $a\in (0, x_{0})$ σχηματίζει με τον άξονα x'x

γωνία $\omega$ με την ιδιότητα $90< \omega <135$ .

Δ2) α) Είναι : $[12+4f'(x)](x-a)+9f'(a)+9 \geq \dfrac{18}{f'(b)}$ . Αντικαθιστώντας το Δ1) , (β) ισοδυνάμως προκύπτει: $[12+4f'(x)](x-a) \geq 0$ .

Θεωρώ την συνάρτηση h(x) = [12+4f'(x)](x-a)

, παραγωγίσιμη με h'(x) = 4f''(x) (x-a) +12 +4 f'(a)

και

.
Άρα ισχύει $h(x)\geq 0= h(a)$ . Συνεπώς η

παρουσιάζει στο

ακρότατο.
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Fermat. Άρα h'(a) =0

, από όπου προκύπτει f'(a)=-3

.
Στη συνέχεια με αντικατάσταση στην Δ1) , (β) προκύπτει : f'(b)=-1

και από ένα από τα 2 ΘΜΤ του ιδίου ερωτήματος $x_{0} = \dfrac{1}{2}$ .

β) Η δοθείσα ισοδυνάμως παίρνει την μορφή:
$e^{2(x-1)^{2}} \left ( f'(x)-(6x-4) \right ) =(-2x)e^{f(x)}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $e^{2(x-1)^{2} } \left ( f'(x)-(4x-4) \right ) + e^{2(x-1)^{2}} (-2x)=(-2x)e^{f(x)}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } } \left ( f(x)-2(x-1)^2 \right )' + e^{2(x-1)^{2} -f(x)} (-2x)=(-2x)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $-e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } } \left ( f(x)-2(x-1)^2 \right )' + e^{2(x-1)^{2} -f(x)} (2x)=(2x)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left ( e^{x^2} e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } } \right )' =(e^ {x^2} )'$ .

Από πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ έχουμε : $e^{x^2} e^{{2(x-1)^{2} -f(x) } } = e^ {x^2} + c$ .

Για x=1

, είναι

, από όπου προκύπτει : f(x)= 2(x-1)^2

.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Λάμπρος Μπαλός · #4

Γεια σου φίλε Χρήστο και χρόνια πολλά. Υγεία και αγάπη.

Στην άσκηση..

γ)Αντιπαράδειγμα η $\displaystyle{f\left( x \right) = 2{\left( {x - 1} \right)^2},x \in \left[ {0,1} \right]}$

$\displaystyle{f\left( x \right) = x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{1}{2}} \right):f'\left( x \right) = 4\left( {x - 1} \right) < - 2 < - 1}$

Αυτό λειτουργεί ως παράδειγμα αφού πράγματι για γωνία μεταξύ των

και των

μοιρών, αρκεί το $f'(x_{0})<-1$ .

Λάμπρος Μπαλός · #5

Καλησπέρα Σταμάτη, χρόνια σου πολλά..
Ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.

Μόνο στο σημείο

γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το , αφού $x_{0} \in (0,1)$ προκύπτει ότι .
Συνεπώς η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο με $a\in (0, x_{0})$ σχηματίζει με τον άξονα γωνία $\omega$ με την ιδιότητα $90< \omega <135$ .

δεν έχει αποδειχθεί ο περιορισμός της γωνίας στο διάστημα που ζητείται..
Προφανώς εννοείς ότι προκύπτει f'(a)<-1

Christos.N · #6

Έχεις δίκιο βρε Λάμπρο, παρερμήνευσα.

Υ.Γ.: Διόρθωσα την αρχική απάντηση.

Σταμ. Γλάρος · #7

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Καλησπέρα Σταμάτη, χρόνια σου πολλά..
Ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου.

Μόνο στο σημείο
γ) Από το προηγούμενο ΘΜΤ για το , αφού $x_{0} \in (0,1)$ προκύπτει ότι .
Συνεπώς η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο με $a\in (0, x_{0})$ σχηματίζει με τον άξονα γωνία $\omega$ με την ιδιότητα $90< \omega <135$ .
δεν έχει αποδειχθεί ο περιορισμός της γωνίας στο διάστημα που ζητείται..
Προφανώς εννοείς ότι προκύπτει

Καλησπέρα Λάμπρο και Χρόνια Πολλά για την γιορτή σου.
Έχεις απόλυτο δίκιο. Δεν είδα τον ακριβή περιορισμό: $90< \omega <135$ .
Ο Χρήστος δίνει την σωστή απάντηση παραπάνω.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Θέμα Δ

Θέμα Δ

Re: Θέμα Δ

Re: Θέμα Δ

Re: Θέμα Δ

Re: Θέμα Δ

Re: Θέμα Δ

Re: Θέμα Δ

Μέλη σε σύνδεση