Διαγωνιστική
Συντονιστής: emouroukos
Διαγωνιστική
Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )
Suppose is a function from real numbers to real numbers such that :
and
Prove that :
Suppose is a function from real numbers to real numbers such that :
and
Prove that :
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διαγωνιστική
Πράγματι όμορφη!
Ορίζουμε τις ακολουθίες και . Ισχύει ότι η είναι γνησίως αύξουσα με και , οπότε από το θεώρημα Stolz-Cesàro έχουμε .
Έτσι, αφού , ισχύει .
Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.
Ορίζουμε τις ακολουθίες και . Ισχύει ότι η είναι γνησίως αύξουσα με και , οπότε από το θεώρημα Stolz-Cesàro έχουμε .
Έτσι, αφού , ισχύει .
Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm
Re: Διαγωνιστική
Το πρόβλημα νομίζω εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Cauchy ,Cours d' Analyse de l' Ecole Polytechnique το 1821.(Έτσι τουλάχιστον αναφέρει ο κ.Ρασσιάς στο βιβλίο μαθηματική ανάλυση Ι).
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνιστική
Μία παρατηρήση: Το είναι η τιμή της στο ενώ η είναι η ίδια η συνάρτηση. Ίσως το κομμάτι αυτό θέλει μία διόρθωση.
Δείξατε ότι .
Μετάφραση: Έστω μία συνάρτηση τέτοια ώστεKARKAR έγραψε:Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )
Suppose is a function from real numbers to real numbers such that :
and
Prove that :
Δείξατε ότι .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαγωνιστική
Θέτουμε στους άρτιους και αν .dement έγραψε: Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.
Τότε αλλά το δεν έχει όριο στο άπειρο καθώς παίρνει αενάως τις τιμές και .
- AlexandrosG
- Δημοσιεύσεις: 466
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διαγωνιστική
Ενα πιο 'καλό' παράδειγμα είναι το
Το πρόβλημα σε μένα είναι γνωστό.
Το γενικότερο είναι:
Εστω
η οποία είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.
Δηλαδή για υπάρχει ώστε
Αν
τότε το υπάρχει το
και είναι ίσο με
Να σημειώσω οι αν
τότε η είναι από κάπου και πέρα φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.
Δηλαδή για όπου σταθερά υπάρχει ώστε
.
Το πρόβλημα σε μένα είναι γνωστό.
Το γενικότερο είναι:
Εστω
η οποία είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.
Δηλαδή για υπάρχει ώστε
Αν
τότε το υπάρχει το
και είναι ίσο με
Να σημειώσω οι αν
τότε η είναι από κάπου και πέρα φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.
Δηλαδή για όπου σταθερά υπάρχει ώστε
.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες