Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4135
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Απρ 23, 2017 9:37 pm

Διαγώνισμα 5. Επίπεδο: Ευκλείδης Α Λυκείου

Πρόβλημα1 : (α) Αν \displaystyle{x\in N^{*} , y\in N} , να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{x+y}{y+1}\geq \frac{y+3}{2x+y+1}}

(β) Αν \displaystyle{x\in N}, να λυθεί η εξίσωση:

\displaystyle{\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}+ . . . +\frac{x+2009}{2010}=\frac{5}{2x+3}+\frac{6}{2x+4}+ . . . +\frac{2013}{2x+2011}}

Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ . . . +\frac{1}{100^2} < \frac{199}{100}}

Πρόβλημα 3: Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) , \displaystyle{AB} μια διάμετρος αυτού και \displaystyle{C} ένα τυχαίο σημείο του κύκλου. Με κέντρο το \displaystyle{C} γράφουμε
δεύτερο κύκλο ο οποίος εφάπτεται της χορδής \displaystyle{AB} στο σημείο \displaystyle{D} και τέμνει τον πρώτο κύκλο στα \displaystyle{E} , \displaystyle{Z}. Να αποδείξετε ότι
η \displaystyle{EZ} διχοτομεί την \displaystyle{CD}

Πρόβλημα 4: Αν \displaystyle{a,b,c\in Z} , \displaystyle{a\neq b+c} και \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3}, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}} είναι ακέραιος

(ΣΗΜ: Τα προβλήματα είναι από διάφορες πηγές)

Διορθώθηκε ένα τυπογραφικό στο πρόβλημα 4 , όπου αντί \displaystyle{a,b,c\in R} γράφουμε \displaystyle{a,b,c\in Z}
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Δευ Απρ 24, 2017 7:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 596
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 9:55 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ . . . +\frac{1}{100^2} < \frac{199}{100}}


Πολύ ωραία άσκηση! Θα απαντήσω αύριο :sleeping:


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1069
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 23, 2017 9:56 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Διαγώνισμα 5. Επίπεδο: Ευκλείδης Α Λυκείου

Πρόβλημα 1 : (α) Αν \displaystyle{x\in N^{*} , y\in N} , να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{x+y}{y+1}\geq \frac{y+3}{2x+y+1}}

(β) Αν \displaystyle{x\in N}, να λυθεί η εξίσωση:

\displaystyle{\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}+ . . . +\frac{x+2009}{2010}=\frac{5}{2x+3}+\frac{6}{2x+4}+ . . . +\frac{2013}{2x+2011}}



Καλησπέρα Δημήτρη.

α) Από την εκφώνηση, x \geqslant 1.

Άρα:

\bullet \dfrac{x+y}{y+1} \geqslant \dfrac{1+y}{y+1}=1, άρα \dfrac{x+y}{y+1} \geqslant 1 (1).

\bullet \dfrac{y+3}{2x+y+1} \leqslant \dfrac{y+3}{2+y+1}=1, άρα \dfrac{y+3}{2x+y+1} \leqslant 1 (2).

Από (1), (2), \dfrac{x+y}{y+1} \geqslant 1 \geqslant \dfrac{y+3}{2x+y+1}, ό.έ.δ.

β) Βάζουμε τους προφανής περιορισμούς.

Παρατηρούμε ότι το κάθε μέλος αποτελείται από 2009 όρους.

Αν x>1, \dfrac{x+1}{2}>1, \, \dfrac{x+2}{3} >1, \, \ldots ,\dfrac{x+2009}{2010} >1.

Έτσι, \dfrac{x+1}{2} +\dfrac{x+2}{3} + \ldots +\dfrac{x+2009}{2010} >2009 (3).

Όμοια, \dfrac{5}{2x+3}<1, \, \dfrac{6}{2x+4}<1, \, \dfrac{2013}{2x+2011}<1, άρα \dfrac{5}{2x+3}+\dfrac{6}{2x+4}+ \ldots +\dfrac{2013}{2x+2011}<2009 (4).

Από (3), (4) έχουμε προφανώς άτοπο.

Όμοια, έχουμε άτοπο αν x<1.

Άρα, πρέπει υποχρεωτικά \boxed{x=1}, που επαληθεύει.

Υ.Γ. Μια διαφορετική λύση μπορεί να γίνει με χρήση του α). Η παραπάνω λύση είναι γενικότερη για x \in \mathbb{R}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από JimNt. » Κυρ Απρ 23, 2017 10:06 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ . . . +\frac{1}{100^2} < \frac{199}{100}}


Με επαγωγή στο n μπορεί να δειχθεί ότι \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+....+\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{2n-1}{n}, για n>1.


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-12-9-15-18 Ν.
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1069
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 23, 2017 10:08 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Διαγώνισμα 5. Επίπεδο: Ευκλείδης Α Λυκείου



Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ . . . +\frac{1}{100^2} < \frac{1\color{black}99}{100}}




Είναι \dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}.

Έτσι, \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+ \ldots +\dfrac{1}{100^2}=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+ \ldots+ \dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=1+1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{199}{100}.

Με πρόλαβε ο JimNt.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1069
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 23, 2017 10:56 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Διαγώνισμα 5. Επίπεδο: Ευκλείδης Α Λυκείου



Πρόβλημα 3: Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) , \displaystyle{AB} μια διάμετρος αυτού και \displaystyle{C} ένα τυχαίο σημείο του κύκλου. Με κέντρο το \displaystyle{C} γράφουμε
δεύτερο κύκλο ο οποίος εφάπτεται της χορδής \displaystyle{AB} στο σημείο \displaystyle{D} και τέμνει τον πρώτο κύκλο στα \displaystyle{E} , \displaystyle{Z}. Να αποδείξετε ότι
η \displaystyle{EZ} διχοτομεί την \displaystyle{CD}



Έστω K το σημείο τομής της CD με την EZ και L το σημείο τομής της CO με την EZ.

Από Π.Θ., CO^2=OD^2+DC^2 (1).

Επίσης, OE^2-EC^2=OL^2-LC^2=OK^2-KC^2, οπότε OE^2-EC^2=OK^2-KC^2 (2).

Προφανώς, OE=OC, \, EC=CD (3).

Έτσι, \displaystyle KO^2=KD^2+OD^2 \mathop = \limits^{(1)} KD^2+CO^2-CD^2

\mathop = \limits^{(3)} KD^2+OE^2-CD^2 \mathop = \limits^{(3)} KD^2+ OE^2-CE^2 \mathop = \limits^{(2)} KD^2+OK^2-KC^2.

Έτσι, OK^2=KD^2+OK^2-KC^2, οπότε KC=KD.

ORESTIS2.png
ORESTIS2.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από mikemoke » Δευ Απρ 24, 2017 12:08 am

[quote="ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ"]Διαγώνισμα 5. Επίπεδο: Ευκλείδης Α Λυκείου



Πρόβλημα 3: Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) , \displaystyle{AB} μια διάμετρος αυτού και \displaystyle{C} ένα τυχαίο σημείο του κύκλου. Με κέντρο το \displaystyle{C} γράφουμε
δεύτερο κύκλο ο οποίος εφάπτεται της χορδής \displaystyle{AB} στο σημείο \displaystyle{D} και τέμνει τον πρώτο κύκλο στα \displaystyle{E} , \displaystyle{Z}. Να αποδείξετε ότι
η \displaystyle{EZ} διχοτομεί την \displaystyle{CD}

Με αναλυτική γεωμετρία
C(a,\sqrt{R^2-a^2})

κύκλοσ (C,CD) με εξίσωση : x^2-2ax+a^2+y^2-2\sqrt{R^2-a^2}y=0 (1) και x^2+y^2=R^2 (2)
(2)-(1)---->εξίσωση της EZ : 2ax+2\sqrt{R^2-a^2}y-a^2-R^2=0
με αντικατάσταση x=a βρίσκουμε σημείο τομήσ EZ,CD με y=\frac{\sqrt{R^2-a^2}}{2}


Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Απρ 24, 2017 12:09 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 4: Αν \displaystyle{a,b,c\in R} , \displaystyle{a\neq b+c} και \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3}, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}} είναι ακέραιος

Αν πάρουμε b=c=1 και a=\sqrt[3]{2} τότε δεν ισχύει η πρόταση.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4135
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Απρ 24, 2017 7:17 am

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 4: Αν \displaystyle{a,b,c\in R} , \displaystyle{a\neq b+c} και \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3}, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}} είναι ακέραιος

Αν πάρουμε b=c=1 και a=\sqrt[3]{2} τότε δεν ισχύει η πρόταση.


Καλημέρα. Προφανώς είναι τυπογραφικό λάθος . Πρέπει να εννοεί \displaystyle{a,b,c\in Z}. Το διορθώνω .
(Η Πηγή της άσκησης είναι από το βιβλίο Matematica Olimpiade si concursuri scolare 2010, clasele VII-VIII)


Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Απρ 24, 2017 7:41 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ . . . +\frac{1}{100^2} < \frac{199}{100}}


Μία άλλη λύση:
\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}<1,9<1,99=\frac{199}{100}}


Άβαταρ μέλους
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Απρ 24, 2017 7:50 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 4: Αν \displaystyle{a,b,c\in R} , \displaystyle{a\neq b+c} και \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3}, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}} είναι ακέραιος

Αν πάρουμε b=c=1 και a=\sqrt[3]{2} τότε δεν ισχύει η πρόταση.


Καλημέρα. Προφανώς είναι τυπογραφικό λάθος . Πρέπει να εννοεί \displaystyle{a,b,c\in Z}. Το διορθώνω .
(Η Πηγή της άσκησης είναι από το βιβλίο Matematica Olimpiade si concursuri scolare 2010, clasele VII-VIII)

Καλημέρα. Νομίζω υπάρχει πρόβλημα με τον περιορισμό. Από FLT η εξίσωση a^3=b^3+c^3 έχει λύση
abc=0 και a=b+c. Όμως σε οποιαδήποτε περίπτωση μηδενίζεται ο παρονομαστής.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4135
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Διαγώνισμα 5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Απρ 24, 2017 11:49 am

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 4: Αν \displaystyle{a,b,c\in R} , \displaystyle{a\neq b+c} και \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3}, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{bc(b+c)}{b+c-a}} είναι ακέραιος

Αν πάρουμε b=c=1 και a=\sqrt[3]{2} τότε δεν ισχύει η πρόταση.


Καλημέρα. Προφανώς είναι τυπογραφικό λάθος . Πρέπει να εννοεί \displaystyle{a,b,c\in Z}. Το διορθώνω .
(Η Πηγή της άσκησης είναι από το βιβλίο Matematica Olimpiade si concursuri scolare 2010, clasele VII-VIII)

Καλημέρα. Νομίζω υπάρχει πρόβλημα με τον περιορισμό. Από FLT η εξίσωση a^3=b^3+c^3 έχει λύση
abc=0 και a=b+c. Όμως σε οποιαδήποτε περίπτωση μηδενίζεται ο παρονομαστής.


Γιάννη, δεν το είχα υπ όψιν μου ότι στο Ζ η ισότητα \displaystyle{a^3 =b^3 +c^3} έχει λύση μόνο όταν \displaystyle{abc=0 , a=b+c}. Στο Ρουμάνικο βιβλίο από όπου
πήρα την άσκηση, δίνει την λύση (όχι δύσκολη), παραβλέποντας το γεγονός ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι. Ίσως με βάση την μαθηματική λογική να μην υπάρχει πρόβλημα, όμως συμφωνώ ότι πρέπει να αποφεύγονται τέτοιου είδους θέματα (θυμόμαστε ότι τέτοιο θέμα είχε προκύψει παλιά και στις Πανελλήνιες, όπου δινόταν κάποιες συνθήκες για μια συνάρτηση που όμως τέτοια συνάρτηση δεν ήταν δυνατόν να υπάρχει)



Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες