ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010

[cretanman]

Με αφορμή τον αυριανό διαγωνισμό της ΕΜΕ "Ο Ευκλείδης" θα ήθελα να ευχηθώ σε όλους τους συμμετέχοντες και ιδιαίτερα στους επιτυχόντες που είναι και μέλη του :

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Αύριο με το καλό, θα σχολιάσουμε και θα λύσουμε εδώ τα θέματα του διαγωνισμού!

Αλέξανδρος

[Σταύρος Σταυρόπουλος]

Καλή επιτυχία και από εμένα σε όλους τους συμμετέχοντες στο διαγωνισμό και ιδιαίτερα στα μέλη του mathematica.

[cretanman]

Μια και έχει περάσει η ώρα δυνατής αποχώρησης, σας παραθέτω τα θέματα του φετινού διαγωνισμού "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ".

Αλέξανδρος

[Eagle]

Καποιος μπορει να δημοσιευσει τις λυσεις???

[Dimitris X]

Eγώ έδωσα τρίτη λυκείου....
Τα θέματα συγκριτικά με άλλες χρονιές μου φάνηκαν πιο δύσκολα.....
Δεν περίμενα ακολουθία.....και δυστυχώς δεν την έλυσα.....
Ούτε τη δεύτερη την έλυσα....(γιατι δεν πρόλαβα ούτε το σχήμα να κάνω καλά καλά..... )

Η τρίτη με παίδεψε απίστευτα..!!!!Αλλά τελικά ήταν εξαιρετικής ομορφιάς άσκηση...!!!!
Πρέπει να έκανα καμιά 10αρια σελίδες πράξεις για να μου έρθει η ιδέα με τους μιγαδικους περίπου 20 λεπτά την τελειώσει το 3ωρο....Ευτυχώς πρόλαβα να την βάλω αλλά αρκετά συνοπτικά και με τσαπατσούλικα γράμματα επειδή βιαζόμουν....

Το τέταρτο το έλυσα επίσης αλλά θα ήθελα να δω τις επίσημες λύσεις για να σιγουρευτώ.....(και αυτό το έλυσα καμιά ώρα πριν το τέλος και βιαζόμουν....)

Τις πρώτες δύο ώρες ούτε ένα θέμα δεν ειχα λύσει!!!!!

Συγκριτικά με τα περσινά θέματα ειδικά πιστεύω ότι ήταν ΠΟΛΥ πιο δύσκολα.....

Συνοπτικά αν και ήταν όμορφα θέματα δεν πιστεύω ότι ήταν και τα καλήτερα....Εγώ προσωπικά περίμενα μία classic number theory και ένα polynomial (ή καμια functional equation....) αλλά τίποτα.....

Δημήτρης

Ελπίζω να μην βαθμολογείται και η εικόνα του γραπτού.....

[ifaigios]

Καλησπέρα, μόλις επέστρεψα σπίτι μου από τον Ευκλείδη. (Πέσαμε και πάνω στους αγρότες που μοίραζαν κομπόστες και φυλλάδια με τα αιτήματά τους στα διερχόμενα αυτοκίνητα στο γυρισμό!)
Τα θέματα μου άρεσαν, αν και λίγο πιο δύσκολα από τα περσινά της Γ' Γυμνασίου, μου φάνηκαν σχετικά εύκολα και τα έλυσα μέσα σε 1,5 ώρα όλα.

Οι απαντήσεις μου (Γ' Γυμνασίου είπαμε):

1) ν=2 ή ν=6

Αν ν περιττός τότε Α=0 , απορρίπτεται αφού Α είναι διαιρέτης ακεραίου.
Άρα ν=2κ και Α=4ν=8κ (κ θετικός ακέραιος).
Διαιρέτες του 24: 1, 2, 3 ,4 ,6, 8, 12, 24
Αφού κ>=1, έχουμε 8κ>=8, οπότε μένουν μόνο οι περιπτώσεις
Α=8κ=8 <-> ν=2κ=2,
Α=8κ=12 <-> ν=2κ=3 (απορρίπτεται)
και Α=8κ=24 <-> ν=2κ=6, άρα

ν=2 ή ν=6

2) Όχι δεν υπάρχει.

Με πράξεις καταλήγουμε:
ab-11a-2b=0 <->
ab-11a-2b+22=22 <->
(a-2)(b-11)=22 <->

ή (a-2)(b-11)=1*22
ή (a-2)(b-11)=2*11
ή (a-2)(b-11)=(-1)*(-22)
ή (a-2)(b-11)=(-2)*(-11)

Όλες οι περιπτώσεις απορρίπτονται, οπότε καταλήγουμε σε άτοπο.

3) S=1.000

Βγάζουμε διαφορές τετραγώνων. (Οι 1.000 όροι γίνονται 500)
Βγάζουμε από τον 1ο, 3ο, 5ο, κτλ. όρο κοινό παράγοντα το -1.
Παρατηρούμε ότι ο πρώτος παράγοντας κάθε γινομένου διαφοράς τετραγώνων γίνεται μονάδα.
Κάνουμε τις προσθέσεις (1+2, 3+4, 5+6, κτλ.).
Παρατηρούμε ότι -(1+2)+(3+4)=-3+7=4 , -(5+6)+(7+8)=-11+15=4, κτλ. (Οι 500 όροι γίνονται 250)
Οπότε μένουμε με 250 τεσσάρια και S=4*250=1.000

4) θ=30, ΕΖ=(5/4)β

Προεκτείνουμε την ΕΔ έτσι ώστε να τμήσει κάθετα τη ΒΓ στο Η.
Χρησιμοποιούμε τα ημίτονα των γωνιών 30 και 60 μοιρών καθώς και το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΕΗΖ για να βρούμε το ζητούμενο.

Συγγνώμη που δεν γράφω τις λύσεις αναλυτικά αλλά δε γνωρίζω γρυ από LATEX.

[cretanman]

Γ' Λυκείου:

Το πρώτο:



.
.
.



Προσθέτωντας τις παραπάνω παίρνουμε τελικά άρα θέλουμε τις λύσεις ως προς της εξίσωσης . Επειδή το είναι άρτιος άρα είναι κάποιος άρτιος διαιρέτης του . Τελικά κάνοντας τις δοκιμές βρίσκουμε και οι αντίστοιχες τιμές για το k είναι .

Αλέξανδρος

EDIT: Πρόσθεσα το n=2 που είχα ξεχάσει. Ευχαριστώ τον Demetres για την επισήμανση

[ifaigios]

Εδώ τα θέματα και οι λύσεις τους από την Ε.Μ.Ε.

[cretanman]

Γ Λυκείου

Το τέταρτο:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να τοποθετήσουμε το κέντρο των δύο κύκλων στο σημείο και το σημείο Μ στο σημείο . Τότε μία χορδή η οποία έχει ακέραιο μήκος είναι η διάμετρος με μήκος 30 και άλλη μία είναι (εύκολη επαλήθευση) η εφαπτόμενη στο σημείο Μ στον κύκλο με μήκος .

Κάθε άλλη χορδή έχει μήκος ανάμεσα στην εφαπτόμενη στο Μ με μήκος και στην διάμετρο με μήκος (εύκολο).

Κάθε ευθεία που διέρχεται από το Μ έχει εξίσωση και τέμνει τον κύκλο με εξίσωση σε σημεία Α,Β τα οποία είναι τέτοια ώστε το μήκος ΑΒ να είναι ίσο με:

το οποίο έχει δύο λύσεις ως προς για κάθε τιμή του ΑΒ όπου ΑΒ είναι ίσο με άρα για κάθε τιμή του ΑΒ παίρνουμε δύο τέτοιες χορδές.

Συνολικά λοιπόν διέρχονται χορδές από το σημείο Μ που έχουν ακέραιο μήκος.

Αλέξανδρος

[cretanman]

Ανεβάζω κι εδώ τις λύσεις για να μην τύχει αργότερα και τα χάσουμε σε πιθανή βλάβη της ιστοσελίδας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Αλέξανδρος

EDIT: Η ΕΜΕ έκανε κάποιες διορθώσεις στις επίσημες λύσεις και το αρχείο αντικαταστάθηκε.

[Demetres]

Στην (1) της Γ' Λυκείου δεν θα έπρεπε να λέει "να βρείτε για ποιες τιμές του "; Αν κάποιος μαθητής πει ότι για έχουμε με τι θα βαθμολογηθεί;

Αλέξανδρε, νομίζω στην λύση έχασες το 2010. Από ότι βλέπω και στην επίσημη λύση έχασαν κάποιες λύσεις.

[Dreamkiller]

Συμφώνω με τον Δημήτρη (Dimitris X) για την δυσκολία των θεμάτων. Γενικά, μου φάνηκε από τους δυσκολότερους Ευκλείδες των τελευταίων ετών.
Εγώ έδινα στην Β' Λυκείου:
Το πρώτο θέμα ήταν σχετικά εύκολο, αν και νομίζω μου ξέφυγε μια περίπτωση.
Την γεωμετρία δεν την έλυσα ολόκληρη αν και κινήθηκα με τον ίδιο τρόπο που κινείται και η επίσημη λύση. Επίσης, δε μ' αρέσουν οι γεωμετρίες με τόσους πολλούς κύκλους.
Το τρίτο θέμα με παίδεψε και το έλυσα με διαφορετικό τρόπο απ' ότι στις λύσεις. Αντί να δουλέψω με διαστήματα, πήρα κανονικά τις λύσεις της δευτεροβάθμιας και απέδειξα ότι υπάρχουν α ώστε να είναι αντίστοιχα θετικό ή αρνητικό.
Το τέταρτο θέμα το έλυσα θέτοντας A= x^2 +x+1 και B= x+1 και τετραγωνίζοντας κατέληξα σε κάτι σχετικά απλό, με άθλιες ρίζες όμως. Γι' αυτόν τον λόγο σπατάλησα αρκετή ώρα ελέγχοντάς το πριν το γράψω επίσημα.

Επίσης, κι εγώ την πρώτη ώρα δεν μπορούσα να σκεφτώ.
Τέλος, πάλι 3 Άλγεβρες και 1 Γεωμετρία; Θα ήθελα να είχε μία θεωρία αριθμών ή ακόμα και Συνδυαστική/Λογική.

[lefteris mastoris]

Γεια σας και απο εμενα.Εδινα στη Β λυκειου και μαλλον τα ελυσα και τα 4.Σχετικα βατα μου φανηκαν τα θεματα των περισσοτερων ταξεων.Καλα αποτελεσματα σε ολα τα μελη!!!!!!!! ΛΕΥΤΕΡΗΣ

[cretanman]

Αλέξανδρε, νομίζω στην λύση έχασες το 2010. Από ότι βλέπω και στην επίσημη λύση έχασαν κάποιες λύσεις.

Σωστά δεν έβαλα την περίπτωση οπότε .

Το προσθέτω στη λύση παραπάνω.

Αλέξανδρος

[Stavroulitsa]

Καλησπέρα! Εγώ στην τελευταία πρέπει να έκανα λάθος στις πράξεις, από χαζομάρες και στην πρώτη ενώ έλεγε ότι το Α είναι διαιρέτης του 24, μπερδεύτηκα και νόμιζα πως έλεγε ότι το 24 πρέπει να είναι διαιρέτης του Α... Και λίγη ώρα αφού παρέδωσα το γραπτό μου συνειδητοποίησα τα λάθη που έκανα, αλλά δεν πειράζει θα πάω στην Αυστρία (Και θα παρουσιάσω για τα Μαθηματικα & τη Φιλοσοφια!!! , με το πρόγραμμα Euromath) χωρίς το άγχος του Αρχιμήδη...

[killbill121]

Και εγω εδωσα σημερα Β Λυκειου .Ελυσα το 1ο ,3ο,4ο απο το 2ο μονο το σχημα προλαβα να κανω ελπιζω να περασα .Μολις ειδα την εκφωνηση της γεωμετριας τρομαξα ειπα οτι θα την αφησω για το τελος αλλα δυστυχως δεν την προλαβα.Ελπιζω να περασω εκανα οτι καλυτερο μπορουσα .Σημασια εχει η εμπειρια παντως.

Καλα αποτελεσματα σε ολους

[ξαροπ]

Kαλησπέρα έδωσα και γω αν και άρρωστος τον Ευκλείδη...και έκανα τις συνηθισμένες βλακείες μου στη Γ' Γυμνασίου.

Στο 1ο όλα εντάξει μέχρι το τέλος, αποκλείω και τις τιμές 1/2 και 3/2 για το ν, έχω γράψει και μέχρι τώρα 2-3 φορές ότι ο ν είναι οπωσδήποτε άρτιος και...αφηρημένος βάζω ν = 1, 2, 3, 6. (με ν άρτιο φυσικό ).

Στο 2ο πρότεινα δυο διαφορετικές λύσεις, μία με περιπτώσεις (χωρίς να δω αυτό που έλεγε η επίσημη λύση της ΕΜΕ), όπου βρήκα συνολικά 8 ζευγάρια χωρίς κανένα να πληρεί της προυποθέσεις, και μετά μία όπου πρόσθεσα στη σχέση τον όρο 22 και είπα (2-α)(11-β) = 22 άρα αφού β < 11 είναι 11-β > 0 και τότε α < 2 άρα α = 1 για την οποία όμως παίρνουμε β = 33, άτοπο.

Στο 3 οκ, με τη γενίκευση θα μπορούσε κανείς να το βγάλει εύκολα

Στο 4 όλα οκ, αλλά κατέληξα στο αποτέλεσμα που είναι το ίδιο με το .

Ελπίζω να μην κοπώ από την βλακώδη απροσεξία μου στο τέλος της 1

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά.


Επίσης, απίστευτο κι όμως αληθινό: μας βάλανε σε λάθος κτήριο και τελικά η Γ' Γυμνασίου άριχσε στις 10!

Να ρωτήσω κάτι άσχετο, όταν ζήτησα 2η κόλλα μου έδωσαν ένα χαρτί χωρίς τη σφραγίδα της ΕΜΕ, και ύστερα από καμιά ώρα μας είπαν ότι τα χαρτιά χωρίς σφραγίδα είναι πρόχειρα...τους είπα ότι το ερώτημα 1 και το 4β το έχω γράψει εκεί και ο επιτηρητής μου απάντησε ότι δεν υπάρχει πρόβλημα, "θα το σφραγίσουμε μετά"...ωστόσο για καλό και για κακό έγραψα "ΚΑΘΑΡΟ, εδώ οι επίσημες λύσεις, όχι πρόχειρο" κτλ. και στο αρχικό δήλωσα ότι η συνέχεια της 4 και η 1 είναι στη 2η κόλλα. Πιστεύω ότι ξεκαθάρισα τη θέση μου, αλλά υπάρχει περίπτωση να μην το αντιληφθούν και να το περάσουν ως πρόχειρο, σκίζοντάς το? Ή μήπως έχω μεγάλη φαντασία.

[polysot]

Συγχαρητήρια και καλά αποτελέσματα σε ΟΛΟΥΣ σας που δώσατε! Μπράβο σας

Μία παρατήρηση για το 4ο θέμα Β΄Λυκείου. Έβγαινε επίσης εύκολα θέτοντας χ+1 = ψ και υψώνοντας στο τετράγωνο αφού πρώτα αλλάξεις μέλος στη μία ρίζα. Πρέπει όντως χ<=-1.

[Κώστας Παππέλης]

Τα θέματα φέτος ήταν αρκετά τσιμπημένα κατά κοινή ομολογία. Αλλά αυτό δεν έχει σημασία διότι υπήρχαν περισσότεροι διαγωνιζόμενοι και χρειάζεται να κοπούν και περισσότεροι. Θα έλεγα ότι η βάση είναι το 10 χοντρικότατα.

Κατά τη διάρκεια του διαγωνισμού που έκανα επιτήρηση ασχολήθηκα με τα θέματα της Γ Λυκείου.

Το πρώτο ήταν αρκετά εύκολο νομίζω.

Το δεύτερο (γεωμετρία) ήταν ιδιαίτερα δύσκολο για όσους δε γνωρίζουν τις ιδιότητες του σημείου Miquel και το ριζικό άξονα που στον Ευκλείδη θα ήταν σίγουρα πολλοί. Αφήστε που η εκφώνηση του δεύτερου ερωτήματος ήταν ιδιαίτερα ψαρωτική (καλώς ή κακώς)...

Το τρίτο ήταν το δύσκολο θέμα της ημέρας. Λυνόταν ωραία με μιγαδικούς αλλά η λύση που βρήκα εγώ όσο επιτηρούσα είναι καθαρά αλγεβρική. Απλώς ένα hint: Δημιουργήστε και στις δύο εξισώσεις το με προσθαφαιρέσεις και πολλαπλασιασμούς και εξισώστε.

Το τέταρτο ήταν προσεγγίσιμο πιστεύω. Αν όχι το 5 λόγω δικαιολογήσεων πιστεύω οι περισσότεροι θα έχουν τσιμπήσει μερικά μοριάκια...

[Μπάμπης Στεργίου]

Αν και ήμουνα στο εξεταστικό κέντρο, λόγω διοικητικών υποχρεώσεων , μόνο 3-4 θέματα πρόλαβα να λύσω και να χαρώ, κυρίως των μεγάλων τάξεων.
Ελπίζω ότι μέχρι την άλλη εβδομάδα θα τα έχουμε διορθώσει για να στείλουμε τις βαθμολογίες στα κεντρικά.

Εύχομαι καλά αποτελέσματα και καλή συνέχεια στον Αρχιμήδη !

Μπάμπης