Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Επιτροπή Θεμάτων 2023 · #1

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και θα συζητηθούν, αποκλειστικά, τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2017.

Edit: Προσθήκη των θεμάτων

Tolaso J Kos · #2

Με μία πρώτη ματιά.

Πολύ ωραία θέματα , πρωτότυπα αν και δύσκολα.

Θέμα Α

(Α1) Θεωρία του σχολικού.
(Α2) H συνάρτηση $f(x)=|x| , \; x \in \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο x_0=0

εντούτοις δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\left | x \right |}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x}{x} = 1}$ και
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{\left | x \right |}{x} = -\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{x}{x} = -1}$ (Α3) Θεωρία του σχολικού.
(Α4) (α) Λ (β) Σ (γ) Λ (δ) Σ (ε) Σ

#3

Καλημέρα σε όλους! Η προσωπική μου άποψη: Αρκετά απαιτητικό Δ θέμα με άρωμα Άλγεβρας από προηγούμενες τάξεις (τριγωνομετρία, ανισότητες κτλ). Κάποιος χρειάζεται να έχει πολύ καλή μαθηματική παιδεία για να ανταπεξέλθει σε αυτό. Ακόμη και το πρώτο ερώτημα θέλει προσοχή για την εύρεση της παραγώγου στο (-1,0)

και την εξέταση της παραγωγισιμότητας στο

.

Δ1) Το πεδίο ορισμού της

είναι το $A=[-1,\pi]$ .

Η f είναι συνεχής στο [-1,0)

και στο $(0,\pi]$ αφού προκύπτει από σύνθεση συνεχών και από γινόμενο συνεχών αντίστοιχα.

Επίσης $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt[3]{x^4}=0$ και
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}e^x\sin{x}=0=f(0)$

Οπότε $\displaystyle\lim_{x\to 0}=f(0)$ κι έτσι η

είναι συνεχής και στο

. Άρα τελικά η

είναι συνεχής στο

.

Κρίσιμα σημεία της

(εσωτερικά σημεία του

που η

δεν υπάρχει είτε μηδενίζεται)

Για $-1\leq x<0$ είναι $f(x)=\sqrt[3]{x^4}=\sqrt[3]{(-x)^4}=(-x)^{4/3}$

και η

είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=-\dfrac{4}{3}(-x)^{1/3}$

Για $0<x\leq \pi$ η

είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=e^x(\sin{x}+\cos{x})$

Επίσης

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{(-x)^{4/3}}{x}=-\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\left(-(-x)^{1/3}\right)=0$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}e^x\dfrac{\sin{x}}{x}=1\cdot 1=1$

Συνεπώς η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο

. Άρα το

είναι κρίσιμο σημείο της

.

Θα βρούμε τα σημεία που η

μηδενίζεται

Αν -1< x<0

είναι

Για $0<x<\pi$ είναι $f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin{x}+\cos{x}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}$

Συνεπώς τα κρίσιμα σημεία της

είναι το

και το $\dfrac{3\pi}{4}$ .

Δ2) Αν $-1\leq x<0$ είναι f'(x)<0

και

συνεχής στο

άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1,0]

Αν $0<x<\dfrac{3\pi}{4}$ τότε f'(x)>0

και η

είναι συνεχής στο

και στο $\dfrac{3\pi}{4}$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right]$

Τέλος, άν $\dfrac{3\pi}{4}<x<\pi$ τότε f'(x)<0

άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right]$

Τελικά η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο

το

, τοπικό ελάχιστο στο

το

, τοπικό μέγιστο στο $\dfrac{3\pi}{4} το f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}>1$ και τέλος τοπικό ελάχιστο στο $\pi$ το $f(\pi)=0$ .

Για το σύνολο τιμών:

Η

είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο A_1=[-1,0]

άρα

Η

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο $A_2=\left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right]$ άρα $f(A_2)=\left[f(0),f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]=\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}\right]$

Η

είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $A_3=\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right]$ άρα $f(A_3)=\left[f(\pi),f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]=\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}\right]$

Τελικά, το σύνολο τιμών της

είναι το $f(A)=f(A_1)\cup f(A_2)\cup f(A_3)=\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}\right]$

Δ4) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται

$\begin{aligned}16f(x)-(4x-3\pi)^2 =8\sqrt{2}e^{3\pi/4} &\Leftrightarrow f(x)-\dfrac{(4x-3\pi)^2}{16}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4} \\ &\Leftrightarrow f(x)-\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)^2=f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \\ &\Leftrightarrow f(x)-f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)^2 \ \ (1)\end{aligned}$

Όμως $f(x)\leq f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \Leftrightarrow f(x)-f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\leq 0$ με ισότητα μόνο στο $x=\dfrac{3\pi}{4}$ λόγω του συνόλου τιμών.

Από την άλλη $\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)^2 \geq 0$ με ισότητα επίσης μόνο στο $x=\dfrac{3\pi}{4}$ .

Άρα τελικά η (1)

ισχύει μόνο για $x=\dfrac{3\pi}{4}$

Αλέξανδρος

#4

Επιτροπή Θεμάτων 2017 έγραψε:Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και θα συζητηθούν, αποκλειστικά, τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2017...

Η συζήτηση αφορά κυρίως την επίλυση των θεμάτων. Χωρίς να απαγορεύεται, δεν νομίζω ότι προσφέρει κάτι -και σίγουρα όχι σε αυτήν την συζήτηση- η γενική κριτική των θεμάτων (Όλοι έχουμε την άποψή μας για τα σημερινά θέματα.)

#5

Για το Δ4, η ιδέα μου θυμίζει την ιδέα του ερωτήματος Δ5 το οποίο είχα δημοσιεύσει το Φεβρουάριο του 2015 εδώ (η ιδέα με την οποία το κατασκεύασα και η λύση βρίσκεται εδώ) και το οποίο είχα στείλει από τότε στο study4exams. Φέτος έχει καταχωρηθεί στο 2ο ή 3ο διαγώνισμα του study4exams (δε μπορώ να το δω αυτή τη στιγμή καθώς είναι εκτός λειτουργίας λόγω των πανελλαδικών).

Αλέξανδρος

dement · #6

Στο Γ4 βγαίνει καλύτερο φράγμα απλώς με $f(x) \geqslant -1$ .

#7

Α1. Απόδειξη , σχολικό σελ 253 ( παλιό)
Α2. α. Λάθος
β. Με αντιπαράδειγμα :
H συνάρτηση $f(x)=|x|=\left\{ \begin{matrix} \,\,\,x,\,\,x\ge 0 \\ -x,\,\,x<0 \\ \end{matrix} \right.$ είναι συνεχής στο x_0=0

αφού
$\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0}$ ,
όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

αφού
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1$ και $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=-1$

Α3. Ορισμός , σχολικό σελ . 143 (παλιό)
Α4.
α) Λάθος
β) Σωστό , σχολικό σελ 143 (παλιό)
γ) Λάθος , σχολικό σελ 254 (παλιό)
δ) Σωστό , σχολικό σελ 185 (παλιό)
ε) Σωστό , σχολικό σελ 194 (παλιό)

#8

Για το Γ1

Η τυχαία εφαπτομένη της

έχει εξίσωση $y+\sin a=-\cos a(x-a)$

Διέρχεται από το σημείο $A(\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2})$ αν και μόνο αν $\dfrac{\pi}{2}\cos a+\sin a-a\cos a-\dfrac{\pi}{2}=0.$

Θεωρούμε την εξίσωση $k(x)=\dfrac{\pi}{2}\cos x+\sin x-x\cos x-\dfrac{\pi}{2}$ στο $[0,\pi].$

Έχει δύο προφανείς ρίζες αφού $k(0)=k(\pi)=0$

$k'(x)=(x-\dfrac{\pi}{2})\sin x$

Αν είχαμε τρεις ρίζες στο $[0,\pi]$ , από το θεώρημα Rolle η παράγωγός της θα είχε 2 τουλάχιστον στο $(0,\pi)$ άτοπο αφού έχει μόνο την $\dfrac{\pi}{2}.$

#9

Μια άλλη λύση στο Γ1:

Η εφαπτομένη της $\mathrm{C}_{f}$ στο σημείο της M(x_0,f(x_0))

, με $x_0\in[0,\pi],$ έχει εξίσωση:

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

, δηλαδή: $y+\eta\mu x_0=-\sigma\upsilon\nu x_0(x-x_0).$

Η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο $A\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ , άρα:

$-\dfrac{\pi}{2}+\eta\mu x_0=-\sigma\upsilon\nu x_0\left(\dfrac{\pi}{2}-x_0\right)\Leftrightarrow2\eta\mu x_0-2x_0\sigma\upsilon\nu x_0+\pi\sigma\upsilon\nu x_0-\pi=0.$

Έστω, $g(x)=2\eta\mu x-2x\sigma\upsilon\nu x-\pi\sigma\upsilon\nu x-\pi,$ με $x\in[0,\pi]$ .

H συνάρτηση

είναι συνεχής, ως πράξεις συνεχών, στο $[0,\pi]$ και παραγωγίσιμη στο $(0,\pi)$ με:

$g'(x)=2x\eta\mu x-\pi\eta\mu x.$

$g'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}$ , αφού $\eta\mu x>0$ , για κάθε $x\in(0,\pi)$ .

Επίσης, g'(x)<0

για κάθε $x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ , άρα $g\downarrow[0,\dfrac{\pi}{2}]$ και

g'(x)>0

για κάθε $x\in(\dfrac{\pi}{2},\pi)$ , άρα $g\uparrow[\dfrac{\pi}{2},\pi]$ .

Οπότε,

αφού

συνεχής στο $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ και $g\downarrow[0,\dfrac{\pi}{2}]$ , τότε:

$g\left([0,\dfrac{\pi}{2}]\right)=[g(\dfrac{\pi}{2}),g(0)]=[2-\pi,0]$

και

αφού

συνεχής στο $[\dfrac{\pi}{2},\pi]$ και $g\uparrow[0,\dfrac{\pi}{2}]$ , τότε:

$g\left([\dfrac{\pi}{2},\pi]\right)=[g(\dfrac{\pi}{2}),g(\pi)]=[2-\pi,0]$ .

Άρα, οι μοναδικές ρίζες της

στο $[0,\pi]$ είναι: x=0

ή $x=\dfrac{\pi}{2}$ .

Οπότε, αν x_0=0

, τότε: $(\epsilon_1): y=-x$

και

αν $x_0=\dfrac{\pi}{2}$ , τότε: $(\epsilon_2): y=x-\pi$ .

Νίκος Κατσίπης

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #10

exdx έγραψε: β. Με αντιπαράδειγμα :
H συνάρτηση $f(x)=|x|=\left\{ \begin{matrix} \,\,\,x,\,\,x\ge 0 \\ -x,\,\,x<0 \\ \end{matrix} \right.$ είναι συνεχής στο αφού
$\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0}$ ,
όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο αφού
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1$ και $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=-1$

Αν ένας μαθητής απαντούσε ότι η πρόταση στο Α2(α) είναι ψευδής και επικαλούνταν στο Α2(β) την συνάρτηση f(x)=|x|

που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, χωρίς να αποδείξει ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, δεν θα ήταν πλήρης η απάντηση του ?

#11

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. H

είναι συνεχής στο διάστημα $\left[ -1,0 \right)$ (πράξεις με συνεχείς στο διάστημα αυτό συναρτήσεις και στο $\left( 0,\pi \right]$ (ως γινόμενο συνεχών) .

Είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\sqrt[3]{{{x^4}}}} \right)\mathop = \limits^{u = {x^4},\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} u = {0^ + }}$ $\mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} \left( {\sqrt[3]{u}} \right) = 0 = {e^0} \cdot \eta \mu 0 = 0 = f\left( 0 \right)$ και

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{e^x} \cdot \eta \mu x} \right)$ $\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^x} = {e^0} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \eta \mu x = \eta \mu 0 = 0} 1 \cdot 0 = 0 = f\left( 0 \right)$

Άρα $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f$ συνεχής (και) στο

, δηλαδή τελικά

συνεχής (στο πεδίο ορισμού της $\left[ -1,\pi \right]$

Δ2. Η

είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα $\left( -1,0 \right)$ (σύνθεση παραγωγισίμων) και $\left( 0,\pi \right)$ (γινόμενο παραγωγισίμων) και για $\left( -1,0 \right)$ έχουμε:

$f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{{{x^4}}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left| x \right|}^{\dfrac{4}{3}}}} \right)^\prime }\mathop = \limits^{0 > x \in \left( { - 1,0} \right)} {\left( {{{\left( { - x} \right)}^{\dfrac{4}{3}}}} \right)^\prime }$ $= \dfrac{4}{3}{\left( { - x} \right)^{\dfrac{4}{3} - 1}} \cdot {\left( { - x} \right)^\prime } = - \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{{ - x}} < 0,$

$\forall x \in \left( { - 1,0} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\left[ { - 1,0} \right]\,} f$ γνησίως φθίνουσα στο $\left[ -1,0 \right]$ και

παραγωγίσιμη στο $\left( 0,\pi \right)$ (γινόμενο παρραγωγισίμων) με

$f'\left( x \right) = {\left( {{e^x}\eta \mu x} \right)^\prime } = {e^x}\eta \mu x + {e^x}\sigma \upsilon \nu x =$ ${e^x}\left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x}\eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right),x \in \left( {0,\pi } \right)$

Είναι $\left\{ \begin{gathered} f'\left( x \right) = 0 \hfill \\ x \in \left( {0,\pi } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x}\eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \\ x \in \left( {0,\pi } \right) \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 \ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x} > 0}$ $\left\{ \begin{gathered} \eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \\ x \in \left( {0,\pi } \right) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + \dfrac{\pi }{4} = k\pi ,k \in Z \\ x \in \left( {0,\pi } \right) \\ \end{gathered} \right.$

$\left\{ \begin{gathered} x = k\pi - \dfrac{\pi }{4},k \in Z \\ 0 < k\pi - \dfrac{\pi }{4} < \pi \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = k\pi - \dfrac{\pi }{4},k \in Z \\ \dfrac{\pi }{4} < k\pi < \dfrac{{5\pi }}{4} \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = k\pi - \dfrac{\pi }{4},k \in Z \\ k = 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{{3\pi }}{4}}$

και για $x \in \left( {0,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\dfrac{\pi }{4},\pi } \right) \Rightarrow$ $\eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0\mathop \Rightarrow \limits^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x} > 0,\forall x \in \left( {0,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)} f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)$

και με

συνεχή στο διάστημα $\left[ 0,\dfrac{3\pi }{4} \right]\Rightarrow f$ γνησίως αύξουσα στο $\left[ 0,\dfrac{3\pi }{4} \right]$ , ενώ για

$x \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{4},\pi } \right) \Rightarrow \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\pi ,\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) \Rightarrow$ $\eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) < 0\mathop \Rightarrow \limits^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x} > 0,\forall x \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{4},\pi } \right)}$ $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{4},\pi } \right)$

και με

συνεχή στο διάστημα $\left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi \right]\Rightarrow f$ γνησίως φθίνουσα στο $\left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi \right]$

Άρα τελικά η

είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα $\left[ -1,0 \right]$ και $\left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi \right]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left[ 0,\dfrac{3\pi }{4} \right]$ με $f\left( -1 \right)=\sqrt[3]{{{\left( -1 \right)}^{4}}}=1$ τοπικό μέγιστο (άκρο κλειστού διαστήματος αφού

είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα $\left[ -1,0 \right]$ ), $f\left( 0 \right)=0$ τοπικό ελάχιστο (

κρίσιμο σημείο με εναλλαγή του προσήμου της πρώτης παραγώγου εκατέρωθεν του από

σε

), $f\left( \dfrac{3\pi }{4} \right)={{e}^{\dfrac{3\pi }{4}}}\eta \mu \dfrac{3\pi }{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{e}^{\dfrac{3\pi }{4}}}$ τοπικό μέγιστο ( $\dfrac{3\pi }{4}$ κρίσιμο σημείο με εναλλαγή του προσήμου της πρώτης παραγώγου εκατέρωθεν του από

σε

) , και $f\left( \pi \right)={{e}^{\pi }}\cdot \eta \mu \pi ={{e}^{\pi }}\cdot 0=0$ τοπικό ελάχιστο (άκρο κλειστού διαστήματος αφού

είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα $\left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi \right]$ ).

Παρατήρηση : το $f\left( \dfrac{3\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{e}^{\dfrac{3\pi }{4}}}$ είναι το ολικό μέγιστο (το μέγιστο των τοπικών μεγίστων , αφού

$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} > 1$ (διότι $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} > 1 \Leftrightarrow {e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} > {2^{\dfrac{1}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{3\pi }}{4} > \dfrac{{\ln 2}}{2}$ $\Leftrightarrow \ln 2 < 1 = \ln e < \dfrac{{3\pi }}{2}$ (μέθοδος ισοδυναμιών) και η

παρουσιάζει ολικά ακρότατα ως συνεχής στο κλειστό διάστημα $\left[ -1,\pi \right]$ ) και $f\left( 0 \right)=f\left( \pi \right)=0$ το ολικό ελάχιστο (παρουσιάζεται σε δύο θέσεις).

Άρα το σύνολο τιμών της είναι $\boxed{f\left( {\left[ { - 1,\pi } \right]} \right) = \left[ {0,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}}} \right]}$

Δ3. Είναι $E = \int\limits_0^\pi {\left| {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^\pi {\left| {{e^{5x}} - {e^x}\eta \mu x} \right|dx} :\left( 1 \right)$ . Αλλά

$\forall x \in \left[ {0,\pi } \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {e^{4x}} \geqslant 1 \\ 0 \leqslant \eta \mu x \leqslant 1 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {e^{4x}} \geqslant 1 \geqslant \eta \mu x$ $\mathop \Rightarrow \limits^{{e^x} > 0} {e^{5x}} \geqslant {e^x}\eta \mu x \Rightarrow {e^{5x}} - {e^x}\eta \mu x \geqslant 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$E = \int\limits_0^\pi {\left( {{e^{5x}} - {e^x}\eta \mu x} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {{e^{5x}}dx} - \int\limits_0^\pi {\left( {{e^x}\eta \mu x} \right)dx}$ $\mathop = \limits^{I = \int\limits_0^\pi {\left( {{e^x}\eta \mu x} \right)dx} } \left[ {\dfrac{{{e^{5x}}}}{5}} \right]_0^\pi - I:\left( 2 \right)$ , και

$I = \int\limits_0^\pi {{e^x}\eta \mu xdx} = \int\limits_0^\pi {{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }\eta \mu xdx} =$ $\left[ {{e^x}\eta \mu x} \right]_0^\pi - \int\limits_0^\pi {{e^x}{{\left( {\eta \mu x} \right)}^\prime }dx} =$

${e^\pi }\eta \mu \pi - {e^0}\eta \mu 0 - \int\limits_0^\pi {{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }\sigma \upsilon \nu xdx} =$ $- \left( {\left[ {{e^x}\sigma \upsilon \nu x} \right]_0^\pi - \int\limits_0^\pi {{e^x}{{\left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)}^\prime }dx} } \right) =$

${e^0}\sigma \upsilon \nu 0 - {e^\pi }\sigma \upsilon \nu \pi - I \Rightarrow 2I = 1 + {e^\pi } \Rightarrow I = \dfrac{{1 + {e^\pi }}}{2}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} E = \dfrac{{{e^{5\pi }}}}{5} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{{1 + {e^\pi }}}{2} \Rightarrow \boxed{E = \dfrac{{2{e^{5\pi }} - 7 - 5{e^\pi }}}{{10}}\tau .\mu }$

Δ4. Είναι $16{e^{ - \dfrac{{3\pi }}{4}}}f\left( x \right) - {e^{ - \dfrac{{3\pi }}{4}}}{\left( {4x - 3\pi } \right)^2} = 8\sqrt 2 :\left( 1 \right)$

$\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot {e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} + \dfrac{{{{\left( {4x - 3\pi } \right)}^2}}}{{16}}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\dfrac{{{{\left( {4x - 3\pi } \right)}^2}}}{{16}} \geqslant 0,\forall x \in \left[ { - 1,\pi } \right]}$ $f\left( x \right) \geqslant \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot {e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} = f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \max f$ .

Αρα από $f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \geqslant f\left( x \right) \geqslant f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{\dfrac{{3\pi }}{4}\,\,\eta \,\,\mu o\nu \alpha \delta \iota \kappa \eta \,\,\theta \varepsilon \sigma \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,o\lambda \iota \kappa o\upsilon \,\,\alpha \kappa \rho o\tau \alpha \tau o\upsilon } \boxed{x = \dfrac{{3\pi }}{4}}$ μοναδική λύση της δοθείσης εξίσωσης.

Υ.Σ. Ελπίζω να μην υπάρχει "πατάτα" γιατί γράφω κατευθείαν στον υπολογιστή

Υ.Σ. Εκανα μια (λογιστική) διόρθωση στο αποτέλεσμα του εμβαδού. Ελπίζω να είμαι οκ. Είδομεν

Γιώργος Απόκης · #12

NIZ έγραψε:
exdx έγραψε: β. Με αντιπαράδειγμα :
H συνάρτηση $f(x)=|x|=\left\{ \begin{matrix} \,\,\,x,\,\,x\ge 0 \\ -x,\,\,x<0 \\ \end{matrix} \right.$ είναι συνεχής στο αφού
$\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0}$ ,
όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο αφού
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1$ και $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=-1$
Αν ένας μαθητής απαντούσε ότι η πρόταση στο Α2(α) είναι ψευδής και επικαλούνταν στο Α2(β) την συνάρτηση που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, χωρίς να αποδείξει ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, δεν θα ήταν πλήρης η απάντηση του ?

Θεωρώ πως είναι πλήρης η απάντηση

#13

dement έγραψε:Στο Γ4 βγαίνει καλύτερο φράγμα απλώς με $f(x) \geqslant -1$ .

Πραγματικά, και δεν χρειάζεται τίποτα από τα παραπάνω ερωτήματα. Το wolfram βγάζει περίπου -0,87
Έχει ενδιαφέρον αν μπορούμε να φτάσουμε εκεί κοντά χωρίς κομπιούτερ.

#14

Β1.
Είναι : $\displaystyle{f(x)=\ln x}$ με $\displaystyle{{{A}_{f}}=(0,+\infty )}$ και $\displaystyle{g(x)=\frac{x}{1-x}}$ με $\displaystyle{Ag=R-\{1\}}$
Η συνάρτηση $\displaystyle{h=g\circ f}$ ορίζεται αν και μόνο αν το σύνολο $\displaystyle{{{A}_{h}}=\{x\in {{A}_{g}}\,\,\text{ }\!\!\kappa\!\!\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!\iota\!\!\text{ }\,\,g(x)\in {{A}_{f}}\}\ne \varnothing }$
Όμως $\displaystyle{{{A}_{h}}=\{x\ne 1\,\wedge \,\,\frac{x}{1-x}>0\,\}=\{x\ne 1\,\wedge \,\,x(1-x)>0\,\}=\{x\ne 1\,\,\wedge \,\,0<x<1\}=(0,1)\ne \varnothing }$
αφού $\displaystyle{x(1-x)>0=-{{x}^{2}}+x}$ , και επειδή το τριώνυμο έχει το $\alpha < 0$
και ρίζες $\displaystyle{\text{0}\text{,1}}$ , θα είναι θετικό αν 0< x < 1

Επομένως ορίζεται η συνάρτηση $\displaystyle{h:(0,1)\to R}$ με τύπο $\displaystyle{h(x)=g(f(x))=g\left( \frac{x}{1-x} \right)=\ln \left( \frac{x}{1-x} \right)}$ .

#15

Γ3.
Το πρόσημο του παρονομαστή του ορίου μπορεί να αιτιολογηθεί και με την κυρτότητα της $\displaystyle{f}$
(πάνω από την εφαπτομένη )

manousos · #16

Καλησπέρα,

έδινα σήμερα και τα θέματα μου φάνηκαν αρκετά πρωτότυπα μακριά από συνηθισμένες μεθοδολογίες ήδη από το Θέμα Α (!). Τα έγραψα όλα αλλά στο Δ έβαλα $\displaystyle{f'(x) = \frac{4x^{1/3}}{3} , -1\leq x<0}$ . Μετά την έβγαλα φθίνουσα εκεί αλλά παντού βλέπω ακροβατικά για να βγάλουν άλλη παράγωγο... Μάλλον το $\displaystyle{\sqrt[3]{x}}$ δεν ορίζεται παντού (γιατί όμως;). Γνωρίζει κανείς για ποιο λόγο γίνεται και πόσο περίπου θα μου κόψουν;

one_off · #17

Μαθηματικα Προσανατολισμού - Δελτιο Τύπου-EME

#18

manousos έγραψε:... Μάλλον το $\displaystyle{\sqrt[3]{x}}$ δεν ορίζεται παντού (γιατί όμως;). Γνωρίζει κανείς για ποιο λόγο γίνεται ...

Δες το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Α' λυκείου.

Αναλυτικό σχόλιο υπάρχει στο forum εδώ κι εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

one_off · #19

Για το Γ2 άσκηση 8 παραγραφός 3.7

: 1.PNG (53.93 KiB) Προβλήθηκε 7381 φορές

one_off · #20

Μια ιδέα για την συνάρτηση του 4, Ασκηση 9 Β ομάδα παραγραφος 2.3

: 3.PNG (36.33 KiB) Προβλήθηκε 7364 φορές

και απο το λυσάρι

: 2.PNG (3.32 KiB) Προβλήθηκε 7364 φορές

Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μέλη σε σύνδεση