ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Συντονιστής: stranton
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Με την ευκαιρία της εμφάνισης του καινούριου βιβλίου της Ά λυκείου και με το γεγονός ότι έχουμε μπει στο τέταρτο κεφάλαιο (στο παλιό πια βιβλίο ) στις τάξη προτείνω να συγκεντρώσουμε 20 – 30 περίπου ασκήσεις που αφορούν το δεύτερο κεφάλαιο του νέου βιβλίου, με τα εξής θέματα.
Η εξίσωση αχ+β=0 (και παραμετρικές)
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού
Η εξίσωση δευτέρου βαθμού και τύποι Vieta
Eξισώσεις που ανάγονται σε λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού.
Μετά τις 140 ασκήσεις γεωμετρίας και τις 30 ασκήσεις πολυωνύμων ας συγκεντρώσουμε για το αρχείο του μαθηματικά μια καινούρια συλλογή ασκήσεων. Παράκληση να γράφονται οι ασκήσεις και οι λύσεις τους σε αρχείο word και οι λύσεις να μην είναι πρόχειρα διατυπωμένες.
Προτείνω τις 5 πρώτες.
1. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθεί η εξίσωση .
2. Να λυθεί η εξίσωση
3. Δίνεται η εξίσωση με
α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνισες
β) για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.
γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα του παραπάνω ερωτήματος.
4. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα , τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες.
5. Δίνεται η εξίσωση . Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α+β , τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1.
Η εξίσωση αχ+β=0 (και παραμετρικές)
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού
Η εξίσωση δευτέρου βαθμού και τύποι Vieta
Eξισώσεις που ανάγονται σε λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού.
Μετά τις 140 ασκήσεις γεωμετρίας και τις 30 ασκήσεις πολυωνύμων ας συγκεντρώσουμε για το αρχείο του μαθηματικά μια καινούρια συλλογή ασκήσεων. Παράκληση να γράφονται οι ασκήσεις και οι λύσεις τους σε αρχείο word και οι λύσεις να μην είναι πρόχειρα διατυπωμένες.
Προτείνω τις 5 πρώτες.
1. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθεί η εξίσωση .
2. Να λυθεί η εξίσωση
3. Δίνεται η εξίσωση με
α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνισες
β) για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.
γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα του παραπάνω ερωτήματος.
4. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα , τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες.
5. Δίνεται η εξίσωση . Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α+β , τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1.
Καρδαμίτσης Σπύρος
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Για Aσκ 5 . Aντικαθιστω το α+β στην εξισωση καταληγω στην (a-1)^2+(b-1)^2=0 ... a=1 ,b=1
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
H λύση σε αρχείο word του συναδέλφου papel
Υ.Σ Καμιά ασκησούλα......
Υ.Σ Καμιά ασκησούλα......
- Συνημμένα
-
- 5η ΑΣΚΗΣΗ.doc
- (20 KiB) Μεταφορτώθηκε 503 φορές
Καρδαμίτσης Σπύρος
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Επισυνάπτω 5 ασκήσεις, αναφερόμενες σε μερικά βασικά σημεία, σε docx και pdf
- Συνημμένα
-
- σπυρος.doc
- (190 KiB) Μεταφορτώθηκε 526 φορές
-
- σπυρος.pdf
- (176.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 447 φορές
-
- σπυρος.docx
- (25.12 KiB) Μεταφορτώθηκε 365 φορές
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Κυρ Ιαν 24, 2010 12:07 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
[quote="spyrosk"]
2. Να λυθεί η εξίσωση
3. Δίνεται η εξίσωση με
Δύο από τις πέντε ασκήσεις στο συνημμένο
2. Να λυθεί η εξίσωση
3. Δίνεται η εξίσωση με
Δύο από τις πέντε ασκήσεις στο συνημμένο
- Συνημμένα
-
- εξίσωση 2 3.doc
- (58.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 420 φορές
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Λύσηkonkyr έγραψε:Άσκηση 6
Να λυθεί η εξίσωση:
Άρα x=3 ή x=-5 ή x=-4 ή x=2
- Συνημμένα
-
- Konkyr.doc
- (46.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 331 φορές
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 7
Αν η μια ρίζα της εξίσωσης είναι το 13, να βρεθεί ο ακέραιος λ καθώς και η άλλη ρίζα.
ΑΣΚΗΣΗ 8
Εστω η εξίσωση με ρίζες , και .Να υπολογιστούν συναρτήσει του λ οι παραστάσεις
i.
ii.
Στη συνέχεια να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τις και
ΑΣΚΗΣΗ 9
Να προσδιοριστεί ο ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίστροφες.
Αν η μια ρίζα της εξίσωσης είναι το 13, να βρεθεί ο ακέραιος λ καθώς και η άλλη ρίζα.
ΑΣΚΗΣΗ 8
Εστω η εξίσωση με ρίζες , και .Να υπολογιστούν συναρτήσει του λ οι παραστάσεις
i.
ii.
Στη συνέχεια να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τις και
ΑΣΚΗΣΗ 9
Να προσδιοριστεί ο ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες αντίστροφες.
- Συνημμένα
-
- Ασκηση 9.doc
- (80 KiB) Μεταφορτώθηκε 361 φορές
-
- ΑΣΚΗΣΗ 8.doc
- (177 KiB) Μεταφορτώθηκε 337 φορές
-
- ΑΣΚΗΣΗ 7.doc
- (96 KiB) Μεταφορτώθηκε 357 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Τρί Ιαν 26, 2010 11:49 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Για την άσκηση της Κωνσταντίνας
Θέτουμε τότε η εξίσωση γίνεται δηλαδή η οποία έχει ρίζες το ψ = 6 , ψ = -1
Έτσι έχουμε (1) και (2) οι οποίες έχουν ρίζες η (1) το -5 , 3 και η (2) το -4 , 2
ΘΑ στείλω αύριο τη λύση σε word (ώρα για ύπνο)
Χρήστος
Εδώ είναι η λύση
Θέτουμε τότε η εξίσωση γίνεται δηλαδή η οποία έχει ρίζες το ψ = 6 , ψ = -1
Έτσι έχουμε (1) και (2) οι οποίες έχουν ρίζες η (1) το -5 , 3 και η (2) το -4 , 2
ΘΑ στείλω αύριο τη λύση σε word (ώρα για ύπνο)
Χρήστος
Εδώ είναι η λύση
- Συνημμένα
-
- ΑΣΚΗΣΗ 6.doc
- (24 KiB) Μεταφορτώθηκε 304 φορές
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Κυρ Ιαν 24, 2010 12:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ενα σχόλιο
Στο καινούριο βιβλίο ασκήσεις υπολογισμού συμμετρικών παραστάσεων ριζών με χρήση των σχέσεων Vieta πήγαν .... στο πυρ το εξώτερον, εξαφανίστηκαν. Κρίμα!!!
Στο καινούριο βιβλίο ασκήσεις υπολογισμού συμμετρικών παραστάσεων ριζών με χρήση των σχέσεων Vieta πήγαν .... στο πυρ το εξώτερον, εξαφανίστηκαν. Κρίμα!!!
Καρδαμίτσης Σπύρος
- A.Spyridakis
- Δημοσιεύσεις: 495
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
- Τοποθεσία: Εδώ
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Άσκηση 10. Αν ρ ρίζα της εξίσωσης , να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς 2 ρίζες.
PS. Please μη στέλνετε αρχεια .docx, διότι δεν είναι συμβατά με word 2003. Νομίζω ότι στο office 2007 (που δημιουργεί τα .docx αρχεία) υπάρχει επιλογή δημιουργίας αρχείων word συμβατών και με word 2003.
PS. Please μη στέλνετε αρχεια .docx, διότι δεν είναι συμβατά με word 2003. Νομίζω ότι στο office 2007 (που δημιουργεί τα .docx αρχεία) υπάρχει επιλογή δημιουργίας αρχείων word συμβατών και με word 2003.
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Μια λύση στο συνημμένοA.Spyridakis έγραψε:Άσκηση 10. Αν ρ ρίζα της εξίσωσης , να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς 2 ρίζες.
.
- Συνημμένα
-
- Σπυριδάκης εξίσωση.doc
- (32.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 361 φορές
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Άλλη μια
ΑΣΚΗΣΗ 11
Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης , να υπολογιστούν οι παραστάσεις
και συναρτήσει των α, β και γ.
ΑΣΚΗΣΗ 11
Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης , να υπολογιστούν οι παραστάσεις
και συναρτήσει των α, β και γ.
Καρδαμίτσης Σπύρος
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Άσκηση 12
Δίνεται η εξίσωση - |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ∈R-{4}.
Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή μ∈R-{4}.
Β. Αν , είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι:
+ + > 0
Άσκηση 13
Αν , είναι ρίζες τις εξίσωσης + 5 (m – 1 )χ – ( + 1) = 0 , m∈R, για ποιες τιμές του m ισχύει:
1/ + 1/ > 1
Άσκηση 14
Έστω η εξίσωση α+βx+γ=0, α≠0.
Α. Να δείξετε ότι: |α| + |γ| ≥ 2
Β. Αν ισχύει ότι: |β|> |α| + |γ| τότε να δείξετε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Δίνεται η εξίσωση - |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ∈R-{4}.
Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή μ∈R-{4}.
Β. Αν , είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι:
+ + > 0
Άσκηση 13
Αν , είναι ρίζες τις εξίσωσης + 5 (m – 1 )χ – ( + 1) = 0 , m∈R, για ποιες τιμές του m ισχύει:
1/ + 1/ > 1
Άσκηση 14
Έστω η εξίσωση α+βx+γ=0, α≠0.
Α. Να δείξετε ότι: |α| + |γ| ≥ 2
Β. Αν ισχύει ότι: |β|> |α| + |γ| τότε να δείξετε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Κυρ Ιαν 24, 2010 10:18 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Μάκη
Νομίζω ότι η (12) έχει κάποιο πρόβλημα.
Η εξίσωση έχει δύο άνισες για κάθε και δύο ίσες για μ = 4.
Αφού δίνεις μ > 4, τι νόημα έχει το απόλυτο;
Και στην 14, κάτι δεν πάει καλά.
Φιλικά Χρήστος
Νομίζω ότι η (12) έχει κάποιο πρόβλημα.
Η εξίσωση έχει δύο άνισες για κάθε και δύο ίσες για μ = 4.
Αφού δίνεις μ > 4, τι νόημα έχει το απόλυτο;
Και στην 14, κάτι δεν πάει καλά.
Φιλικά Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Κυρ Ιαν 24, 2010 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ο ηλίθιος είναι αήττητος
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Για δες τώρα Χρήστο... τώρα το σώζουμε? Όσο για την 14 Χρήστο, δεν αντιγράφηκε ο τύπος από το mathtype!
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Κυρ Ιαν 24, 2010 10:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
- ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 704
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
AΣΚΗΣΗ 15
Έστω ρίζες της εξίσωσης , και είναι ρίζες της εξίσωσης
, .
Αν οι ρίζες είναι ανάλογες των να δείξετε ότι
Έστω ρίζες της εξίσωσης , και είναι ρίζες της εξίσωσης
, .
Αν οι ρίζες είναι ανάλογες των να δείξετε ότι
Χρήστος Καρδάσης
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 15
Έστω ρίζες της εξίσωσης , και είναι ρίζες της εξίσωσης
, .
Αν οι ρίζες είναι ανάλογες των να δείξετε ότι
Φωτεινή Καλδή
Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 16
Δίνεται η εξίσωση με λ.
i) Αν ισχύει ότι όπου ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί το λ.
ii) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο (i) ερώτημα να λυθεί η : .
Χρήστος Τσιφάκης
Δίνεται η εξίσωση με λ.
i) Αν ισχύει ότι όπου ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί το λ.
ii) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο (i) ερώτημα να λυθεί η : .
Χρήστος Τσιφάκης
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες