Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Επιτροπή Θεμάτων 2023 · #1

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και θα συζητηθούν(*) τα θέματα των Μαθηματικών γενικής παιδείας 2017.

(*) Η παρούσα συζήτηση είναι για την επίλυση των θεμάτων! Σχολιασμός-κριτική των θεμάτων μπορεί να γίνει σε άλλη συζήτηση.

#2

Θέμα Δ

Δ1. Έστω τα ενδεχόμενα:
$\Lambda$ ="Η μπάλα που επιλέχθηκε είναι λευκή",

="Η μπάλα που επιλέχθηκε είναι μαύρη" και

="Η μπάλα που επιλέχθηκε είναι κόκκινη".

Το δεντροδιάγραμμα σε λίγο....

Τότε:

$\displaystyle{\Omega=\begin{Bmatrix} \Lambda\Lambda, \Lambda M, \Lambda K, M \Lambda, MM, MK, K \Lambda, KM, KK \end{Bmatrix}}$ .

Δ2. $\displaystyle{A=\begin{Bmatrix} \Lambda M, MM, KM \end{Bmatrix}\end{Bmatrix}}$ .

$\displaystyle{B=\begin{Bmatrix} \Lambda M, \Lambda K, M \Lambda, MK, K \Lambda, KM \end{Bmatrix}$ .

Δ3. Α. Έχουμε ότι:
$\displaystyle{A’=\begin{Bmatrix} \Lambda\Lambda, \Lambda K, M \Lambda, MK, K \Lambda, KK \end{Bmatrix}}$ , με $\displaystyle{N(A’)=6, N(\Omega)=9}$ , άρα $\displaystyle{P(A’)=\frac{N(A’)}{N(\Omega)}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}}$ .

Επίσης: $\displaystyle{A \cap B = \begin{Bmatrix} \Lambda M, KM \end{Bmatrix}}$ ,
άρα $\displaystyle{N(A \cap B)=2}$ και $\displaystyle{P(A \cap B)=\frac{N(A \cap B)}{N(\Omega)}=\frac{2}{9}}$ .

Επιπλέον: $\displaystyle{A-B=\begin{Bmatrix} MM \end{Bmatrix}}$ με $\displaystyle{N(A-B)=1}$ , άρα $\displaystyle{P(A-B)=\frac{N(A-B)}{N(\Omega)}=\frac{1}{9}}$ .

Τέλος: $\displaystyle{B-A=\begin{Bmatrix} \Lambda K, M \Lambda, MK, K \Lambda\end{Bmatrix}}$ με $\displaystyle{N(B-A)=4}$ , άρα $\displaystyle{P(B-A)=\frac{N(B-A)}{N(\Omega)}=\frac{4}{9}}$ .

β. Καταρχήν θα αποδείξουμε ότι αν X,Y

είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ , ισχύει η συνεπαγωγή:
$\displaystyle{X \cap Y=\emptyset \Rightarrow X \subseteq Y'}$ .
Απόδειξη
Έστω στοιχείο $w \in X$ .
Αφού $\displaystyle{X \cap Y=\emptyset }$ ,
έχουμε ότι $x \notin Y \Rightarrow x \in Y'$ .

Από τα δεδομένα του ερωτήματος έχουμε ότι: $\displaystyle{A \cap \Gamma = \emptyset }$ και $\displaystyle{ B \cap \Gamma = \emptyset }$ ,
οπότε $\displaystyle{ \Gamma \subseteq A' }$ (I), $\displaystyle{ \Gamma \subseteq B' }$ (II).

Όμως:
$\displaystyle{A’=\begin{Bmatrix} \Lambda\Lambda, \Lambda K, M \Lambda, MK, K \Lambda, KK \end{Bmatrix}}$
και
$\displaystyle{B' =\begin{Bmatrix} \Lambda\Lambda, MM, KK \end{Bmatrix}}$ ,

οπότε

$\displaystyle{ \Gamma \subseteq \begin{Bmatrix} \Lambda\Lambda, KK \end{Bmatrix}} }$ (ΙΙΙ),

αφού αν $\begin{Bmatrix}MM\end{Bmatrix}} \in \Gamma$ , τότε λόγω της (ΙΙ) θα ίσχυε $\begin{Bmatrix}MM\end{Bmatrix}} \in B'$ , είναι άτοπο.

Συνεπώς από την (ΙΙΙ) έχουμε: $\displaystyle{ P(\Gamma) \leq P \left (\begin{Bmatrix} \Lambda\Lambda, KK \end{Bmatrix}} \right )=\frac{2}{9}}$

και η μέγιστη τιμή της $P(\Gamma)$ είναι $\displaystyle{\frac{2}{9}}$ αφού επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{ \Gamma =\begin{Bmatrix} \Lambda\Lambda, KK \end{Bmatrix}} }$ .

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

ΘΕΜΑ Δ.
Δ1. Είναι $\Omega =\{AA, AM, AK, MA, MM, MK, KA, KM, KK\}$
Δ2. $A=\{AM,MM,KM\}$ , $B=\{AM,AK,MA,MK,KA,KM\}$
Δ3. $P(A)=\frac {N(A)}{N(\Omega)}=\frac{1}{3}$ ,
$P(B)=\frac{N(B)}{N(\Omega)}=\frac{2}{3}$ ,
$P(A')=1-P(A)=\frac{2}{3}$ ,
$A\cap B=\{AM,KM\}$ ,
$P(A\cap B)=\frac{2}{9}$ ,
$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=\frac{1}{9}$ ,
$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=\frac{4}{9}$ .
Δ4.
To $\Gamma$ ή είναι το κενό ή αποτελείται από στοιχεία που δεν ανήκουν ούτε στο

ούτε στο

.
Αυτά είναι τα AA, KK

Αν το ενδεχόμενο $\Gamm$ ειναι το κενό , τότε $P(\Gamma)=0$ , ενώ αν αποτελείται από ένα από τα παραπάνω στοιχεία θα ήταν
$P(\Gamma)=\frac{1}{9}$ , ενώ αν αποτελείται και από τα δύο θα ήταν $P(\Gamma)=\frac{2}{9}$ .
Οπότε η μεγαλύτερη τιμή της πιθανότητας του ενδεχομένου $\Gamma$ είναι $\frac{2}{9}$ .

#4

ΘΕΜΑ Γ

Γ1 H

είναι παραγωγίσιμη με f'(x)=2x-1.

Είναι

$f'(x)>0\iff 2x-1>0\iff x>\dfrac{1}{2},$

$f'(x)=0\iff 2x-1=0\iff x=\dfrac{1}{2}.$

$f'(x)<0\iff 2x-1<0\iff x<\dfrac{1}{2}.$

Δηλ. η

είναι γν. φθίνουσα στο $(-\infty,\dfrac{1}{2}]$ και γν. αύξουσα στο $[\dfrac{1}{2}, +\infty)$ . Άρα, η

έχει ελάχιστο στο $x=\dfrac{1}{2}$ ίσο με $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}.$

Εναλλακτικά, έχουμε το τριώνυμο με $\alpha=1>0$ άρα παρουσιάζει μόνο ελάχιστο στο $x_0=-\dfrac{\beta}{2\alpha}=\dfrac{1}{2}.$

Επίσης, είναι $f(x)=x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{3}{4}$ με το "=" αν και μόνο αν $x=\dfrac{1}{2}$ . Συνπώς, η

έχει ελάχιστο $\dfrac{3}{4}$ για $x=\dfrac{1}{2}.$

Αφού $\lim_{x\to \pm\infty} f(x)=+\infty,$ η

δεν έχει ολικό μέγιστο.

Γ2. Η εξίσωση της εφαπτομένης στην y=f(x)

στο

είναι

.

Είναι f(2)=2^2-2+1=3

και $f'(2)=2\cdot 2-1=3$ . Συνεπώς, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

y-3=3(x-2),

δηλ.

Γ3 Η

τέμνει τον y'y

όταν

, οπότε $y=3\cdot 0-3=-3,$ έτσι τέμνει τον y'y

στο

Η

τέμνει τον x'x

όταν

, οπότε

που ισχύει αν και μόνο αν x=1.

Έτσι τέμνει τον x'x

στο

Γ4 Για $x\ne 1$ , έχουμε

$\displaystyle{\dfrac{\sqrt{f(x)}-1}{x-1}=\dfrac{\sqrt{f(x)}-1}{x-1}\cdot \dfrac{\sqrt{f(x)}+1}{\sqrt{f(x)}+1}=\dfrac{f(x)-1}{x-1}\dfrac{1}{{\sqrt{f(x)}+1}}$

Είναι f(x)-1=x^2-x=x(x-1)

, οπότε $\dfrac{f(x)-1}{x-1}=\dfrac{x(x-1)}{x-1}=x$ , κι έτσι

$\displaystyle{\dfrac{\sqrt{f(x)}-1}{x-1}=\dfrac{x}{{\sqrt{f(x)}+1}}\to \dfrac{1}{\sqrt{f(1)}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{1}{2},}$ καθώς $x\to 1.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

Είχα κάποια προβλήματα με το υπολογιστή του σχολείου και δεν μπόρεσα να συνδεθώ πιο νωρίς.
Ανεβάζω τα θέματα σε word

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #6

achilleas έγραψε:ΘΕΜΑ Γ
Γ2. Η εξίσωση της εφαπτομένης στην στο είναι

.

Είναι και $f'(2)=2\cdot 2-1=3$ . Συνεπώς, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

δηλ.

Αν δεν έχει αλλάξει κάτι, το μάθημα το δίνουν παιδιά μόνο "θεωρητικής" και ο τύπος της εξίσωσης της εφαπτομένης δεν περιέχεται στο βιβλίο των μαθηματικών γεν. παιδείας, οπότε δεν ξέρω αν μπορεί το θέμα να αντιμετωπιστεί με αυτό τον τρόπο.
Η ζητούμενη εξίσωση, με τον τρόπο που την βρίσκει το σχολικό, βρίσκεται ως εξής :
Έστω $(\epsilon) : y=ax+b$ η εξίσωση της εφαπτομένης της C_f

στο σημείο A(2,f(2))

με

και

Eπειδή η $(\epsilon)$ διέρχεται από το A(2,3)

, θα ισχύει ότι $3=3 \cdot 2 +b$ , απ' όπου βρίσκουμε b=-3

και η ζητούμενη εξίσωση είναι y=3x-3

#7

NIZ έγραψε:
achilleas έγραψε:ΘΕΜΑ Γ
Γ2. Η εξίσωση της εφαπτομένης στην στο είναι

.

Είναι και $f'(2)=2\cdot 2-1=3$ . Συνεπώς, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

δηλ.

Αν δεν έχει αλλάξει κάτι, το μάθημα το δίνουν παιδιά μόνο "θεωρητικής" και ο τύπος της εξίσωσης της εφαπτομένης δεν περιέχεται στο βιβλίο των μαθηματικών γεν. παιδείας, οπότε δεν ξέρω αν μπορεί το θέμα να αντιμετωπιστεί με αυτό τον τρόπο.
Η ζητούμενη εξίσωση, με τον τρόπο που την βρίσκει το σχολικό, βρίσκεται ως εξής :
Έστω $(\epsilon) : y=ax+b$ η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο με και
Eπειδή η $(\epsilon)$ διέρχεται από το , θα ισχύει ότι $3=3 \cdot 2 +b$ , απ' όπου βρίσκουμε και η ζητούμενη εξίσωση είναι

Κανένα πρόβλημα!

Πάντως, η Οδηγία 4 προς τους εξεταζομένους λέει ότι κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Ας προσθέσουμε, το εξής, λοιπόν:
********************************************
Στη σελ. 23, το σχολικό βιβλίο λέει ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφ. παράσταση μιας συνάρτησης

στο

είναι

.

Η ευθεία που διέρχεται από το (x_0,f(x_0))

κι έχει κλίση f'(x_0)

είναι η

.
********************************************

Είναι αποδεκτό τώρα;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#8

Γεια σας αγαπητοί φίλοι !

Σήμερα ''κόψαμε'' τα μαθηματικά ΠΡΟΣ στο ΒΚ οπότε έπρεπε από το πρωί να είμαστε καταπάνω .Μόλις τώρα γύρισα και διάβασα τις λύσεις σας .Εϊχαμε και τους ΜΕΜΑ(ΦΑ) και εξοντωθήκαμε .

Εκτός από μερικά σημεία έκφρασης, δεν έχω κάτι άλλο να προσθέσω.Οι λύσεις μας είναι καλές και απλές, όπως από πρώτη ανάγνωση είδα. Στο Δ3 μπορούμε να συμπληρώσουμε στις λύσεις μας ότι μπορούμε αντί να γράψουμε με αναγραφή τα ενδεχόμενα, να εργαστούμε με τους τύπους :

$P(A' )=1-P(A), P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$ κλπ

Επίσης, όπως μας έλεγε και μια εξεταζόμενη(καλή) μαθήτρια, τη διάμεσο μπορούμε να τη βρούμε και με τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων, όπως θα τη βρίσκαμε πχ αν οι παρατηρήσεις ήταν πολλές.

( Επειδή δεν μπόρεσα να συμμετάσχω στη διαδικασία λύσεως - διαμόρφωσης και επειδή τα θέματα δεν έχουν άλλο μαθηματικό ενδιαφέρον, θεωρώ ότι δεν πρέπει να είμαι στην ομάδα λυτών. Αυτό είναι το σωστό.Του χρόνου εδώ είμαστε !)

Εϋχομαι και του χρόνου να είστε καλά.Καλά αποτελέσματα !

( Όπως έλεγα και σε κάτι συναδέλφους άλλων ειδικοτήτων στο ΒΚ που με ρώτησαν για τα θέματα , τους είπα : τώρα που έχουμε καλό φαγητό και το μαγαζί είναι ωραίο , δεν έχουμε πελατεία !!!).

Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά γενικής παιδείας 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Μέλη σε σύνδεση