Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

#1

: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png (15.23 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

Ισοσκελές τραπέζιο ABCD

με μικρή βάση CD=3,

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου AB=5.

Αν οι μη παράλληλες πλευρές του τέμνονται στο

οι διαγώνιες στο

και

είναι διάμετρος του κύκλου,

α) να δείξετε ότι PE=2QE

...................... β) να υπολογίσετε το $\displaystyle{\cos \theta },$ όπου $\theta=P\widehat EQ$

#2

: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png (39.07 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Αν

η προβολή του

στην

λόγω συμμετρίας $TB = \dfrac{{5 - 3}}{2} = 1$ . Τα P,Q,O

συνευθειακά. Στην ίδια δε ευθεία ανήκει και το μέσο

της μικρής βάσης του

ισοσκελούς τραπεζίου , ABCD

. Εύκολα τώρα έχουμε :

$T{C^2} = TB \cdot TA = 1 \cdot 4 \Rightarrow \boxed{TC = 2}$ , $BC = \sqrt 5 \Rightarrow AC = 2\sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,QB = QA = \dfrac{5}{8}AC = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{4}$

1. Π. Θ. στο $\vartriangle BQE$ και έχω, $QE = \sqrt {B{E^2} + B{D^2}} = \dfrac{{\sqrt {205} }}{4}\,\,(1)$

1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle PDE$ και έχω :

$P{E^2} + P{D^2} = 2P{O^2} + \dfrac{{D{E^2}}}{2} \Rightarrow P{E^2} + \dfrac{{45}}{4} = 2 \cdot 25 + \dfrac{{25}}{2} \Rightarrow PE = \dfrac{{\sqrt {205} }}{2}\,\,(2)$ . Από τις

$(1)\,\,,(2)$ έχω : $\boxed{PE = 2QE}$ .

2.

$PQ = PM + MQ = 2MC + \dfrac{3}{8}MO = 3 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{15}}{4}$ . Τώρα από Θ . συνημίτονου

στο $\vartriangle EPQ$ και έχω (ουαου!!) $\boxed{\cos \theta = \dfrac{{40}}{{41}}}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Χαιρετώ ! Παραλλαγή για το α' ζητούμενο

: 5-7-17 Διπλάσιο τμήμα ...PNG (12.34 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Είναι

. Φέρω $DH \perp AB$ άρα $AH=1 ..DH^{2}=AH\cdot HB=1\cdot 4\Rightarrow DH=2$ .

Τα P,Q

ανήκουν στη μεσοκάθετο του

. Από τα όμοια $BOQ,BHD \rightarrow \dfrac{OQ}{DH}=\dfrac{OB}{BH}=\dfrac{5/2}{4}\Rightarrow OQ=5/4$

και από τα επίσης όμοια $AOP,AHD \Rightarrow \dfrac{OP}{OA}=\dfrac{DH}{AH}=2 \Rightarrow OP=5$ . Τότε τα EOQ, POE

έχουν κοινή την $P\widehat{O}E$

ενώ $\dfrac{OQ}{OE}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{OE}{OP}$ συνεπώς είναι όμοια. Έπεται $\dfrac{QE}{PE}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow PE=2QE$ .

Φιλικά Γιώργος.

Σταμ. Γλάρος · #4

Καλημέρα.
Καταθέτω μια προσπάθεια, παρεμφερή με τα προηγούμενα, για το α υποερώτημα ...
Με πολλά Πυθαγόρεια!

: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png (57.85 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Φέρω την

. H γωνία $\widehat{DCE}$ είναι ορθή, επειδή είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε ημικύκλιο.
Αφού

,

παράλληλες, ως βάσεις τραπεζίου, συμπεραίνουμε ότι και η γωνία $\widehat{OHC}$ είναι ορθή.
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup OCH$ έχουμε CH =2

.
Επίσης εφαρμόζοντας διαδοχικά Πυθαγόρειο Θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα :
$\bigtriangleup CBH$ , $\bigtriangleup ABD$ έχουμε $CB = AD = \sqrt{5}$ ( CB ,AD

μη παράλληλες πλευρές ισοσκελούς τραπεζίου) και $DB=2\sqrt{5}$ .
Το τρίγωνο PDC

είναι ισοσκελές επειδή οι προσκείμενες στην βάση του

γωνίες είναι ίσες
ως παραπληρώματα των ίσων γωνιών του ισοσκελούς τραπεζίου.
Επομένως αν θεωρήσουμε PD=PC=x

και εφαρμόσουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup PDB$ έχουμε :
$PB^2 = PD^2 +DB^2 \Leftrightarrow \left (x+\sqrt{5} \right )^2 = x^2 +\left ( 2\sqrt{5} \right ) ^2 \Leftrightarrow x = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}=PD$ . Άρα $PA =\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$ .
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup PAO$ έχουμε : PO =5

.
Τα τραπέζια ABCD

και

είναι συμμετρικά ως προς την

. Συνεπώς το ύψος OZ=2

και

.
Άρα από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup PZE$ έχουμε : $PE =\dfrac{\sqrt{205}}{2}$ .
Τώρα από την ομοιότητα των τριγώνων $\bigtriangleup BOQ$ και $\bigtriangleup ABD$ προκύπτει : $\dfrac{OQ}{AD} = \dfrac{OB}{BD} \Leftrightarrow OQ = \dfrac{5}{4}$ .
Άρα και $QZ = \dfrac{13}{4}$ .
Τέλος από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup QZE$ έχουμε : $QE =\dfrac{\sqrt{205}}{4}$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Re: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Re: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Re: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση