Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Τρί Ιούλ 04, 2017 8:36 pm

Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png
Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png (15.23 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

Ισοσκελές τραπέζιο ABCD με μικρή βάση CD=3, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου AB=5.

Αν οι μη παράλληλες πλευρές του τέμνονται στο P, οι διαγώνιες στο Q και DE είναι διάμετρος του κύκλου,

α) να δείξετε ότι PE=2QE...................... β) να υπολογίσετε το \displaystyle{\cos \theta }, όπου \theta=P\widehat EQ



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Doloros » Τετ Ιούλ 05, 2017 6:07 pm

Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png
Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png (39.07 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές



Αν T η προβολή του C στην AB λόγω συμμετρίας TB = \dfrac{{5 - 3}}{2} = 1. Τα P,Q,O συνευθειακά. Στην ίδια δε ευθεία ανήκει και το μέσο M της μικρής βάσης του

ισοσκελούς τραπεζίου ,ABCD. Εύκολα τώρα έχουμε :

T{C^2} = TB \cdot TA = 1 \cdot 4 \Rightarrow \boxed{TC = 2}, BC = \sqrt 5  \Rightarrow AC = 2\sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,QB = QA = \dfrac{5}{8}AC = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{4}

1. Π. Θ. στο \vartriangle BQE και έχω, QE = \sqrt {B{E^2} + B{D^2}}  = \dfrac{{\sqrt {205} }}{4}\,\,(1)

1ο Θ. διαμέσων στο \vartriangle PDE και έχω :

P{E^2} + P{D^2} = 2P{O^2} + \dfrac{{D{E^2}}}{2} \Rightarrow P{E^2} + \dfrac{{45}}{4} = 2 \cdot 25 + \dfrac{{25}}{2} \Rightarrow PE = \dfrac{{\sqrt {205} }}{2}\,\,(2) . Από τις

(1)\,\,,(2) έχω : \boxed{PE = 2QE}.


2. PQ = PM + MQ = 2MC + \dfrac{3}{8}MO = 3 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{15}}{4} . Τώρα από Θ . συνημίτονου

στο \vartriangle EPQ και έχω (ουαου!!) \boxed{\cos \theta  = \dfrac{{40}}{{41}}}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Ιούλ 05, 2017 11:33 pm

Χαιρετώ ! Παραλλαγή για το α' ζητούμενο
5-7-17 Διπλάσιο τμήμα ...PNG
5-7-17 Διπλάσιο τμήμα ...PNG (12.34 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

Είναι OA=OE=R=5/2 . Φέρω DH \perp AB άρα AH=1 ..DH^{2}=AH\cdot HB=1\cdot 4\Rightarrow DH=2 .

Τα P,Q ανήκουν στη μεσοκάθετο του AB. Από τα όμοια BOQ,BHD \rightarrow \dfrac{OQ}{DH}=\dfrac{OB}{BH}=\dfrac{5/2}{4}\Rightarrow OQ=5/4

και από τα επίσης όμοια AOP,AHD \Rightarrow \dfrac{OP}{OA}=\dfrac{DH}{AH}=2 \Rightarrow OP=5 . Τότε τα EOQ, POE έχουν κοινή την P\widehat{O}E

ενώ \dfrac{OQ}{OE}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{OE}{OP} συνεπώς είναι όμοια. Έπεται \dfrac{QE}{PE}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow PE=2QE.

Φιλικά Γιώργος.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 225
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Ιούλ 06, 2017 1:21 pm

Καλημέρα.
Καταθέτω μια προσπάθεια, παρεμφερή με τα προηγούμενα, για το α υποερώτημα ...
Με πολλά Πυθαγόρεια!
Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png
Διπλάσιο τμήμα κι ένα συνημίτονο.png (57.85 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές

Φέρω την CE . H γωνία \widehat{DCE} είναι ορθή, επειδή είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε ημικύκλιο.
Αφού DC, AB παράλληλες, ως βάσεις τραπεζίου, συμπεραίνουμε ότι και η γωνία \widehat{OHC} είναι ορθή.
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \bigtriangleup OCH έχουμε CH =2 .
Επίσης εφαρμόζοντας διαδοχικά Πυθαγόρειο Θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα :
\bigtriangleup CBH , \bigtriangleup ABD έχουμε CB = AD = \sqrt{5} (CB ,AD μη παράλληλες πλευρές ισοσκελούς τραπεζίου) και DB=2\sqrt{5} .
Το τρίγωνο PDC είναι ισοσκελές επειδή οι προσκείμενες στην βάση του DC γωνίες είναι ίσες
ως παραπληρώματα των ίσων γωνιών του ισοσκελούς τραπεζίου.
Επομένως αν θεωρήσουμε PD=PC=x και εφαρμόσουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \bigtriangleup PDB έχουμε :
PB^2 = PD^2 +DB^2 \Leftrightarrow \left (x+\sqrt{5} \right )^2 = x^2 +\left ( 2\sqrt{5} \right ) ^2 \Leftrightarrow x = \dfrac{3\sqrt{5}}{2}=PD . Άρα PA =\dfrac{5\sqrt{5}}{2} .
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \bigtriangleup PAO έχουμε : PO =5 .
Τα τραπέζια ABCD και ABET είναι συμμετρικά ως προς την AB . Συνεπώς το ύψος OZ=2 και PZ=7 .
Άρα από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \bigtriangleup PZE έχουμε : PE =\dfrac{\sqrt{205}}{2} .
Τώρα από την ομοιότητα των τριγώνων \bigtriangleup BOQ και \bigtriangleup ABD προκύπτει :\dfrac{OQ}{AD} = \dfrac{OB}{BD} \Leftrightarrow OQ = \dfrac{5}{4} .
Άρα και QZ =  \dfrac{13}{4} .
Τέλος από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \bigtriangleup QZE έχουμε : QE =\dfrac{\sqrt{205}}{4} .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: george visvikis και 3 επισκέπτες