Τρίγωνο από 3 σημεία

[Mihalis_Lambrou]

Αρχίζω ένα θρεντ με κατασκευές τριγώνου από τρία δεδομένα σημεία του.
Παρακαλώ τις συνεισφορά σας. Επίσης, παρακαλώ να μην είναι ιδιαίτερα δύσκολες
ασκήσεις αλλά να ταιριάζουν, μέσες άκρες, στον παρόντα φάκελο.

Άσκηση 1. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο ενός παραγεγραμμένου κύκλου.

[george visvikis]

Αρχίζω ένα θρεντ με κατασκευές τριγώνου από τρία δεδομένα σημεία του.
Παρακαλώ τις συνεισφορά σας. Επίσης, παρακαλώ να μην είναι ιδιαίτερα δύσκολες
ασκήσεις αλλά να ταιριάζουν, μέσες άκρες, στον παρόντα φάκελο.

Άσκηση 1. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο ενός παραγεγραμμένου κύκλου.

Με Ευκλείδεια.

Τρίγωνο από τρία σημεία.png (16.86 KiB) Προβλήθηκε 2217 φορές

Κατασκευάζω το τρίγωνο Επειδή είναι γνωστό ότι το μέσο του ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο, γράφω

τον κύκλο που τέμνει την προέκταση του στην κορυφή του τριγώνου. Από τον τύπο

βρίσκω Στη συνέχεια γράφω τον κύκλο και φέρνω από το τις εφαπτόμενές του που τέμνουν τον

στις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

[george visvikis]

Άλλη μία...

Τρίγωνο από τρία σημεία.b.png (18.96 KiB) Προβλήθηκε 2201 φορές

Μέχρι τον προσδιορισμό του σημείου όπως και πριν. Στη συνέχεια ο κύκλος τέμνει τον στα σημεία

[Mihalis_Lambrou]

Λίγο αλλιώς:

Επειδή η γωνία είναι ορθή (όμοια η ) σημαίνει ότι τα είναι στον κύκλο διαμέτρου . Τώρα, ως γνωστόν (το χρησιμοποίησε και ο Γιώργος) ο περιγεγραμμένος κύκλος τέμνει το στο μέσον του , το οποίο είναι το μέσον του μικρού τόξου (υπόψη καθότι είμαστε πάνω στην διχοτόμο της ). Έτσι ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμενει τον προηγούμενο κύκλο στα ζητούμενα . Επίσης τέμνει την (διχοτόμο) στο ζητούμενο σημείο .

[george visvikis]

Άσκηση 2: Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε την κορυφή του το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Άσκηση 2: Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε την κορυφή του το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο

Ξέρουμε πως το περίκεντρο του τριγώνου βρίσκεται στην ευθεία , με την ιδιότητα .

Επομένως μπορούμε να προσδιορίσουμε το .

Ακόμη το μέσο της βρίσκεται την προέκταση της κατά τμήμα .

Ξέρουμε πως η ευθεία περνάει από το , αλλά ταυτόχρονα είναι κάθετη στην . Μπορούμε να κατασκευάσουμε όμως ευθεία που περνάει από καθορισμένο σημείο και είναι κάθετη σε συγκεκριμένη ευθεία.

Μένει λοιπόν να βρούμε τα πάνω στην .

Όμως ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα περνάει από τα , άρα τα βρίσκονται στην τομή αυτού κύκλου με την ευθεία που προσδιορίσαμε παραπάνω.

edit: Έγινε διόρθωση σε τυπογραφικό λάθος.

[Mihalis_Lambrou]

Για λόγους πληρότητας βάζω πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
α) και ,
β) και ,
γ) και .
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) και ;

(τα α) και β) ουσιαστικά έχουν γίνει, αλλά ας ξαναγίνουν ανεξάρτητα).

[rek2]

Κατασκευή χωρίς διερεύνηση;

[harrisp]

Για λόγους πληρότητας βάζω πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
α) και ,
β) και ,
γ) και .
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) και ;

(τα α) και β) ουσιαστικά έχουν γίνει, αλλά ας ξαναγίνουν ανεξάρτητα).

α) Φέρνω το συμμετρικό του ορθοκεντρου, εως προς την το οποίο είναι γνωστό ότι ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου. Η τρίτη κορυφή λοιπόν ανήκει στην τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγωνου και της ευθείας

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
α) και ,
β) και ,
γ) και .
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) και ;

α) Φέρνω το συμμετρικό του ορθοκεντρου, εως προς την το οποίο είναι γνωστό ότι ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου. Η τρίτη κορυφή λοιπόν ανήκει στην τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγωνου και της ευθείας

Αλλιώς το α).

Φέρνω κάθετη από το στην . Απ' αυτής βρίσκεται το αφού ύψος. Επίση φέρνω από το κάθετη στην . To θα βρίσκεται και σε αυτήν (αφού ύψος επί την ). Το είναι στην τομή των δύο αυτών καθέτων. Τελειώσαμε.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για λόγους πληρότητας βάζω πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία

β) και ,
γ) και .
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) και ;

β)

Μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέσο του .

Χρησιμοποιώντας τώρα τον τύπο , μπορούμε να προσδιορίσουμε το .

γ)

Φέρνουμε από το κάθετη στην και έστω το σημείο τομής τους. Έχουμε πως το είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την .

Αφού φέρουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο (τον κύκλο δηλαδή με κέντρο και ακτίνα ) φέρνουμε από τα εφαπτόμενες σε αυτό τον κύκλο (προφανώς η μια από τις δύο εφαπτόμενες για κάθε σημείο είναι η που την έχουμε ήδη άρα δεν την λαμβάνουμε υπόψιν. Να σημειωθεί πως από σημείο εκτός κύκλου είναι δυνατή η κατασκευή των εφαπτομένων του σημείου στο κύκλο με κανόνα και διαβήτη.)

Οι άλλες δύο σίγουρα τέμνονται στο , καθώς έχουμε πως ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις και .

δ)

Φέρνουμε τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα (τον περιγεγραμμένο κύκλο του ). Το σίγουρα θα βρίσκεται σε αυτόν τον κύκλο. Όμως θα μπορούσε να είναι ένα οποιοδήποτε από τα σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου, καθώς δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός. Επομένως μπορούμε να επιλέξουμε ένα οποιοδήποτε σημείο του κύκλου για το .

[george visvikis]

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
γ) και .

Αλλιώς.
Προς το ημιεπίπεδο των φέρνω ημιευθείες ώστε Το σημείο τομής τους είναι η τρίτη κορυφή του τριγώνου.

[george visvikis]

Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
α) .............β)

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
α)

Έχουμε ότι , και ότι , άρα το μπορεί να προσδιοριστεί με την τομή των ημικυκλίων με διαμέτρους τις και .

Ξέρουμε τώρα πως τα σημεία και βρίσκονται πάνω στις ευθείες και (1) αντίστοιχα τις οποίες και φέρνουμε.

Ταυτόχρονα όμως είναι γνωστό πως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου περνάει και από τα μέσα των και . Επομένως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου μπορεί να προσδιοριστεί με την βοήθεια των τριών σημείων , όπου τα μέσα των και αντίστοιχα.

Σύμφωνα λοιπόν με την (1) τα μπορούν να προσδιοριστούν, ως οι τομές του περιγεγραμμένου κύκλου του και των και αντίστοιχα.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
γ) και .

Και πάλι αλλιώς.

Ξέρουμε ότι , από όπου βρίσκουμε την . Άρα το βρίσκεται στο τόξο (ας πούμε πάνω από το ) που βλέπει το υπό γωνία . Γράφουμε το εν λόγω τόξο αλλά και το προεκτείνουμε και κάτω του ώστε να γίνει πλήρης κύκλος. Έστω το μέσον του τόξου κάτω από το . Παρατηρούμε ότι η διέρχεται από το , οπότε γράφοντας την ευθεία , τέμνει το άνω τόξο στο ζητούμενο σημείο .

[Mihalis_Lambrou]

Είδαμε τις περιπτώσεις όπου δίνονται δύο κορυφές και ένα από τα .

Ας δούμε τώρα τις περιπτώσεις που δίνεται μία κορυφή και δύο από τα .

Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι αν δίνονται δύο από τα τότε βρίσκουμε και το τρίτο από την ευθεία Euler και την ιδιότητα . Συνεπώς οι περιπτώσεις αυτές ουσιαστικά έχουν γίνει και οι τρεις, οπότε μένει να εξετάσουμε την περίπτωση όπου ένα από τα σημεία είναι το . Αρχίζω με το εξής:

Άσκηση 5. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα .

[Doloros]

Είδαμε τις περιπτώσεις όπου δίνονται δύο κορυφές και ένα από τα .

Ας δούμε τώρα τις περιπτώσεις που δίνεται μία κορυφή και δύο από τα .

Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι αν δίνονται δύο από τα τότε βρίσκουμε και το τρίτο από την ευθεία Euler και την ιδιότητα . Συνεπώς οι περιπτώσεις αυτές ουσιαστικά έχουν γίνει και οι τρεις, οπότε μένει να εξετάσουμε την περίπτωση όπου ένα από τα σημεία είναι το . Αρχίζω με το εξής:

Άσκηση 5. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα .

Προφανώς γνωστός ο κύκλος τον οποίο και γράφω.

Από τη σχέση , υπολογίζεται και κατασκευάζεται γεωμετρικά η

ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου . Οι εφαπτόμενες από το σ αυτόν τον

κύκλο τέμνουν το περιγεγραμμένο κύκλο στα


Παρατήρηση : αν το κατασκευάζεται ως τετάρτη ανάλογος από την

αναλογία

[george visvikis]

Άσκηση 5. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα .

Αλλιώς... Η τέμνει τον κύκλο στο και ο κύκλος τον στα και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

[KARKAR]

Άσκηση 6

Μέσα και κέντρο.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 1899 φορές

Τα είναι τα μέσα των αντίστοιχα και το το περίκεντρο.

Βρείτε και τις συντεταγμένες των τριών κορυφών του τριγώνου .

Η άσκηση απευθύνεται μόνο σε μαθητές (εκτός αν παρέλθει ο Αη - Λιάς ! )

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
α)

Λύθηκε παραπάνω από τον Διονύση αλλά δίνω άλλη λύση (που όμως αν το καλοσκεφτεί κανείς είναι κρυφά μια παραλλαγή της λύσης του Διονύση).

Είναι γνωστό και απλό ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Έτσι στο τρίγωνο αυτό μας δίνονται δύο κορυφές, οι , και το ορθόκεντρο. Άρα βρίσκουμε (πρόκειται για την άσκηση 3α) την τρίτη κορυφή . Τα ζητούμενα είναι απλά οι πόδες των υψών του .