Ανισότητα με δυνάμεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Ισως είναι γνωστή.Αν είναι πως την έχουν βαπτίσει;

Εστω a,b,c> 0,abc=1

Θεωρούμε

Να δειχθεί ότι

$a^{r}+b^{r}+c^{r}\leq a^{s}+b^{s}+c^{s}$

Συμπλήρωμα.
Αρκεί 0< r< s

#2

Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη:

Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το $1 = (abc)^{(s-r)/3}$ , αρκεί, για a,b,c>0

, να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}$

Όμως από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{ (2r+s)a^s + (s-r)b^s + (s-r)c^s \geqslant 3s a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}}}$

Εφαρμόζοντας κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε το ζητούμενο.

[Η συνθήκη r < s

χρησιμοποιήθηκε για να είναι θετικοί οι συντελεστές στην ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.]

AlexandrosG · #3

Μια λύση με Διαφορικό Λογισμό.

Έστω f(t)=a^t+b^t+c^t

. Είναι $\displaystyle{f'(t)=a^t \ln a+b^t \ln b+c^t \ln c}$ και

$\displaystyle{f''(t)=a^t (\ln a)^2+b^t (\ln b)^2+c^t (\ln c)^2 \geq 0.}$

Άρα $f'(t) \geq f'(0)=\ln a+\ln b+\ln c=\ln (abc)=\ln 1=0$ . Άρα η

είναι αύξουσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Demetres έγραψε: Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη:

Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το $1 = (abc)^{(s-r)/3}$ , αρκεί, για , να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}$

Όμως από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{ (2r+s)a^s + (s-r)b^s + (s-r)c^s \geqslant 3s a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}}}$

Εφαρμόζοντας κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε το ζητούμενο.

[Η συνθήκη χρησιμοποιήθηκε για να είναι θετικοί οι συντελεστές στην ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.]

Αν στην
$\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}$

εφαρμόσουμε Holder με εκθέτες $\frac{3s}{2r+s},\frac{3s}{s-r},\frac{3s}{s-r}$
προκύπτει.

Βέβαια κατά την γνώμη μου η λύση του Αλέξαντρου είναι η πιο ενδεδειγμένη

Η ανισότητα εμφανίσθηκε κρυμμένη στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Η λύση του George Chimonides εκεί έχει ενδιαφέρον.Αν δεν την βρεί κανένας θα την γράψω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Demetres έγραψε: Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη:

Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το $1 = (abc)^{(s-r)/3}$ , αρκεί, για , να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}$

Όμως από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{ (2r+s)a^s + (s-r)b^s + (s-r)c^s \geqslant 3s a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}}}$

Εφαρμόζοντας κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε το ζητούμενο.

[Η συνθήκη χρησιμοποιήθηκε για να είναι θετικοί οι συντελεστές στην ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.]

Η ανισότητα
$\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}$

προκύπτει αν εφαρμόσουμε Holder με εκθέτες $\frac{3s}{2r+s},\frac{3s}{s-r},\frac{3s}{s-r}$ .

Βέβαια κατά την γνώμη μου η λύση του Αλέξαντρου είναι η πιο ενδεδειγμένη

Η ανισότητα εμφανίσθηκε κρυμμένη στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Η λύση του George Chimonides εκεί έχει ενδιαφέρον.Αν δεν την βρεί κανένας θα την γράψω.

Συμπλ.Διόρθωσα κάποια εκφραστικά.

#6

Αλλιώς, πάλι από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη, έχουμε

$\displaystyle{ ta^s + (s-t) \geqslant sa^t}$

Άρα:

$\displaystyle{ s\Sum a^s = t\sum a^s + (s-t) \sum a^s \geqslant t\sum a^s + 3(s-t) = \sum (ta^s + (s-t)) \geqslant \sum a^t}$

Πιο πάνω όλα τα αθροίσματα είναι κυκλικά. Στην πρώτη ανισότητα εφαρμόσαμε την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ και χρησιμοποιήσαμε το δεδομένο ότι abc = 1

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Η παρακάτω λύση έχει δοθεί από τον George Chimonides.

Εστω 0< r< s

Από την ανισότητα της αναδιάταξης (η όπως αλλιώς λέγεται ) είναι

$\dfrac{a^{r}+b^{r}+c^{r}}{3}.\dfrac{a^{s-r}+b^{s-r}+c^{s-r}}{3}\leq \dfrac{a^{s}+b^{s}+c^{s}}{3}$

Αλλά από AMG είναι $a^{s-r}+b^{s-r}+c^{s-r}\geq 3$

( abc=1

)

και τελειώσαμε.

#8

Άλλη μια λύση:

Από την μονοτονία της x^a

όταν $x\geq 1$ και την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε ότι
$\displaystyle\left(\frac{a^s+b^s+c^s}{3}\right)^s\geq\left(\frac{a^s+b^s+c^s}{3}\right)^r\geq \left(\frac{a^r+b^r+c^r}{3}\right)^s$ .

Ανισότητα με δυνάμεις

Ανισότητα με δυνάμεις

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση