Σωτήρη, ανοίγεις ένα πάρα πολύ ενδιαφέρον θέμα εδώ. Επιγραμματικά αλλά θα επανέλθω, το βαθύτερο ερώτημα που θέτεις είναι κατά πόσο το θεώρημα ότι τα ύψη συγκλίνουν ισχύει στην Υπερβολική Γεωμετρία. Το έχω ψάξει πολύ. Εκεί πάλι ισχύει το θεώρημα αλλά χρειάζεται μία μικρή προσθήκη. Συγκεκριμένα απoδεικνύεται ότι αν κάποια δύο ύψη τέμνονται, τότε όλα τέμνονται ανά δύο και μάλιστα στο ίδιο κοινό σημείο (ορθόκεντρο).S.E.Louridas έγραψε: θεωρώ αν δεν μου διαφεύγει κάτι, ότι στην απόδειξη του βιβλίου αυτού υπάρχει ένα μικρό κενό, ... ότι τα δύο ύψη τριγώνου τέμνονται. Γιατί αν δεν είναι τότε κατά την άποψη μου η εκεί απόδειξη έχει σοβαρό βασικό μαθηματικό κενό.
Έχω δει στην βιβλιογραφία ένα παράδειγμα στην Υπερβολική Γεωμετρία όπου οι δύο μεσοκάθετες ενός τριγώνου μπορεί να μην τέμνονται. Από αυτό κατασκευάζει κανείς τρίγωνο στο οποίο τα ύψη δεν τέμνονται καθόλου (δεν το έχω δει γραμμένο αλλά ξέρω ότι είναι γνωστό, πάντως έφτιαξα παράδειγμα βασιζόμενος σε αυτό). Αργότερα έφτιαξα και δικό μου παράδειγμα, καλύτερο από αυτό που διάβασα, για τις μεσοκαθέτους. Κάποτε θα το αναρτήσω: Με άλλα λόγια, υπάρχει τρίγωνο στην Υπερβολική Γεωμετρία όπου οι τρεις μεσοκάθετες είναι παράλληλες μεταξύ τους και, επίσης, υπάρχει τρίγωνο όπου τα τρία ύψη είναι παράλληλα μεταξύ τους!
Εάν εν τω μεταξύ κάποιος έχει παραπομπές ή ξέρει να μας διαφωτίσει στα ωραία αυτά χωράφια της Υπερβολικής Γεωμετρίας, θα χαρώ πολύ να τα δω.
Έρχομαι τώρα στο εξής σημείο:
Σωτήρη, δεν αληθεύει αυτό. Όπως θα δούμε, το έχεις χρησιμοποιήσει κρυφά.S.E.Louridas έγραψε:Στην ημέτερη απόδειξη δεν έγινε χρήση του ότι δύο ύψη τριγώνου τέμνονται.
Ας πάρω τα πράγματα από την αρχή. Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι απλό να αποδειχθεί ότι το ύψος, ας το πούμε , τέμνει την απέναντι πλευρά και όλες τις ενδιάμεσες ευθείες εντός του τριγώνου, από το . Π.χ. τέμνει το ύψος , όπως χρησιμοποίησε η απόδειξη στο Ladies Diary.
Τώρα, με βάση το σχήμα σου, υποθέτεις ότι η κάθετος από το τέμνει την , σε σημείο που ονόμασες . Αυτό είναι ακριβώς ισοδύναμο με το γεγονός ότι το ύψος τέμνει το ύψος . Πράγματι, έστω ότι δεν το έτεμνε, δηλαδή ήταν . Όμως επειδή η είναι παράλληλη της (και οι δύο είναι κάθετες στην ) σημαίνει ότι είναι παράλληλη και προς την (που είναι παράλληλη της ). Άτοπο, αφού έχουν κοινό το σημείο .
Για να συνοψίσω, πιστεύω ότι οι δύο αποδείξεις είναι ουσιαστικά ίδιες, παρά τις (μικρο)διαφορές.