4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Datis-Kalali · #1

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων (a,b,c)

που ικανοποιούν την εξίσωση
a^3+b^3-3ab=2017^c+1

2. Αν

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε
a+b+c=1

να δείξετε ότι
$\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc<\frac{5}{16abc}$

3.Δίνεται το σταθερό κανονικό εννεάγωνο A_1 A_2…A_9

στο επίπεδο.

κορυφές του εννεάγωνο λέγονται «κανονική τριάδα» όταν σχηματίζουνε μία ισόπλευρο τρίγωνο. Σημειώνουμε κάθε κορυφή του εννεάγωνου με τους αριθμούς

ή

. Ένα εννεάγωνο λέγεται «τακτοποιημένο» όταν δεν έχει

διαδοχικές κορυφές σημειωμένα με τον αριθμό μηδέν. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούμε να σημειώνουμε το εννεάγωνο , έτσι ώστε οι αριθμοί των κάθε «κανονική τριάδα» έχουν άθροισμα

και το εννεάγωνο είναι «τακτοποιημένο».

4.Δίνεται το τρίγωνο ABC

(

) με περιεγραμμένο κύκλο $(\Gamma)$ και περίκεντρο

. Οι εφαπτόμενες στο $(\Gamma)$ από τα σημεία

και

τέμνονται στο σημείο

και το

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Η ευθεία

τέμνει τις ευθείες

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα και η ευθεία

τέμνει την

στο σημείο

. Να δείξετε ότι το περιεγραμμένο κύκλο του τρίγωνου AXY

και ο κύκλος $(\Gamma)$ εφάπτονται.

Ορέστης Λιγνός · #2

Datis-Kalali έγραψε:

2. Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε
να δείξετε ότι
$\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc<\frac{5}{16abc}$

Είναι $\dfrac{1}{a+bc}=\dfrac{1}{1-b-c+bc}=\dfrac{1}{(1-b)(1-c)}=\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}$ , οπότε $\displaystyle \rm {LHS}$ $= \displaystyle \sum\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}+4abc=$

$\dfrac{a+b+a+c+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}+4abc \leqslant \dfrac{2}{8abc}+4abc=\dfrac{1}{4abc}+4abc$ .

Αρκεί λοιπόν $4abc+\dfrac{1}{4abc}<\dfrac{5}{16abc} \Rightarrow abc<\dfrac{1}{8}$ , που ισχύει, καθώς $abc \leqslant \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=\dfrac{1}{27}<\dfrac{1}{8}$ .

Ορέστης Λιγνός · #3

Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.

4.Δίνεται το τρίγωνο () με περιεγραμμένο κύκλο $(\Gamma)$ και περίκεντρο . Οι εφαπτόμενες στο $(\Gamma)$ από τα σημεία και τέμνονται στο σημείο και το τέμνει την πλευρά στο σημείο . Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα και η ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να δείξετε ότι το περιεγραμμένο κύκλο του τρίγωνου και ο κύκλος $(\Gamma)$ εφάπτονται.

Το

είναι προφανώς το μέσο της

, οπότε από το Θ. Ceva για τις σεβιανές AZ,BX,CY

έχουμε ότι $\dfrac{AY}{YB}=\dfrac{AX}{XC} \Rightarrow XY \parallel BC$ .

Αν $(\epsilon)$ η εφαπτόμενη του κύκλου (A,X,Y)

στο

, και

ένα σημείο της προς το ημιεπίπεδο που περιέχει το

, είναι $\widehat{DAC}=\widehat{DAX}=\widehat{AYX}=\widehat{ABC} \Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{ABC}$ .

Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι η $(\epsilon)$ εφάπτεται και στον κύκλο (A,B,C)

.

Συνεπώς, οι κύκλοι (A,B,C), (A,X,Y)

εφάπτονται στο

.

: DATIS.png (25.24 KiB) Προβλήθηκε 1191 φορές

Ορέστης Λιγνός · #4

Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων
που ικανοποιούν την εξίσωση

Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$

$a^3 \equiv 0 \pmod 3 \,\, \textnormal{\gr και} \, \, b^3 \equiv 2 \pmod 3$ ή $a^3 \equiv b^3 \equiv 1 \pmod 3$ .

Αν $a^3 \equiv 0 \pmod 3 \,\, \textnormal{\gr και} \, \, b^3 \equiv 2 \pmod 3$ , έπεται ότι $3 \mid a \Rightarrow a^3+b^3-3ab \equiv b^3 \pmod 9 \Rightarrow$

$2017^c+1 \equiv b^3 \pmod 9 \Rightarrow b^3 \equiv 2 \bmod 9$ , που είναι άτοπο, καθώς $b^3 \equiv -1,0$ ή $1 \pmod 9$ .

Συνεπώς, $a^3 \equiv b^3 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow a \equiv b \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow a^3,b^3 \equiv 0 \,\, \textnormal{\gr ή} \,\, 1 \pmod 9$ .

Συνεπώς, $a^3+b^3 \equiv 0,1,$ ή $2 \pmod 9$

Είναι επίσης $ab \equiv 1 \cdot 1 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 3ab \equiv 3 \pmod 9$ .

Είναι όμως $a^3+b^3=3ab+2017^c+1 \equiv 5 \pmod 9 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 5 \pmod 9$ , άτοπο.

Συνεπώς, η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Panagiotis11 · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων
που ικανοποιούν την εξίσωση

Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$

Καλησπέρα Ορέστη.Μερικές ερωτήσεις.

Πρώτον πως επέλεξες να πάρεις (mod 3)

και δεύτερον πώς συμπέρανες ότι $2017^c+1\equiv 2$ .Παίρνοντας $17^3+1=4914\equiv 0(mod 3)$ πράγμα το οποίο δεν αληθεύει την σχέση που έδωσες.Ανυπομονώ την απάντηση σου!

harrisp · #6

Panagiotis11 έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων
που ικανοποιούν την εξίσωση

Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$

Καλησπέρα Ορέστη.Μερικές ερωτήσεις.

Πρώτον πως επέλεξες να πάρεις και δεύτερον πώς συμπέρανες ότι $2017^c+1\equiv 2$ .Παίρνοντας $17^3+1=4914\equiv 0(mod 3)$ πράγμα το οποίο δεν αληθεύει την σχέση που έδωσες.Ανυπομονώ την απάντηση σου!

Γειά σου Παναγιώτη!

1. Δοκιμάζουμε συχνά το mod 3 όταν δολεύουμε με κύβους.

2. Αλλο το 2017 και αλλο το 17. Η σχέση που απέδειξε ο Ορςστης προκύπτει αμεσα αφού το 2017 αφήνει υπόλοιπο 1 οταν διαρείται με το 3.

#7

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:

2. Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε
να δείξετε ότι
$\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc<\frac{5}{16abc}$

Είναι $\dfrac{1}{a+bc}=\dfrac{1}{1-b-c+bc}=\dfrac{1}{(1-b)(1-c)}=\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}$ , οπότε $\displaystyle \rm {LHS}$ $= \displaystyle \sum\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}+4abc=$

$\dfrac{a+b+a+c+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}+4abc \leqslant \dfrac{2}{8abc}+4abc=\dfrac{1}{4abc}+4abc$ .

Αρκεί λοιπόν $4abc+\dfrac{1}{4abc}<\dfrac{5}{16abc} \Rightarrow abc<\dfrac{1}{8}$ , που ισχύει, καθώς $abc \leqslant \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=\dfrac{1}{27}<\dfrac{1}{8}$ .

Από την απόδειξη του Ορέστη παίρνουμε και ένα καλύτερο φράγμα:

Αφού $\displaystyle{ abc \leqslant \frac{1}{27}}$ , τότε είναι και $\displaystyle{4abc \leqslant \frac{4}{27^2abc}.}$ Καταλήγουμε λοιπόν στο

$\displaystyle{\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}+4abc \leqslant \left(\frac{1}{4} + \frac{4}{27^2} \right)\frac{1}{abc} = \frac{745}{2916} \frac{1}{abc}}$ .

#8

Datis-Kalali έγραψε: 3.Δίνεται το σταθερό κανονικό εννεάγωνο στο επίπεδο. κορυφές του εννεάγωνο λέγονται «κανονική τριάδα» όταν σχηματίζουνε μία ισόπλευρο τρίγωνο. Σημειώνουμε κάθε κορυφή του εννεάγωνου με τους αριθμούς ή . Ένα εννεάγωνο λέγεται «τακτοποιημένο» όταν δεν έχει διαδοχικές κορυφές σημειωμένα με τον αριθμό μηδέν. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούμε να σημειώνουμε το εννεάγωνο , έτσι ώστε οι αριθμοί των κάθε «κανονική τριάδα» έχουν άθροισμα και το εννεάγωνο είναι «τακτοποιημένο».

Οι κανονικές τριάδες είναι οι $\{A_1,A_4,A_7\},\{A_2,A_5,A_8\},\{A_3,A_6,A_9\}$ . Για να έχει κάθε τέτοια τριάδα άθροισμα δύο πρέπει να επιλέξουμε ακριβώς μια κορυφή από κάθε τριάδα στην οποία θα τοποθετήσουνε το

ενώ στις άλλες κορυφές πρέπει να τοποθετήσουμε το

.

Υπάρχουν ακριβώς 3^3 = 27

τρόποι να γίνει το πιο πάνω. Κάποιοι όμως δεν θα δώσουν τακτοποιημένο εννιάγωνο. Επειδή τοποπθετούμε ακριβώς

μηδενικά, από αυτούς τους

τρόπους, το πολύ

δίνουν μη τακτοποιημένα εννιάγωνα. Αυτοί που έχουν μηδενικά στις κορυφές $A_{k+1},A_{k+2},A_{k+3}$ για $k=1,2,\ldots,9$ και τους δείκτες να είναι modulo

. Όλοι όμως αυτοί οι τρόποι δίνουν κανονικές τριάδες με άθροισμα

αφού επιλέξαμε ακριβώς ένα

από κάθε κανονική τριάδα.

Άρα εν τέλει έχουμε 27-9=18

τρόπους ώστε κάθε κανονική τριάδα να έχει άθροισμα

και το εννιάγωνο να είναι τακτοποιημένο.

4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Μέλη σε σύνδεση