Ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν

και

, να δείξετε ότι $a^6 \geqslant 5$ .

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αν και , να δείξετε ότι $a^6 \geqslant 5$ .

Μία λύση εκτός φακέλου:

Η f(x)=x^5-x^3+x-3

είναι γνήσια αύξουσα καθώς $f'(x) = 5x^4-3x^2+1 = \frac {11}{4}x^4 + \left ( \frac {3}{2}x^2-1\right ) ^2 >0$ . Άρα η

ως άρτιου βαθμού με f(0)<0

, έχει ακριβώς μία ρίζα και μάλιστα θετική. Επειδή 1,31^6 > 5

(άμεσο) έχουμε

$f(\sqrt [6]{5}) < f(1,31) = 1,31^5-1,31^3+1,31-3\approx -0,0804 <0$ , η ρίζα

της

είναι μεγαλύτερη από $\sqrt [6]{5}$ . Με άλλα λόγια $a> \sqrt [6]{5}$ , που ισοδυναμεί με το ζητούμενο.

#3

Έχουμε

$\displaystyle{ a^6 - 5 = a \cdot a^5 - 5 = a^4 - a^2 + 3a - 5.}$

Άρα είναι και

$\displaystyle{ a(a^6-5) = a^5 - a^3 + 3a^2 - 5a = 3a^2 - 6a + 3 = 3(a-1)^2.}$

Οπότε

$\displaystyle{ a^6 - 5 = \frac{3(a-1)^2}{a} \geqslant 0.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Είναι φανερό ότι $\alpha > 1$

Γράφοντας την σχέση $\alpha ^{3}(\alpha ^{2}-1)+\alpha =3$

αν υποθέσουμε ότι $\alpha \leq \sqrt[6]{5}$

τότε $3\leq \sqrt{5}(\sqrt[3]{5}-1)+\sqrt[6]{5}< 2,93$

ΑΤΟΠΟ .

Χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις $\sqrt{5}< 2,24\wedge \sqrt[3]{5}< 1,72\wedge \sqrt[6]{5}< 1.31$

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση