Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

#1

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως
$f_n(x)=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\Big(\frac{x}{1+x^n}\Big)^{k}\,,\quad x\in[0,1]\,.$

#2

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 1:47 pm
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως
$f_n(x)=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\Big(\frac{x}{1+x^n}\Big)^{k}\,,\quad x\in[0,1]\,.$

Το άθροισμα είναι γεωμετρική πρόοδος.

Για $0\le x < 1$ ισούται $\displaystyle{ \dfrac {1- \left ( \dfrac {x}{1+x^n} \right)^{n}}{1- \dfrac {x}{1+x^n}}}\cdot \dfrac {x}{1+x^n}$

O παρονομαστής τείνει στο $\displaystyle{1- \dfrac {x}{1+0}}$ . Ο δεύτερος προσθετέος στον αριθμητή ικανοποιεί

$\displaystyle{ 0\le \left ( \dfrac {x}{1+x^n} \right)^{n}} \le \left ( \dfrac {x}{1+0} \right)^{n}}\to 0}$

οπότε $f_n(x)\to \dfrac {x}{1-x}$

Μένει το x=1

. Tότε $f_n(x)=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{k}\to 1$

Δηλαδή η δοθείσα συγκλίνει κατά σημείο. Δεν συγκλίνει ομοιόμορφα καθώς η οριακή είναι ασυνεχής.

Σπεύδω να προσθέσω ότι από Weierstrass η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στα $[0,a], \, 0\le a <1$ .

Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα που μου υπέδειξε ο Σταύρος Παπαδόπουλος, τον οποίο ευχαριστώ. Ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα ουσιαστικό.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 4:53 pm
...Σπεύδω να προσθέσω ότι από Weierstrass η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στα $[0,a], \, 0\le a <1$ .

Να το δυσκολέψουμε λίγο;
Συγκλίνει η $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ ομοιόμορφα στο [0,1)

;

#4

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 5:06 pm
Συγκλίνει η $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ ομοιόμορφα στο ;

Όχι δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1)

. Π.χ. αν θέσουμε $x_n = \dfrac {1}{\sqrt [n] n}\in [0,1)$ τότε (αφήνω τις επίπονες πράξεις/πληκτρολόγηση) έχουμε

$\displaystyle{ f_n(x_n)-\dfrac {x_n}{1-x_n} =...= \dfrac {n+1- \left ( 1 + \dfrac {1}{n}\right ) ^{-n+1} } {n+1- \dfrac {1}{\sqrt [n] n}}}\cdot \dfrac {n}{n+1}- \dfrac {1}{\sqrt [n] n -1}}$

Το πρώτο κλάσμα είναι της τάξεως $\displaystyle{\approx \dfrac {n+1-1/e}{n}\approx 1}$ , το δεύτερο $\displaystyle{\approx 1}$ και το τρίτο τείνει στο άπειρο. Όλο μαζί τείνει στο "μείον άπειρο".

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 5:06 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 11, 2017 4:53 pm
...Σπεύδω να προσθέσω ότι από Weierstrass η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στα $[0,a], \, 0\le a <1$ .
Να το δυσκολέψουμε λίγο;
Συγκλίνει η $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ ομοιόμορφα στο ;

Δεν νομίζω ότι δυσκολεύει.

Ισχύει το εξής(δεν είναι γραμμένο σε βιβλία)

Αν $f_{n}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ ακολουθία συναρτήσεων

που συγκλίνει κατά σημείο στην $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

τότε έχουμε $f_{n}\rightarrow f$ ομοιόμορφα στο [0,1]

αν και μόνο αν $f_{n}\rightarrow f$ ομοιόμορφα στο [0,1)

Απόδειξη.
Αν $M_{n}=sup\left \{ \left | f_{n}(x)-f(x) \right |:x\in [0,1] \right \}$
και
$K_{n}=sup\left \{ \left | f_{n}(x)-f(x) \right |:x\in [0,1) \right \}$

τότε $M_{n}=max(K_{n},\left | f_{n}(1)-f(1) \right |)$

Επειδή $\left |f_{n}(1)-f(1) \right |\rightarrow 0$

Εχουμε

$M_{n}\rightarrow 0\Leftrightarrow K_{n}\rightarrow 0$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

#6

Σταύρο ωραία απόδειξη! Εγώ πήρα οδό παρόμοια με του κ. Λάμπρου, και έτσι...

Επειδή
$\begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\sup\Big\{\big|f_n(x)-\tfrac{x}{1-x}\big|\,\big|\,x\in[0,1)\big\}&\geqslant\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\bigg|f_n\big(2^{-\frac{1}{n}}\big)-\frac{2^{-\frac{1}{n}}}{1-2^{-\frac{1}{n}}}\bigg|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\bigg|\frac{(2^{\frac{1}{n}}-1)\,\big(\frac{2}{3}\big)^{n}+2^{\frac{1}{n}}}{(2^{\frac{1}{n}}-1)\,(3\cdot2^{\frac{1}{n}}-2)}\bigg|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{3\cdot2^{\frac{1}{n}}-2}\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{(2^{\frac{1}{n}}-1)\,\big(\frac{2}{3}\big)^{n}+2^{\frac{1}{n}}}{2^{\frac{1}{n}}-1}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{3\cdot2^{\frac{1}{n}}-2}\,\bigg(\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{(2^{\frac{1}{n}}-1)\,\big(\frac{2}{3}\big)^{n}}{2^{\frac{1}{n}}-1}+\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{2^{\frac{1}{n}}}{2^{\frac{1}{n}}-1}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{3\cdot2^{\frac{1}{n}}-2}\,\bigg(\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n}+\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{2^{\frac{1}{n}}}{2^{\frac{1}{n}}-1}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{1}{3\cdot1-2}\,\big(+\infty+(+\infty)\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=+\infty\neq0\,, \end{aligned}$

έπεται ότι η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη ούτε στο [0,1)

.

Και αφού εξετάσθηκε πλήρως, ως προς την σύγκλιση, και μια εικόνα της ακολουθίας...

: ak_syn_08.png (27.62 KiB) Προβλήθηκε 1178 φορές

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2017 9:51 am
τότε έχουμε $f_{n}\rightarrow f$ ομοιόμορφα στο

αν και μόνο αν $f_{n}\rightarrow f$ ομοιόμορφα στο

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 08

Μέλη σε σύνδεση