Ημικύκλιο και τετράγωνο

KARKAR · #1

: Ημικύκλιο και τετράγωνο.png (14.84 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Τα σημεία A,B,C

είναι συνευθειακά και η ακτίνα του ημικυκλίου είναι

. Υπολογίστε

την πλευρά του τετραγώνου BCDE

, ώστε αν το τμήμα

είναι εφαπτόμενο , η

να διχοτομεί το τμήμα

και υπολογίστε στην περίπτωση αυτή το λόγο $\dfrac{SM}{MB}$ .

Δείξτε επίσης , ότι τότε , το τόξο διχοτομεί το τμήμα

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

η τομή της

με το ημικύκλιο.

Παρατηρούμε πως η τετράδα (A, K, M, E)

είναι αρμονική, άρα $\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{KM}{KE}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{KM}{KE}\Leftrightarrow KE=2KM$

Έστω KM=x

. Έχουμε πως KE=2x

, άρα

και ως επακόλουθο AM=3x

. Άρα $AE=6x\Leftrightarrow AE^2=36x^2$ .

Ακόμα έχουμε πως $EB^2=EK\cdot EA=2x\cdot 6x=12x^2$

Από πυθαγόρειο στο τρίγωνο AEB

έχουμε πως $AE^2=EB^2+AB^2\Leftrightarrow 4R^2=36x^2-12x^2=24x^2\Leftrightarrow 2R=2\sqrt{6}x$ .

Άρα $EB=2\sqrt{3}x=\dfrac{2R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}R$ .

Παρατηρούμε πως MB=ME=MA

, άρα αφού $MA\cdot MK=MB\cdot MS$ , έχουμε πως MS=MK=x

. Άρα $\dfrac{MS}{MB}=\dfrac{x}{3x}=\dfrac{1}{3}$

Ξέρουμε πως $BN\perp AD$ , άρα αρκεί το τρίγωνο ABD

να είναι ισοσκελές.

Έχουμε:

$BD=\sqrt{2}EB=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}R=2R=AB$ και το ζητούμενο έπεται.

Ημικύκλιο και τετράγωνο

Ημικύκλιο και τετράγωνο

Re: Ημικύκλιο και τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση