Διάκεντρος

[KARKAR]

Διάκεντρος.png (11.65 KiB) Προβλήθηκε 2987 φορές

Στο επίπεδο του σκαληνού τριγώνου , εντοπίστε σημεία , ώστε ο κύκλος

κέντρου που περνά από τα , να είναι ίσος με τον κύκλο κέντρου που περνά

από τα και επιπλέον η διάκεντρος να είναι παράλληλη προς τη βάση .

Εξηγήστε γιατί σ' αυτή την περίπτωση είναι : .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Διάκεντρος.png (39.21 KiB) Προβλήθηκε 2935 φορές

Έστω το περίκεντρο του . Θεωρούμε τα σημεία ως τα συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Παρατηρούμε πως τα τετράπλευρα και είναι ρόμβοι, άρα .

Έστω τα μέσα των και αντίστοιχα. Έχουμε πως , αφού μέσα των και αντίστοιχα. Όμως είναι και , άρα πράγματι .

Θα αποδείξουμε πως αυτά τα σημεία είναι τα μοναδικά με αυτή την ιδιότητα:

Έστω και άλλα σημεία με αυτή την ιδιότητα. Αφού θα είναι , το O' θα βρίσκεται στην μεσοκάθετο του , δηλαδή την . Όμοια είναι και το στην ευθεία . Θα είναι ακόμα .

Αφού , έχουμε πως το ανήκει στην μεσοκάθετο του , δηλαδή η κάθετη από το στην περνάει από το μέσο του .

Αυτή η κάθετη όμως είναι και κάθετη στην .

Αφού όμως το βρίσκεται στη μεσοκάθετο του (), έχουμε πως η μεσοκάθετος του είναι και μεσοκάθετος του .

Επομένως πρέπει και από το θεώρημα Θαλή προκύπτει πως πρέπει , δηλαδή , άρα προκύπτει πως πρέπει , άτοπο αφού το τρίγωνο είναι σκαληνό.

Επομένως τα είναι τα συμμετρικά του ως προς τις και αντίστοιχα.

Είναι , αφού μέσα των και αντίστοιχα. Όμως είναι , αφού μέσα και των και αντίστοιχα.

Άρα πράγματι .

[gbaloglou]

Γρήγορη λύση με Αναλυτική:

Θέτουμε , , , , , οπότε ισχύουν οι ισότητες



που άμεσα δίνουν (λόγω ) και (λόγω ΚΑΙ ).

[Με λίγη περισσότερη δουλειά προκύπτει ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων, έστω , είναι το ορθόκεντρο του : η παρατήρηση αυτή οδηγεί πιθανότατα σε εναλλακτική γεωμετρική απόδειξη της αρχικής πρότασης.]

[Doloros]

Διάκεντρος.pngΣτο επίπεδο του σκαληνού τριγώνου , εντοπίστε σημεία , ώστε ο κύκλος

κέντρου που περνά από τα , να είναι ίσος με τον κύκλο κέντρου που περνά

από τα και επιπλέον η διάκεντρος να είναι παράλληλη προς τη βάση .

Εξηγήστε γιατί σ' αυτή την περίπτωση είναι : .

Κατασκευή .

Διάκεντρος_1.png (30.08 KiB) Προβλήθηκε 2889 φορές

Πάνω στην ευθεία θεωρώ σημείο έτσι ώστε : ( αρκεί να γράψω τον κύκλο )

Γράφω το κύκλο του τριγώνου κι έστω το κέντρο του . Από το φέρνω ευθεία παράλληλη στην και τη μεσοκάθετη του που την τέμνει στο .

Ο κύκλος είναι ο άλλος κύκλος που ζητώ.

Απόδειξη:

Διάκεντρος_2.png (31.92 KiB) Προβλήθηκε 2855 φορές

Έστω το άλλο σημείο τομής του κύκλου με τη .

Φέρνω τα αποστήματα που είναι προφανώς ίσα και άρα .

Έτσι και τα μισά αυτών των χορδών θα είναι ίσα μεταξύ τους, προφανώς δε

1. και έιναι αμβλυγώνια, άρα

και αφού οι κύκλοι είναι ίσοι ,

2. Επειδή .

[gbaloglou]

Νίκο πολύ απλή και βεβαίως χρήσιμη η κατασκευή των δύο ίσων κύκλων με διάκεντρο παράλληλη προς την βάση, οφείλουμε όμως να δείξουμε και την μοναδικότητα τους: αυτό το έκανε ήδη ο Διονύσης, και προκύπτει εύκολα και από την δική μου προσέγγιση με Αναλυτική Γεωμετρία^ έχω όμως προτείνει, μέσω Αναλυτικής Γεωμετρίας πάντοτε, και έναν ενδιαφέροντα χαρακτηρισμό των δύο κύκλων ... ως περιγεγραμμένων στα τρίγωνα και , όπου το ορθόκεντρο του .

[vittasko]

Έστω , το ύψος του δοσμένου τριγώνου .

Επειδή το ζητούμενο είναι , αρκεί να κατασκευαστούν δύο ίσοι κύκλοι με χορδές τις πλευρές , το δεύτερο κοινό σημείο των οποίων, έστω το , να κείται επί της ευθείας = ριζικός άξονας των κύκλων κάθετος επί την .

To πρόβλημα γενικεύεται για κάθε μεταβλητό το σημείο επί της και έρχεται από το παρελθόν.

Διάκεντρος.

f=171_t=60931.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 2807 φορές

Έστω ότι έχει λυθεί το πρόβλημα. Είναι προφανές, ότι τα κέντρα των δύο ίσων κύκλων , με χορδές τις πλευρές αντιστοίχως, ανήκουν στις μεσοκάθετες ευθείες αυτών των πλευρών και ας είναι , τα μέσα των , αντιστοίχως.

Έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία και έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο, το οποίο κατασκευάζεται γιατί τα σημεία είναι σταθερά και το σημείο προσδιορίζεται, ως το σημείο τομής της μεσοκάθετης ευθείας της πλευράς , από την συμμετρική ευθεία της μεσοκάθετης ευθείας της , ως προς την ευθεία και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

[Doloros]

Νίκο πολύ απλή και βεβαίως χρήσιμη η κατασκευή των δύο ίσων κύκλων με διάκεντρο παράλληλη προς την βάση, οφείλουμε όμως να δείξουμε και την μοναδικότητα τους: αυτό το έκανε ήδη ο Διονύσης, και προκύπτει εύκολα και από την δική μου προσέγγιση με Αναλυτική Γεωμετρία^ έχω όμως προτείνει, μέσω Αναλυτικής Γεωμετρίας πάντοτε, και έναν ενδιαφέροντα χαρακτηρισμό των δύο κύκλων ... ως περιγεγραμμένων στα τρίγωνα και , όπου το ορθόκεντρο του .

Παρατήρηση.

Θα γράψω αργότερα διερεύνηση .

Για το ορθόκενερο με Ευκλείδεια Γεωμετρία .

Διάκεντρος_4.png (34.37 KiB) Προβλήθηκε 2805 φορές

Έστω το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλων . Προφανώς .

Από το : άρα .

[gbaloglou]

Νίκο πολύ απλή και βεβαίως χρήσιμη η κατασκευή των δύο ίσων κύκλων με διάκεντρο παράλληλη προς την βάση, οφείλουμε όμως να δείξουμε και την μοναδικότητα τους: αυτό το έκανε ήδη ο Διονύσης, και προκύπτει εύκολα και από την δική μου προσέγγιση με Αναλυτική Γεωμετρία^ έχω όμως προτείνει, μέσω Αναλυτικής Γεωμετρίας πάντοτε, και έναν ενδιαφέροντα χαρακτηρισμό των δύο κύκλων ... ως περιγεγραμμένων στα τρίγωνα και , όπου το ορθόκεντρο του .

Παρατήρηση.

Θα γράψω αργότερα διερεύνηση .

Για το ορθόκενερο με Ευκλείδεια Γεωμετρία .


Διάκεντρος_4.png


Έστω το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλων . Προφανώς .

Από το : άρα .

Αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω αποτελούν ΝΕΑ μέθοδο απόδειξης σύγκλισης υψών τριγώνου: ο Νίκος ο Κυριαζής μάς διαβάζει άραγε;

[Ας πω με την ευκαιρία ότι με ενδιέφερε και το αντίστροφο, ότι δηλαδή οι περίκυκλοι των και είναι ίσοι με διάκεντρο ίση και παράλληλο προς την : νομίζω ότι αυτό έχει πλέον αποδειχθεί, έστω και έμμεσα, με βάση όσα συζητήθηκαν εδώ.]

[KARKAR]

Διάκεντρος.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 2751 φορές

Οι ίσες πράσινες γωνίες ( από τα εγγράψιμα ) , δίνουν απευθείας απάντηση για την ισότητα .

[Doloros]

Διάκεντρος.png Οι ίσες πράσινες γωνίες ( από τα εγγράψιμα ) , δίνουν απευθείας απάντηση για την ισότητα .

Μου άρεσε .Νομίζω δίνεται απάντηση και στο μονοσήμαντο της λύσης.

[gbaloglou]

Γρήγορη λύση με Αναλυτική:

Θέτουμε , , , , , οπότε ισχύουν οι ισότητες



που άμεσα δίνουν (λόγω ) και (λόγω ΚΑΙ ).

[Με λίγη περισσότερη δουλειά προκύπτει ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων, έστω , είναι το ορθόκεντρο του : η παρατήρηση αυτή οδηγεί πιθανότατα σε εναλλακτική γεωμετρική απόδειξη της αρχικής πρότασης.]

Τελικά σημαντικότερο είναι το αντίστροφο, ότι δηλαδή το (σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων της αρχικής υπόθεσης) είναι το ορθόκεντρο του . Δίνω τις σχετικές λεπτομέρειες (ώστε να ολοκληρωθεί, για τυπικούς λόγους, η αναλυτική μου προσέγγιση*):

Επειδή η διάκεντρος είναι παράλληλη προς την βάση , είναι άμεση η καθετότητα . Θέτουμε , οπότε, επειδή το είναι συμμετρικό του ως προς την (την διάκεντρο δηλαδή), ισχύει η και επομένως η . Λόγω τώρα των (αρχικό ζητούμενο) και , που έχουν ήδη αποδειχθεί παραπάνω, ισχύει η , οπότε η δίνει . Προκύπτει λοιπόν, από την , η . Υπολογίζονται τώρα εύκολα οι κλίσεις των και ως και , αντίστοιχα. Δεδομένου ότι οι κλίσεις των , είναι , , αντίστοιχα, ισχύουν οι καθετότητες και .

*έχει ήδη δημοσιευθεί παραπάνω συνθετική απόδειξη για το ορθόκεντρο από τον doloros (άμεσα σχετιζόμενη με την γεωμετρική κατασκευή της διακέντρου που μας έδωσε), και η όλη απόδειξη/πρόταση, είτε γεωμετρική είτε αλγεβρική, έχει προταθεί εδώ ως 75η απόδειξη σύγκλισης υψών: αναμένεται η ετυμηγορία του Νίκου Κυριαζή!

[gbaloglou]

*έχει ήδη δημοσιευθεί παραπάνω συνθετική απόδειξη για το ορθόκεντρο από τον doloros (άμεσα σχετιζόμενη με την γεωμετρική κατασκευή της διακέντρου που μας έδωσε), και η όλη απόδειξη/πρόταση, είτε γεωμετρική είτε αλγεβρική, έχει προταθεί εδώ ως 75η απόδειξη σύγκλισης υψών: αναμένεται η ετυμηγορία του Νίκου Κυριαζή!

Όπως μας ενημερώνει ο Νίκος Κυριαζής (εδώ), η πρόταση ότι οι περίκυκλοι των , είναι ίσοι, και ότι η διάκεντρος τους είναι παράλληλη και ίση προς την , είναι γνωστή ιδιότητα του ορθοκέντρου, περιεχόμενη για παράδειγμα στην "Μεθοδική Γεωμετρία" των Γ. & Π. Γεωργιακάκη (Θεώρημα 228 και Πόρισμα 300).

[Το αντίστροφο, που σύμφωνα με τα παραπάνω θα μπορούσε να αποτελεί την 75η απόδειξη σύγκλισης υψών, δεν αναφέρεται στην "Μεθοδική Γεωμετρία". Θα μπορούσε φυσικά να αναφέρεται κάπου αλλού, είναι πολύ πιθανό αυτό.]

[vittasko]

Κρατώντας μικρή μόνο επιφύλαξη, θεωρώ ότι με τα όσα έχουν προηγηθεί, μπορούμε να μιλάμε για μία άλλη απόδειξη του Θεωρήματος σύγκλισης των υψών τριγώνου, από αυτές που έχουν εμφανιστεί μέχρι τώρα στο και άλλες που υπάρχουν στην ( ελληνική τουλάχιστον ) βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου.

Ως μία προτεινόμενη απόδειξη, ας τα ξαναδούμε "επιλεκτικά":

Δοσμένου τριγώνου και τυχόντος σημείου επί της πλευράς του , κατασκευάζονται δύο κύκλοι με χορδές τις πλευρές του αντιστοίχως, έτσι ώστε το δεύτερο εκτός του κοινό σημείο τους , να ανήκει στην ευθεία ( 6η δημοσίευση πιο πάνω ).

Στην περίπτωση τώρα, όταν το σημείο ταυτίζεται με την προβολή του επί της , οπότε το ταυτίζεται με το ύψος του , η διάκεντρος των ίσων κύκλων είναι παράλληλη προς την ( προφανές ).

Στη ειδική αυτή περίπτωση, αποδεικνύεται πολύ εύκολα ( με παρόμοιο σκεπτικό όπως στην 9η δημοσίευση πιο πάνω ) ότι το σημείο ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου και εδώ η απόδειξη της σύγκλισης του υψών τριγώνου, ολοκληρώνεται.

Κώστας Βήττας.

[gbaloglou]

Καλημέρα Κώστα,

το βασικό είναι να κατασκευαστούν οι δύο ίσοι περίκυκλοι χωρίς χρήση του ορθόκεντρου, κάτι που έχεις κάνει στην δημοσίευση #6 παραπάνω, όπως άλλωστε και ο Διονύσης (δημοσίευση #2) και ο Νίκος (δημοσίευση #4), αλλά ακόμη και εγώ με χρήση Αναλυτικής (δημοσίευση #11). Από εκεί και πέρα μπορεί πράγματι να αποδειχθεί, με διάφορους τρόπους, ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων περίκυκλων είναι το ορθόκεντρο: αυτό το έχουμε επιτύχει και εσύ με εγγράψιμα και καθετότητες (δημοσίευση #13, στο πνεύμα της δημοσίευσης #9 του Θανάση), και ο Νίκος με κυνήγι γωνιών (δημοσίευση #7), και εγώ με χρήση Αναλυτικής (δημοσίευση #11). Χωρίς να παραγνωρίζω την αξία της γενίκευσης σου (με την να μην είναι κάθετη στην ), θα έλεγα ότι προκρίνω την απόδειξη του Νίκου ως οικονομικότερη των τριών. Το θέμα είναι: από την στιγμή που ήταν γνωστό στην βιβλιογραφία ότι το ορθόκεντρο δημιουργεί ίσους περίκυκλους, πόσο πιθανό είναι να μην είναι γνωστό και το αντίστροφο; Νομίζω ότι είναι ελάχιστα πιθανό, και ότι είναι σαφέστατα πιθανότερο να υπάρχει κάπου στην βιβλιογραφία είτε κάποια από τις τρεις αποδείξεις μας (δημοσιεύσεις #7, #11, #13) είτε κάποια άλλη (που να αποδεικνύει και αυτή ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων περίκυκλων είναι το ορθόκεντρο). [Αλλά, ΝΑΙ, όσο δεν βρίσκει κάποιος το εν λόγω αντίστροφο στην βιβλιογραφία ... δικαιούμαστε να πιστεύουμε, ή μάλλον να ελπίζουμε, ότι έχουμε ΜΙΑ νέα απόδειξη σύγκλισης υψών (ακολουθώντας είτε την #7 είτε την #13 είτε την #11)!]

[ΝΙΚΟΣ]

Διάκεντρος.pngΣτο επίπεδο του σκαληνού τριγώνου , εντοπίστε σημεία , ώστε ο κύκλος

κέντρου που περνά από τα , να είναι ίσος με τον κύκλο κέντρου που περνά

από τα και επιπλέον η διάκεντρος να είναι παράλληλη προς τη βάση .

Εξηγήστε γιατί σ' αυτή την περίπτωση είναι : .

Αγαπητοί φίλοι,
σε παραπάνω σχετικές προσκλήσεις, απάντηση έδωσα ΕΔΩ, όπου έχω δώσει και μια πολύ εύκολη λύση, στο πρόβλημα, που παραπάνω έχει προτείνει ο φίλος KARKAR και η οποία (λύση) έχει ως εξής:

«Ορίζουμε το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου και γράφουμε τους κύκλους ή , ή (L,r), ή , που είναι γνωστό ότι είναι ίσοι μεταξύ τους και ίσοι με τους κύκλους , . Ακόμη είναι γνωστό και ότι , και . (Μεθοδική Γεωμετρία των Εμ. και Πολ. Γεωργιακάκη, Θεώρημα και Πόρισμα ), αλλά και γιατί εύκολα αυτά αποδεικνύονται.
Συνεπώς οι ζητούμενοι δύο ίσοι κύκλοι και , είναι οι και , αντίστοιχα, οι οποίοι έχουν και ».

(Είναι φανερό ότι στη λύση αυτή, δεν μπορεί να στηριχθεί η απόδειξη του Θεωρήματος της σύγκλισης των υψών τριγώνου).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[gbaloglou]

Αγαπητέ Νίκο (και άλλοι φίλοι),

εγώ το βλέπω (και) λίγο διαφορετικά (σκεπτόμενος ΠΕΡΙΠΟΥ όπως ο άλλος Νίκος (doloros) στην παραπάνω δημοσίευση #7):

Σε τρίγωνο με θεωρούμε τις τομές , των κύκλων , με την . Αν είναι το δεύτερο σημείο τομής των περίκυκλων των ίσων τριγώνων , , τότε το ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του .

Λέω δηλαδή ότι οι παραπάνω ίσοι περίκυκλοι -- που ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ επίσης να έχουν διάκεντρο ισοπαράλληλο προς την (κάτι που ΔΕΝ μας ενδιαφέρει πλέον) -- υπάρχουν και ορίζονται, με απλό τρόπο, ανεξάρτητα του ορθόκεντρου του . Επιπλέον αποδεικνύεται εύκολα ότι το δεύτερο σημείο τομής τους είναι το ορθόκεντρο του . (Το μόνο που αλλάζω στην απόδειξη του doloros είναι η απόδειξη της καθετότητας : αυτή προκύπτει άμεσα είτε από το ισοσκελές είτε από το ισοσκελές , παρατηρώντας ότι το είναι η τομή των μεσοκαθέτων των δύο ίσων πλευρών.)

Αφού λοιπόν το ορθόκεντρο μπορεί πράγματι να προκύψει από τους δύο εύκολα κατασκευαζόμενους ίσους κύκλους, χωρίς φαύλο κύκλο, γιατί να μην αποτελούν τα παραπάνω απόδειξη σύγκλισης υψών (μη ισοπλεύρου τριγώνου);

[Για το αν πρόκειται για ΝΕΑ απόδειξη σύγκλισης έχω και εγώ εκφράσει μεγάλες επιφυλάξεις, βλέπε παραπάνω δημοσίευση #14.)

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 14-2-18 (8:15 πμ): αποκατέστησα την σημασία της ισότητας των δύο περίκυκλων (προφανούς από την απόδειξη του doloros)

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ Νίκο (και άλλοι φίλοι),

εγώ το βλέπω (και) λίγο διαφορετικά (σκεπτόμενος ΠΕΡΙΠΟΥ όπως ο άλλος Νίκος (doloros) στην παραπάνω δημοσίευση #7):

Σε τρίγωνο με θεωρούμε τις τομές , των κύκλων , με την . Αν είναι το δεύτερο σημείο τομής των περίκυκλων των ίσων τριγώνων , , τότε το ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του .

Λέω δηλαδή ότι οι παραπάνω ίσοι περίκυκλοι -- που ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ επίσης να έχουν διάκεντρο ισοπαράλληλο προς την (κάτι που ΔΕΝ μας ενδιαφέρει πλέον) -- υπάρχουν και ορίζονται, με απλό τρόπο, ανεξάρτητα του ορθόκεντρου του . Επιπλέον αποδεικνύεται εύκολα ότι το δεύτερο σημείο τομής τους είναι το ορθόκεντρο του . (Το μόνο που αλλάζω στην απόδειξη του doloros είναι η απόδειξη της καθετότητας : αυτή προκύπτει άμεσα είτε από το ισοσκελές είτε από το ισοσκελές , παρατηρώντας ότι το είναι η τομή των μεσοκαθέτων των δύο ίσων πλευρών.)

Αφού λοιπόν το ορθόκεντρο μπορεί πράγματι να προκύψει από τους δύο εύκολα κατασκευαζόμενους ίσους κύκλους, χωρίς φαύλο κύκλο, γιατί να μην αποτελούν τα παραπάνω απόδειξη σύγκλισης υψών (μη ισοπλεύρου τριγώνου);

[Για το αν πρόκειται για ΝΕΑ απόδειξη σύγκλισης έχω και εγώ εκφράσει μεγάλες επιφυλάξεις, βλέπε παραπάνω δημοσίευση #14.)

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 14-2-18 (8:15 πμ): αποκατέστησα την σημασία της ισότητας των δύο περίκυκλων (προφανούς από την απόδειξη του doloros)

Γιώργο συμφωνούμε απόλυτα. Και εγώ το ίδιο γράφω και ΕΔΩ, εκτός και δεν έγιναν κατανοητά.

Λέω λοιπόν, τώρα που είδα και τις παραπάνω λύσεις και των άλλων φίλων,του Προβλήματος που προτείνει ο φίλος KARKAR , ότι:

Η απόδειξη που προτείνεις εσύ, για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου, είναι πολύ σωστή,, γατί μπορεί να βασισθεί στις παραπάνω λύσεις του Προβλήματος KARKAR, οι οποίες έχουν δοθεί παραπάνω και που δεν χρησιμοποιούν το ορθόκεντρο του τριγώνου, εκτός από τη δική μου απόδειξη που στηρίζεται στην ύπαρξη ορθόκεντρου και την οποία ανάρτησα παραπάνω σαν μια άλλη απλή λύση του Προβλήματος KARKAR και δεν βλέπω το λόγο που μας δημιουργεί πρόβλημα.

Όμως για να πάρω τελικά θέση, στο αν η προτεινόμενη δική σου απόδειξη, στο Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου είναι πρώτο-εμφανιζόμενη εδώ, είναι επιβεβλημένο να τη συγκρίνω με τις άλλες αποδείξεις οι οποίες έχουν δοθεί μέχρι τώρα, που βρίσκονται ΕΔΩ, ή σε διάφορα βιβλία και περιοδικά, που απαιτείται πολύς χρόνος και που τώρα δεν τον έχω. Επομένως θέλει λίγη υπομονή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[gbaloglou]

Αγαπητέ Νίκο (και άλλοι φίλοι),

εγώ το βλέπω (και) λίγο διαφορετικά (σκεπτόμενος ΠΕΡΙΠΟΥ όπως ο άλλος Νίκος (doloros) στην παραπάνω δημοσίευση #7):

Σε τρίγωνο με θεωρούμε τις τομές , των κύκλων , με την . Αν είναι το δεύτερο σημείο τομής των περίκυκλων των ίσων τριγώνων , , τότε το ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του .

Λέω δηλαδή ότι οι παραπάνω ίσοι περίκυκλοι -- που ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ επίσης να έχουν διάκεντρο ισοπαράλληλο προς την (κάτι που ΔΕΝ μας ενδιαφέρει πλέον) -- υπάρχουν και ορίζονται, με απλό τρόπο, ανεξάρτητα του ορθόκεντρου του . Επιπλέον αποδεικνύεται εύκολα ότι το δεύτερο σημείο τομής τους είναι το ορθόκεντρο του . (Το μόνο που αλλάζω στην απόδειξη του doloros είναι η απόδειξη της καθετότητας : αυτή προκύπτει άμεσα είτε από το ισοσκελές είτε από το ισοσκελές , παρατηρώντας ότι το είναι η τομή των μεσοκαθέτων των δύο ίσων πλευρών.)

Αφού λοιπόν το ορθόκεντρο μπορεί πράγματι να προκύψει από τους δύο εύκολα κατασκευαζόμενους ίσους κύκλους, χωρίς φαύλο κύκλο, γιατί να μην αποτελούν τα παραπάνω απόδειξη σύγκλισης υψών (μη ισοπλεύρου τριγώνου);

[Για το αν πρόκειται για ΝΕΑ απόδειξη σύγκλισης έχω και εγώ εκφράσει μεγάλες επιφυλάξεις, βλέπε παραπάνω δημοσίευση #14.)

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 14-2-18 (8:15 πμ): αποκατέστησα την σημασία της ισότητας των δύο περίκυκλων (προφανούς από την απόδειξη του doloros)

Γιώργο συμφωνούμε απόλυτα. Και εγώ το ίδιο γράφω και ΕΔΩ, εκτός και δεν έγιναν κατανοητά.

Λέω λοιπόν, τώρα που είδα και τις παραπάνω λύσεις και των άλλων φίλων,του Προβλήματος που προτείνει ο φίλος KARKAR , ότι:

Η απόδειξη που προτείνεις εσύ, για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου, είναι πολύ σωστή,, γατί μπορεί να βασισθεί στις παραπάνω λύσεις του Προβλήματος KARKAR, οι οποίες έχουν δοθεί παραπάνω και που δεν χρησιμοποιούν το ορθόκεντρο του τριγώνου, εκτός από τη δική μου απόδειξη που στηρίζεται στην ύπαρξη ορθόκεντρου και την οποία ανάρτησα παραπάνω σαν μια άλλη απλή λύση του Προβλήματος KARKAR και δεν βλέπω το λόγο που μας δημιουργεί πρόβλημα.

Όμως για να πάρω τελικά θέση, στο αν η προτεινόμενη δική σου απόδειξη, στο Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου είναι πρώτο-εμφανιζόμενη εδώ, είναι επιβεβλημένο να τη συγκρίνω με τις άλλες αποδείξεις οι οποίες έχουν δοθεί μέχρι τώρα, που βρίσκονται ΕΔΩ, ή σε διάφορα βιβλία και περιοδικά, που απαιτείται πολύς χρόνος και που τώρα δεν τον έχω. Επομένως θέλει λίγη υπομονή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Νίκο πολύ ωραία, θεωρώ όμως ότι, έτσι όπως εξελίχθηκαν τα πράγματα, η 79η απόδειξη -- αν τελικά θεωρηθεί πρωτότυπη και εγκριθεί ως τέτοια -- θα πρέπει να αποδοθεί όχι σε εμένα αλλά στον Νίκο Φραγκάκη (doloros).

[ΝΙΚΟΣ]

Γιώργο συμφωνούμε απόλυτα. Και εγώ το ίδιο γράφω και ΕΔΩ, εκτός και δεν έγιναν κατανοητά.

Λέω λοιπόν, τώρα που είδα και τις παραπάνω λύσεις και των άλλων φίλων,του Προβλήματος που προτείνει ο φίλος KARKAR , ότι:

Η απόδειξη που προτείνεις εσύ, για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου, είναι πολύ σωστή,, γατί μπορεί να βασισθεί στις παραπάνω λύσεις του Προβλήματος KARKAR, οι οποίες έχουν δοθεί παραπάνω και που δεν χρησιμοποιούν το ορθόκεντρο του τριγώνου, εκτός από τη δική μου απόδειξη που στηρίζεται στην ύπαρξη ορθόκεντρου και την οποία ανάρτησα παραπάνω σαν μια άλλη απλή λύση του Προβλήματος KARKAR και δεν βλέπω το λόγο που μας δημιουργεί πρόβλημα.

Όμως για να πάρω τελικά θέση, στο αν η προτεινόμενη δική σου απόδειξη, στο Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου είναι πρώτο-εμφανιζόμενη εδώ, είναι επιβεβλημένο να τη συγκρίνω με τις άλλες αποδείξεις οι οποίες έχουν δοθεί μέχρι τώρα, που βρίσκονται ΕΔΩ, ή σε διάφορα βιβλία και περιοδικά, που απαιτείται πολύς χρόνος και που τώρα δεν τον έχω. Επομένως θέλει λίγη υπομονή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Νίκο πολύ ωραία, θεωρώ όμως ότι, έτσι όπως εξελίχθηκαν τα πράγματα, η 79η απόδειξη -- αν τελικά θεωρηθεί πρωτότυπη και εγκριθεί ως τέτοια -- θα πρέπει να αποδοθεί όχι σε εμένα αλλά στον Νίκο Φραγκάκη (doloros).

Γιώργος Μπαλόγλου

Γιώργο, αν ζητάς την δική μου σχετική γνώμη, θα την διατυπώσω παρακάτω ευθαρσώς.

Λοιπόν:
Η ιδέα και ο πρώτος τρόπος κατασκευής των δύο ίσων κύκλων, με τις ιδιότητές τους, θεωρώ ότι ανήκουν στον KARKAR (Γιατί πιστεύω ότι όταν την πρότεινε είχε τον τρόπο κατασκευής και απόδειξής τους, καθώς είναι κατηγορηματικός, την έχει διατυπώσει ως Γεωμετρική Πρόταση και όχι σαν εικασία. Εκτός και αυτά τα είχε αντλήσει από κάποια άλλη πηγή. Αυτό θα μας το πει ίδιος).

Η ιδέα, ότι το δεύτερο σημείο τομής, των δύο ίσων κύκλων, είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, ανήκουν σε σένα, ενώ η πρώτη απόδειξη τούτου, ανήκει στον Doloros.

Η ιδέα-εικασία , ότι μπορεί να προκύψει μία νέα απόδειξη, του Θεωρήματος σύγκλισης των υψών τριγώνου, αλλά και η υπόδειξη ότι αυτή μπορεί να αποδειχθεί με βάση με τις δύο πρώτες παραπάνω Ιδέες-Προτάσεις, που έχουν και αποδειχθεί ότι ισχύουν, θεωρώ ότι είναι αποκλειστικά δικές σου.

Αν υπάρχουν αντιρρήσεις, παρακαλώ διατυπώστε τις εδώ. Αλλιώς, θα εκλαμβάνω ότι ισχύουν τα παραπάνω αναφερόμενα στις παραπέρα ενέργειές μου ΕΔΩ,.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[gbaloglou]

Γιώργο συμφωνούμε απόλυτα. Και εγώ το ίδιο γράφω και ΕΔΩ, εκτός και δεν έγιναν κατανοητά.

Λέω λοιπόν, τώρα που είδα και τις παραπάνω λύσεις και των άλλων φίλων,του Προβλήματος που προτείνει ο φίλος KARKAR , ότι:

Η απόδειξη που προτείνεις εσύ, για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου, είναι πολύ σωστή,, γατί μπορεί να βασισθεί στις παραπάνω λύσεις του Προβλήματος KARKAR, οι οποίες έχουν δοθεί παραπάνω και που δεν χρησιμοποιούν το ορθόκεντρο του τριγώνου, εκτός από τη δική μου απόδειξη που στηρίζεται στην ύπαρξη ορθόκεντρου και την οποία ανάρτησα παραπάνω σαν μια άλλη απλή λύση του Προβλήματος KARKAR και δεν βλέπω το λόγο που μας δημιουργεί πρόβλημα.

Όμως για να πάρω τελικά θέση, στο αν η προτεινόμενη δική σου απόδειξη, στο Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου είναι πρώτο-εμφανιζόμενη εδώ, είναι επιβεβλημένο να τη συγκρίνω με τις άλλες αποδείξεις οι οποίες έχουν δοθεί μέχρι τώρα, που βρίσκονται ΕΔΩ, ή σε διάφορα βιβλία και περιοδικά, που απαιτείται πολύς χρόνος και που τώρα δεν τον έχω. Επομένως θέλει λίγη υπομονή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Νίκο πολύ ωραία, θεωρώ όμως ότι, έτσι όπως εξελίχθηκαν τα πράγματα, η 79η απόδειξη -- αν τελικά θεωρηθεί πρωτότυπη και εγκριθεί ως τέτοια -- θα πρέπει να αποδοθεί όχι σε εμένα αλλά στον Νίκο Φραγκάκη (doloros).

Γιώργος Μπαλόγλου

Γιώργο, αν ζητάς την δική μου σχετική γνώμη, θα την διατυπώσω παρακάτω ευθαρσώς.

Λοιπόν:
Η ιδέα και ο πρώτος τρόπος κατασκευής των δύο ίσων κύκλων, με τις ιδιότητές τους, θεωρώ ότι ανήκουν στον KARKAR (Γιατί πιστεύω ότι όταν την πρότεινε είχε τον τρόπο κατασκευής και απόδειξής τους, καθώς είναι κατηγορηματικός, την έχει διατυπώσει ως Γεωμετρική Πρόταση και όχι σαν εικασία. Εκτός και αυτά τα είχε αντλήσει από κάποια άλλη πηγή. Αυτό θα μας το πει ίδιος).

Η ιδέα, ότι το δεύτερο σημείο τομής, των δύο ίσων κύκλων, είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, ανήκουν σε σένα, ενώ η πρώτη απόδειξη τούτου, ανήκει στον Doloros.

Η ιδέα-εικασία , ότι μπορεί να προκύψει μία νέα απόδειξη, του Θεωρήματος σύγκλισης των υψών τριγώνου, αλλά και η υπόδειξη ότι αυτή μπορεί να αποδειχθεί με βάση με τις δύο πρώτες παραπάνω Ιδέες-Προτάσεις, που έχουν και αποδειχθεί ότι ισχύουν, θεωρώ ότι είναι αποκλειστικά δικές σου.

Αν υπάρχουν αντιρρήσεις, παρακαλώ διατυπώστε τις εδώ. Αλλιώς, θα εκλαμβάνω ότι ισχύουν τα παραπάνω αναφερόμενα στις παραπέρα ενέργειές μου ΕΔΩ,.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Νίκο χειρίσου το όπως εσύ κρίνεις, αναφέροντας και περισσότερα από ένα ονόματα αν χρειαστεί. Πιστεύω και εγώ ότι ο KARKAR ανακάλυψε μόνος του τους δύο ίσους κύκλους, ενώ η κατασκευή τους -- και αργότερα η απόδειξη ότι το δεύτερο σημείο τομής τους είναι όντως το ορθόκεντρο -- μέσω 'ισοσκελοποίησης' του τριγώνου από τον doloros είναι συγκλονιστικά απλή και όμορφη.