Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

#1

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους.

#2

Λύση χωρίς λόγια:

#3

Πολύ ωραία Γιώργο! Δεν έχω κάτι άλλο, ας πούμε αριθμοθεωρητικό, κατά νου, μοιάζει ότι πρέπει να δοκιμάσουμε 90 περιπτώσεις, όμως ο πίνακας κάνει εύκολες τις δοκιμές και με λίγη προσοχή δεν χάνουμε κάποια λύση. Άλλωστε οι πιο πολλές από τις περιπτώσεις είναι φανερό πως δεν δίνουν λύση. Ας προσθέσω δύο ακόμα ερωτήματα αφιερωμένα στο Γιώργο και τη Θεσσαλονίκη:

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 100x +10y +z=x^3+y^3+z^3

έχει
α) άπειρες λύσεις στους ακεραίους
β) πεπερασμένο πλήθος λύσεων στους θετικούς ακεραίους

#4

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 19, 2018 9:41 pm
Πολύ ωραία Γιώργο! Δεν έχω κάτι άλλο, ας πούμε αριθμοθεωρητικό, κατά νου, μοιάζει ότι πρέπει να δοκιμάσουμε 90 περιπτώσεις, όμως ο πίνακας κάνει εύκολες τις δοκιμές και με λίγη προσοχή δεν χάνουμε κάποια λύση. Άλλωστε οι πιο πολλές από τις περιπτώσεις είναι φανερό πως δεν δίνουν λύση. Ας προσθέσω δύο ακόμα ερωτήματα αφιερωμένα στο Γιώργο και τη Θεσσαλονίκη:

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει
α) άπειρες λύσεις στους ακεραίους
β) πεπερασμένο πλήθος λύσεων στους θετικούς ακεραίους

Παύλο ο πίνακας μου έδωσε μία ωραία (;) ιδέα: τον δίνουμε στους μαθητές -- είτε όπως είναι, είτε χωρίς την επάνω γραμμή είτε αφαιρώντας και την επάνω γραμμή και την αριστερή στήλη (αυξάνοντας τον βαθμό δυσκολίας) -- και τους ρωτάμε τι παριστάνει, ακριβέστερα "αυτή είναι η λύση, βρείτε ποιο ήταν το πρόβλημα"! (Πάντως στο ΦΒ -- όπου επέλεξα τον μεσαίο βαθμό δυσκολίας -- δεν ενθουσίασε το κοινό...)

Όσον αφορά τα ωραία ερωτήματα που έθεσες παραπάνω:

α) Θέτοντας z=-y

η εξίσωση γίνεται 100x+9y=x^3

, άρα έχουμε απειρία λύσεων της μορφής ( 9m+1

,

).

β) Από τις $x^3-100x=(10y-y^3)+(z-z^3)\leq12+0=12$ , $y^3-10y=(100x-x^3)+(z-z^3)\leq384+0=384$ , $z^3-z=(100x-x^3)+(10y-y^3)\leq384+12=396$ λαμβάνουμε $x\leq10$ , $y\leq7$ , $z\leq7$ . [Ύστερα από σύντομη διερεύνηση της περίπτωσης x=10

διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους από αυτές του πίνακα ... πλην των (10,0,1)

&

και, βεβαίως, (0,0,1)

&

.]

Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Μέλη σε σύνδεση