ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #61 από Stavroulitsa » Σάβ Ιαν 30, 2010 5:50 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 12
Δίνεται η εξίσωση x^2 - |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ∈R-{4}.

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή μ∈R-{4}.
Β. Αν p_1, p_2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι:
p_1^3 + p_2^3 + p_1^3p_2^3 > 0


Θα προσπαθήσω να τη λύσω και αυτή αλλά ελπίζω να μην κάνω πάλι λάθη...
A. Παίρνουμε 2 περιπτώσεις
1. μ>4 και η εξίσωση γίνεται x^2-\left|\mu -4 \right|x-\left|4-\mu  \right|=0\Leftrightarrow x^2-\left(\mu -4 \right)x-\left(\mu -4 \right)=0 και \Delta =\left(\mu -4 \right)^2+4\left(\mu -4 \right)=\mu \left(\mu -4 \right)> 0
2. μ<4 και η εξίσωση γίνεται x^2-\left|\mu -4 \right|x-\left|4-\mu  \right|=0\Leftrightarrow x^2-\left(4-\mu  \right)x-\left(4-\mu  \right) και \Delta =\left(4-\mu  \right)^2+4\left(4-\mu  \right)=\left(4-\mu  \right)\left(8-\mu  \right)
άρα και στις 2 περιπτώσεις έχουμε Δ>0 άρα και άνισες, πραγματικές ρίζες


"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #62 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Ιαν 30, 2010 8:28 pm

ΑΣΚΗΣΗ 26

Nα λυθεί η εξίσωση

\displaystyle{
x^2  - \Delta  \cdot x + 2\Delta  = 0
}

όπου Δ η διακρίνουσά της.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #63 από mathxl » Σάβ Ιαν 30, 2010 8:34 pm

spyrosk έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26

Nα λυθεί η εξίσωση

\displaystyle{
x^2  - \Delta  \cdot x + 2\Delta  = 0
}

όπου Δ η διακρίνουσά της.

Eίναι
\Delta  = {\Delta ^2} - 8\Delta  \Leftrightarrow {\Delta ^2} - 9\Delta  = 0 \Leftrightarrow \Delta  = 0 \vee \Delta  = 9
- Αν Δ = 0 τότε με αντικατάσταση στην εξίσωση {x^2} - 0x + 2 \cdot 0 = 0 \Leftrightarrow x = 0
διπλή λύση
- Αν Δ = 9 τότε με αντικατάσταση στην εξίσωση {x^2} - 9x + 18 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{9 \pm \sqrt 9 }}{2} \Leftrightarrow x = 6 \vee x = 3
δύο πραγματικές και άνισες λύσεις


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #64 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Ιαν 30, 2010 9:48 pm

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{
{\rm  x}^{\rm 2}  - 6\lambda x + 9\lambda ^2  - 1 = 0
}
i) Να λυθεί η εξίσωση
ii) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα [0, 3)


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #65 από mathxl » Σάβ Ιαν 30, 2010 9:55 pm

1) Είναι \displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 6\lambda x + 9{\lambda ^2} - 1 = 0,\Delta  = 36{\lambda ^2} - 4\left( {9{\lambda ^2} - 1} \right) = 4 > 0}
άρα η εξίσωση μας, έχει δύο λύσεις, πραγματικές και άνισες, οι οποίες είναι
\displaystyle{x = \frac{{6\lambda  \pm \sqrt 4 }}{2} = 3\lambda  \pm 1}
2)
Πρέπει
\displaystyle{\begin{array}{l}
 0 \le x < 3 \Leftrightarrow  \\ 
 0 \le 3\lambda  + 1 < 3 \wedge 0 \le 3\lambda  - 1 < 3 \Leftrightarrow  \\ 
  - 1 \le 3\lambda  < 2 \wedge 1 \le 3\lambda  < 4 \Leftrightarrow  \\ 
  - \frac{1}{3} \le \lambda  < \frac{2}{3} \wedge \frac{1}{3} \le \lambda  < \frac{4}{3} \Leftrightarrow  \\ 
 \lambda  \in \left[ {\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right) \\ 
 \end{array}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #66 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Ιαν 30, 2010 10:09 pm

Βασίλη έκανες ρεκόρ 7 λεπτά μετά την δημοσίευση μηνύματος παρουσίασες λύση!!! :clap:


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #67 από A.Spyridakis » Σάβ Ιαν 30, 2010 11:38 pm

ΑΣΚΗΣΗ 28

Ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα αντίστροφα του αθροίσματος S και του γινομένου P των ριζών της. Να αποδ. ότι (Ρ-1)(Ρ-2)...(Ρ-2010)> (Ρ-2011)(Ρ-2013)(Ρ-2014)...(Ρ-4020). [το 2012 εξαιρείται για να γλιτώσουμε τη συντέλεια :lol: ]


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #68 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Ιαν 31, 2010 12:03 am

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16
Δίνεται η εξίσωση x^2-2x+\lambda -1 = 0 με λ\neq 0.
i) Αν ισχύει ότι x_{1}^2\cdot x_{2}+ x_{1}\cdot x_{2}^2 = 4 όπου x_{1}, x_{2} ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί το λ.
ii) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο (i) ερώτημα να λυθεί η : \left|\left|x-\lambda \right|+2(x_{1}+x_{2}) \right| > x_{1}\cdot x_{2} + 8.


Χρήστος Τσιφάκης



H άσκηση 16 που ξεχάστηκε

Αφού είναι x1, x2 οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ισχύει:
\displaystyle{
x_1  + x_2  = 2
}
\displaystyle{
x_1  \cdot x_2  = \lambda  - 1
}

Έχουμε ισοδύναμα
\displaystyle{x_1^2 x_2  + x_1 x_2^2  = 4 \Leftrightarrow x_1 x_2 (x_1  + x_2 ) = 4 \Leftrightarrow 2(\lambda  - 1) = 4 \Leftrightarrow \lambda  = 3}

Για λ = 3 η ανίσωση γράφεται:

\displaystyle{
\left| {\left| {x - 3} \right| + 2 \cdot 2} \right| > 2 \cdot 8
}

\displaystyle{\left| {x - 3} \right| > 12 } επομένως (x > 15 ή x < - 9)


Καρδαμίτσης Σπύρος
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1040
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #69 από p_gianno » Κυρ Ιαν 31, 2010 10:28 pm

A.Spyridakis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28

Ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα αντίστροφα του αθροίσματος S και του γινομένου P των ριζών της. Να αποδ. ότι (Ρ-1)(Ρ-2)...(Ρ-2010)> (Ρ-2011)(Ρ-2013)(Ρ-2014)...(Ρ-4020). [το 2012 εξαιρείται για να γλιτώσουμε τη συντέλεια :lol: ]


Μία προσέγγιση στο συνημμένο
εξισώσεις 28.doc
(59.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 91 φορές

Π.Γ


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #70 από A.Spyridakis » Δευ Φεβ 01, 2010 12:12 am

math_finder έγραψε:
A.Spyridakis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28

Ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα αντίστροφα του αθροίσματος S και του γινομένου P των ριζών της. Να αποδ. ότι (Ρ-1)(Ρ-2)...(Ρ-2010)> (Ρ-2011)(Ρ-2013)(Ρ-2014)...(Ρ-4020). [το 2012 εξαιρείται για να γλιτώσουμε τη συντέλεια :lol: ]


Μία προσέγγιση στο συνημμένο
εξισώσεις 28.doc

Π.Γ

Σωστός Παναγιώτη! :clap2: :10sta10: :winner_first_h4h:


papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #71 από papel » Δευ Φεβ 01, 2010 12:26 am

Ασκηση 29)

Εαν \displaystyle{{x_1},{x_2}} οι λυσεις της εξισωσης :

\displaystyle{{x^2} - (\alpha  + \delta )x + \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } \right) = 0}

Να δειξετε οτι οι \displaystyle{x_1^3,x_2^3} ειναι ριζες της εξισωσης :

\displaystyle{{x^2} - \left( {{a^3} + {\beta ^3} + 3\alpha \beta \gamma  + 3\beta \gamma \delta } \right)x + {\left( {a\delta  - \beta \gamma } \right)^3} = 0}


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #72 από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Φεβ 01, 2010 8:15 am

papel έγραψε:Ασκηση 29)

Εαν \displaystyle{{x_1},{x_2}} οι λυσεις της εξισωσης :

\displaystyle{{x^2} - (\alpha  + \delta ) x + \left( {\alpha  \delta  - \beta  \gamma } \right) = 0}

Να δειξετε οτι οι \displaystyle{x_1^3,x_2^3} ειναι ριζες της εξισωσης :

\displaystyle{{x^2} - \left( {{a^3} + {\beta ^3} + 3\alpha \beta \gamma  + 3\beta \gamma \delta } \right)x + {\left( {a\delta  - \beta \gamma } \right)^3} = 0}


Το άθροισμα της ζητούμενης εξίσωσης είναι:
x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=(\alpha +\delta )^3-3(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha +\delta )=\alpha ^3+\delta ^3+3\alpha \beta \gamma +3\beta \gamma \delta

Ενώ το γινόμενο της ζητούμενης σχέσης είναι:
x_1^3x_2^3=(x_1x_2)^3=(\alpha \delta -\beta \gamma )^3

Σημείωση: Υπάρχει λάθος στα δεδομένα μέσα στην παρένθεση της δεύτερης εξίσωσης αντί για \beta ^3 πρέπει να βάλουμε \delta ^3


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9341
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #73 από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 01, 2010 10:33 am

papel έγραψε:Ασκηση 29)

Εαν \displaystyle{{x_1},{x_2}} οι λυσεις της εξισωσης :

\displaystyle{{x^2} - (\alpha  + \delta )x + \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } \right) = 0}

Να δειξετε οτι οι \displaystyle{x_1^3,x_2^3} ειναι ριζες της εξισωσης :

\displaystyle{{x^2} - \left( {{a^3} + {\beta ^3} + 3\alpha \beta \gamma  + 3\beta \gamma \delta } \right)x + {\left( {a\delta  - \beta \gamma } \right)^3} = 0}


O στάνταρ και δόκιμος τρόπος λύσης είναι βέβαια αυτός που γράφει ο Μάκης.

Αν θέλουμε να δειδάξουμε και άλλον ένα στους μαθητές μας, τότε μπορούμε να πούμε

Προφανώς τα \displaystyle{x_1^3,x_2^3} είναι ρίζες της

\displaystyle{{x^{2/3}} - (\alpha  + \delta )x^{1/3} + \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } \right) = 0} \,\,(*) ή

\displaystyle{{x^{2/3}} = (\alpha  + \delta )x^{1/3} - \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } \right) }

Ύψωση στον κύβο, με χρήση της (*) δίνει

\displaystyle{{x^2} = (\alpha  + \delta )^3x - \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } \right)^3 -3(\alpha  + \delta )x^{1/3} \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } \right)((\alpha  + \delta )x^{1/3} - \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } )\right)   = (\alpha  + \delta )^3x - \left( {\alpha \delta  - \beta  \gamma } \right)^3 -3(\alpha  + \delta )x^{1/3} (\alpha \delta  - \beta  \gamma )x^{2/3}}

και λοιπά (είναι δευτεροβάθμια πολυωνυμική).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1040
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #74 από p_gianno » Δευ Φεβ 01, 2010 8:30 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 12
Δίνεται η εξίσωση x^2 - |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ∈R-{4}.

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή μ∈R-{4}.
Β. Αν p_1, p_2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι:
p_1^3 + p_2^3 + p_1^3p_2^3 > 0

Άσκηση 14
Έστω η εξίσωση αx^2+βx+γ=0, α≠0.
Α. Να δείξετε ότι: |α| + |γ| ≥ 2 \sqrt{\alpha \gamma }
Β. Αν ισχύει ότι: |β|> |α| + |γ| τότε να δείξετε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.


Οι ασκήσεις 12 και 14
Συνημμένα
Άσκηση 12 - 14.doc
(58.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 77 φορές


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #75 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τρί Φεβ 02, 2010 8:16 pm

Χάρη σε σας, τα μέλη του mathematica συγκεντρώθηκαν 40 ωραιότατες και πρωτότυπες ασκήσεις μαζί με τις λύσεις τους για τα αρχεία της λέσχης.
Οι ασκήσεις συγκεντρώθηκαν σε αρχείο doc ώστε να μπορούν με ευκολία να επεξεργαστούν.

Το αρχείο που περιέχει τις ασκήσεις είναι το
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=248

Το αρχείο είναι χωρισμένο σε δύο μέρη το πρώτο μέρος περιέχει μόνο τις εκφωνήσεις και το δεύτερο εκφωνήσεις και λύσεις μαζί.

Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εσάς που συμμετείχατε στην συγκέντρωση και λύση των ασκήσεων, αλλά οι μεγαλύτερες ευχαριστίες μου είναι για το αξιόμαχο πλέον μέλος της λέσχης μας και μαθήτρια stavroulitsa που την ευχαριστώ προσωπικά για την συμμετοχή της στην κατασκευή του αρχείου.


Καρδαμίτσης Σπύρος
sorfan
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 8:47 pm

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #76 από sorfan » Τρί Φεβ 02, 2010 11:42 pm

Για κάποιο λόγο το αρχείο δεν ανοίγει με word η pdf, χρειάζεται κάτι άλλο;

Σπύρος


Σπύρος
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1040
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #77 από p_gianno » Τρί Φεβ 02, 2010 11:54 pm

sorfan έγραψε:Για κάποιο λόγο το αρχείο δεν ανοίγει με word η pdf, χρειάζεται κάτι άλλο;

Σπύρος


Σπύρο
Κύττα την κατάληξη του αρχείου που κατέBασες. Αν δεν είναι κατι.doc τότε μετονόμασέ το σε πχ εξισώσεις.doc
Αν παρα ταύτα δεν ανοίγει ξανακατέβασε το και εν ανάγκη μετονομασέ το , ακόμα και αν φαίνεται σωστή η ονομασία του. (πάντα με κατάληξη-επέκταση .doc)
Π.Γ


papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #78 από papel » Τρί Φεβ 02, 2010 11:59 pm

Πωπωπω καλιτεχνικη δουλεια απο τον κ.Καρδαμιτση. :first: Οπως παντα.Merci beacoup spiros.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #79 από Φωτεινή » Τετ Φεβ 03, 2010 12:07 am

Σπύρο ...πολύ καλό... :clap2: :clap2:


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #80 από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Φεβ 03, 2010 12:37 am

:clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: Μπράβο μας :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2:


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες