ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 77η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
Για την παρακάτω κλασική Πρόταση, της σύγκλισης των υψών τριγώνου, στη βιβλιογραφία εντοπίσαμε 8 τρόπους απόδειξης και έχουμε επινοήσει άλλους 38 τρόπους. Συνολικά, μας είναι γνωστοί 46 τρόποι απόδειξης. Ζητάμε τον 47 τρόπο απόδειξης, με προοπτική να φθάσουμε, σαν πρώτο βήμα, τους 50 τρόπους.
Καλή επιτυχία.
(Για τον σαφέστατο τρόπο απόδειξης της Πρότασης αυτής και γενικά των αποδείξεων στη Γεωμετρία, έχει εκφράσει τον θαυμασμό του και ο Al. Eintstin).

[u][b]1β(4). «Τα ύψη κάθε τριγώνου συντρέχουν», ή για την ακρίβεια: « Οι φορείς των υψών κάθε τριγώνου, περνούν από το ίδιο σημείο».
[/b]
[/u]
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[Φωτεινή]

καλημέρα στην παρέα...
Νίκο γράφω αυτά που σκέφτηκα...(δεν νομίζω.. .. να είναι ο 47ος τρόπος απόδειξης ... )

[Κώστας Παππέλης]

Στο σχήμα της κυρίας Φωτεινής, αν η τέμνει την στο , τα ύψη από τα και τέμνονται στο και αν είναι το μέσο της , τότε στο πλήρες τετράπλευρο το είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του οπότε είναι το ορθόκεντρο του με αποτέλεσμα κάθετη στην που ολοκληρώνει την απόδειξη.

[ΝΙΚΟΣ]

καλημέρα στην παρέα...
Νίκο γράφω αυτά που σκέφτηκα...(δεν νομίζω.. .. να είναι ο 47ος τρόπος απόδειξης ... )

Αγαπητή Φωτεινή,
σε ευχαριστώ πολύ για την άμεση ανταπόκριση σου στο κάλεσμά μου. Η απόδειξή σου είναι μια από τις κομψότερες που αναφέρονται στη βιβλιογραφία. Προϋποθέτει βέβαια την απόδειξη της Πρότασης που αναφέρεται στη σύγκλιση των μεσοκάθετων των πλευρών τριγώνου.
Πολύ θα ήθελα να είχε επιτευχθεί ο πρώτος στόχος που έχω βάλει. Προσπάθησε και πάλι.
Ας σημειωθεί ότι με τη χρησιμοποίηση του αντισυμπληρωματικού τριγώνου ΚΛΜ του τριγώνου αναφοράς ΑΒΓ, έχω επιτύχει και εγώ μια κομψή απόδειξη του Προβλήματος 7ι(187) (Πρόταση 1, συνημμένο 10), που αναφέρεται στο mathematica στη διεύθυνση viewtopic.php?f=50&t=4477. Οι δύο παραπάνω αποδείξεις φανερώνουν ότι με τη χρήση του αντισυμπληρωματικού τριγώνου, είναι δυνατό να επιτύχουμε πολύ ωραίες λύσεις.
Ευχές…

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Αγαπητέ Νίκο,

όταν συναντηθήκαμε προ διμήνου περίπου σου είχα αναφέρει την απόδειξη που είχα παρουσιάσει στους φοιτητές μου το 2003, ήδη γνωστή φυσικά σε σένα*: αν ΑΔ, ΒΕ είναι ύψη τεμνόμενα στο Ζ και η ΓΖ τέμνει την ΑΒ στο Η, τότε αρκεί να δείξουμε την ισότητα των γωνιών ΒΑΔ και ΒΓΗ, κάτι που προκύπτει άμεσα από τις ισότητες ΒΑΔ = ΒΕΔ (εγγράψιμο τετράπλευρο ΒΑΕΔ) και ΒΓΗ = ΒΕΔ (εγγράψιμο τετράπλευρο ΓΔΖΕ).

*την είχα εφεύρει επειδή είχα ξεχάσει την κλασσική απόδειξη (που έστειλε η Φωτεινή) και την καταθέτω εδώ για όσους δεν την γνωρίζουν

Γιώργος Μπαλόγλου

[Μπάμπης Στεργίου]

Αγαπητοί φίλοι,
Για την παρακάτω κλασική Πρόταση, της σύγκλισης των υψών τριγώνου, στη βιβλιογραφία εντοπίσαμε 8 τρόπους απόδειξης και έχουμε επινοήσει άλλους 38 τρόπους. Συνολικά, μας είναι γνωστοί 46 τρόποι απόδειξης. Ζητάμε τον 47 τρόπο απόδειξης, με προοπτική να φθάσουμε, σαν πρώτο βήμα, τους 50 τρόπους.
Καλή επιτυχία.
(Για τον σαφέστατο τρόπο απόδειξης της Πρότασης αυτής και γενικά των αποδείξεων στη Γεωμετρία, έχει εκφράσει τον θαυμασμό του και ο Al. Eintstin).

1β(4). «Τα ύψη κάθε τριγώνου συντρέχουν», ή για την ακρίβεια: « Οι φορείς των υψών κάθε τριγώνου, περνούν από το ίδιο σημείο».


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Νίκο, πολύ ωραία η σκέψη σου και μάλιστα είναι αφορμή για το βιβλίο Γκίνες!

Σίγουρα, οι αποδείξεις με διανύσματα, αναλυτική, θεώρημα CEVA κλπ θα είναι γνωστές.Δεν ξέρω αν έχεις κοιτάξει για απόδειξη με αντιστροφή.
ΑΝ λοιπόν έχεις τις 46 αποδείξεις μαζεμένες και είναι δημοσιεύσιμες, βάλτες σε ένα αρχείο για να δούμε τι υπάρχει, ώστε να μην πέφτουμε στις ίδιες.
Υποπτεύομαι όμως ότι αυτή η δουλειά είναι για άρθρο, οπότε δεν σε δεσμεύουμε να μας τη δώσεις πριν την ώρα της.Θα την απολαύσουμε όταν ολοκληρωθεί !

Σίγουρα όμως, χωρίς πυξίδα , η πιθανότητα να βρούμε νέα απόδειξη, είναι σχεδόν μηδαμινή.

Μπάμπης

[ΝΙΚΟΣ]

Στο σχήμα της κυρίας Φωτεινής, αν η τέμνει την στο , τα ύψη από τα και τέμνονται στο και αν είναι το μέσο της , τότε στο πλήρες τετράπλευρο το είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του οπότε είναι το ορθόκεντρο του με αποτέλεσμα κάθετη στην που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Φίλε Κώστα,
ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου.
Η απόδειξή σου, εκ πρώτης όψεως, φαίνεται πρωτοεμφανιζόμενη και σωστή, αλλά απαιτείται πιο σαφής τεκμηρίωση, καθώς αφήνει κενά, ώστε να πάρει σειρά 47, αφού τη μελετήσουμε και πιο προσεκτικά.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ Νίκο,

όταν συναντηθήκαμε προ διμήνου περίπου σου είχα αναφέρει την απόδειξη που είχα παρουσιάσει στους φοιτητές μου το 2003, ήδη γνωστή φυσικά σε σένα*: αν ΑΔ, ΒΕ είναι ύψη τεμνόμενα στο Ζ και η ΓΖ τέμνει την ΑΒ στο Η, τότε αρκεί να δείξουμε την ισότητα των γωνιών ΒΑΔ και ΒΓΗ, κάτι που προκύπτει άμεσα από τις ισότητες ΒΑΔ = ΒΕΔ (εγγράψιμο τετράπλευρο ΒΑΕΔ) και ΒΓΗ = ΒΕΔ (εγγράψιμο τετράπλευρο ΓΔΖΕ).

*την είχα εφεύρει επειδή είχα ξεχάσει την κλασσική απόδειξη (που έστειλε η Φωτεινή) και την καταθέτω εδώ για όσους δεν την γνωρίζουν

Γιώργος Μπαλόγλου

Φίλε Γιώργο,
Χαίρομαι που ξανασυναντιόμαστε εδώ, έστω και μετά αρκετό χρόνο, καθώς προφανώς οι υποχρεώσεις μας δε μας το επέτρεψαν. Ελπίζω ότι σύντομα θα μας δοθεί η ευκαιρία.
Η απόδειξή σου είναι από τις πιο απλές της βιβλιογραφίας. (βιβλίο Γεωμετρίας Ν. Κισκύρα τόμος 1 σελ. 108 κτλ), ενώ την έχω συμπεριλάβει σε άρθρο μου, που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό Ευκλείδης Β τευχος15/1995 με α.α.2, ενώ της Φωτεινής έχει πάρει α.α.1,στο ίδιο άρθρο).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[Κώστας Παππέλης]

Αγαπητέ κύριε Νίκο,

ποιο κομμάτι της απόδειξης θεωρείτε ότι απαιτεί τεκμηρίωση ή επεξήγηση και είμαι πρόθυμος να την παραθέσω.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ κύριε Νίκο,

ποιο κομμάτι της απόδειξης θεωρείτε ότι απαιτεί τεκμηρίωση ή επεξήγηση και είμαι πρόθυμος να την παραθέσω.

Φίλε Κώστα,
Διευκρίνισε σε παρακαλώ σε πιο πλήρες τετράπλευρο αναφέρεσαι, στο μη κυρτό ΖΓΒΕΚΟ ή το κυρτό ΖΒΓΕΚΑ και σε ποίο Θεώρημα βασίζεσαι, όταν λες ότι το Μ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΟΚ, όπως και που αναφέρεται αυτό (το Θεώρημα).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[Κώστας Παππέλης]

Με συγχωρείτε, το τετράπλευρο που εννοώ είναι το κυρτό (το δεύτερο που αναφέρετε).

Το θεώρημα στο οποίο βασίζομαι λέγεται νομίζω θεώρημα Brocard και λέει ότι αν εγγράψιμο και οι απένταντι πλευρές τέμνονται στα και τότε το κέντρο του κύκλου αυτού είναι το ορθόκεντρο του όπου η τομή των και .

Σας παραπέμπω εδώ

http://imomath.com/othercomp/Bfa/bfacts.pdf

[Κώστας Παππέλης]

Κι αν θέλουμε να αποφύγουμε τη χρήση της έννοιας 'ορθόκεντρο' όταν αυτό που θέλουμε είναι να το αποδείξουμε, τότε μπορούμε απλά να πούμε ότι (πάλι στο σχήμα της κυρίας Φωτεινής) η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο, οπότε κάθετη στην και έτσι ολοκληρώνεται ακόμα πιο γρήγορα.

[ΝΙΚΟΣ]

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Νίκο, πολύ ωραία η σκέψη σου και μάλιστα είναι αφορμή για το βιβλίο Γκίνες!

Σίγουρα, οι αποδείξεις με διανύσματα, αναλυτική, θεώρημα CEVA κλπ θα είναι γνωστές.Δεν ξέρω αν έχεις κοιτάξει για απόδειξη με αντιστροφή.
ΑΝ λοιπόν έχεις τις 46 αποδείξεις μαζεμένες και είναι δημοσιεύσιμες, βάλτες σε ένα αρχείο για να δούμε τι υπάρχει, ώστε να μην πέφτουμε στις ίδιες.
Υποπτεύομαι όμως ότι αυτή η δουλειά είναι για άρθρο, οπότε δεν σε δεσμεύουμε να μας τη δώσεις πριν την ώρα της.Θα την απολαύσουμε όταν ολοκληρωθεί !

Σίγουρα όμως, χωρίς πυξίδα , η πιθανότητα να βρούμε νέα απόδειξη, είναι σχεδόν μηδαμινή.

Μπάμπης

Φίλε Μπάμπη, αγαπητοί φίλοι,
είναι γεγονός ότι το θέμα αυτό δε με απασχόλησε ειδικά, αλλά οι 38 δικοί μου τρόποι απόδειξης προέκυψαν συμπτωματικά, μελετώντας άλλα θέματα.
Έτσι, με αντιστροφή δεν έτυχε να το δω, με Ceva έτυχε να το έχω μελετήσει και έχω δώσει αποδείξεις. Με διανύσματα και με αναλυτική όχι, καθώς ήθελα οι λύεις μου να είναι καθαρά Γεωμετρικές, όπως πάντα (χρησιμοποίησα σε μερικές περιπτώσεις μόνο τριγωνομετρία). Αν όμως προκύψουν και άλλες αρκετές αποδείξεις και δούμε ότι αξίζει τον κόπο να πάμε για το βιβλίο Γκίνες, τότε το συζητάμε.
Από τις 46 αποδείξεις οι 21 έχουν δημοσιευθεί στο περιοδικό Ευκλείδη Β’, (τεύχη 15/1995 και26/1997), οι 20 στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο λύκειο» τεύχος 10/2001, οι 3 στο περιοδικό Quantum τεύχος 5/1999 και οι 2 πρόσφατες δεν έχουν δημοσιευθεί σε περιοδικά. Οι 38 αποδείξεις δικής μου επινόησης έχουν καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» με το οποίο και δημοσιεύθηκαν, εκτός από μία πρόσφατη. Οι 46 παραπάνω αποδείξεις έχουν πάρει τον αύξοντα αριθμό τους και έτσι αναφέρονται στα παραπάνω έντυπα.
Επειδή για όλες τις παραπάνω αποδείξεις, εκτός από μία, δεν είναι γραμμένες ηλεκτρονικά, δεν είναι δυνατό να μπουν σε αρχείο, επί του παρόντος. Όμως όποιος από τους φίλους θέλει μπορεί να ανατρέξει στα παραπάνω έντυπα να πληροφορηθεί σχετικά.
Αν μου δοθεί χρόνος, θα δημοσιεύσω στο mathematica κατάσταση με τον α.α. κάθε απόδειξης και τη θέση της αναλυτικά στα παραπάνω περιοδικά και στο βιβλίο μου.
Επί του παρόντος προχωράμε έτσι και θα αντιμετωπίσουμε κάθε τι που θα προκύψει.
Στους φίλους έχω να πω, ότι να συνεχίσουν να στέλνουν τις αποδείξεις τους ανεπηρέαστα. Θα εξετασθούν όλες κι αν πραγματικά πρωτοεμφανίζονται θα πάρουν τον α.α τους με τη σειρά που θα έχουν αναρτηθεί.
Τέλος παρακαλώ τους φίλους να είναι όσο το δυνατό σαφείς, λεπτομερείς θα έλεγα, στις αποδείξεις τους και στις τεκμηριώσεις τους, ώστε να μη αφήνουν ερωτηματικά.
Ευχές για όλους…

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[k-ser]

orthokentro.jpg (25.62 KiB) Προβλήθηκε 11655 φορές

Νίκο, αυτή, αν δεν έχω κάνει κάποιο χαζό λάθος, είναι μια απόδειξη.
Να μαντέψω;... α.α 5 !

Κάποιες επεξηγήσεις...

Έστω τα δύο ύψη ΒΔ, ΓΕ τα οποία τέμνονται στο Η.
Από το Η φέρουμε ΗΖ κάθετο στη ΒΓ και το ΗΑ.
Για το ζητούμενο αρκεί να δειχθεί ότι ΖΗΑ=180.

Γίνεται χρήση των εγγράψιμων ΒΕΔΓ και ΑΕΗΔ.
Επίσης, η γωνία ΖΗΓ είναι ίση με την γωνία ΑΒΓ (:οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες).

Το σχήμα βοηθάει στην κατανόηση της απόδειξης. Αν υπάρχουν δύσκολα σημεία... πείτε μου.

Η απόδειξη βέβαια αναφέρεται σε οξυγώνιο τρίγωνο.

[Γιώργος Ρίζος]

... Με διανύσματα και με αναλυτική όχι, καθώς ήθελα οι λύεις μου να είναι καθαρά Γεωμετρικές, όπως πάντα (χρησιμοποίησα σε μερικές περιπτώσεις μόνο τριγωνομετρία). Φιλικά, Νίκος Κυριαζής.

Με τις 50 αποδείξεις, ας τους δώσουμε ως δώρο και μερικές με Αναλυτική.
Δίνω την 52η ΑΠΟΔΕΙΞΗ (με Εξισώσεις ευθειών).

19-2-1010 Geometry.png (6.01 KiB) Προβλήθηκε 11598 φορές

Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή Β(0, 0). Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ με Γ(1, 0) και Α(α, β), με . (Αν β = 0 τα σημεία είναι συνευθειακά).

Αν α = 0, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Β, οπότε τα ύψη του συντρέχουν στο Β.

Αν α = 1, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Γ, οπότε τα ύψη του συντρέχουν στο Γ.

Αν , η ΑΒ έχει εξίσωση: και η ΑΓ:

Το ύψος ΒΕ στην ΑΓ έχει εξίσωση: και το ύψος ΓΖ στην ΑΒ έχει εξίσωση: .
Τα ύψη τέμνονται στο Θ. Η τετμημένη του Θ επαληθεύει τις εξισώσεις των ΒΕ και ΓΖ. Είναι: , οπότε η ΑΘ είναι κάθετη στον x΄x, οπότε τα ύψη του ΑΒΓ συντρέχουν στο Θ.


Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. ΔΕΝ έχω δει κάπου την παραπάνω απόδειξη. Πιθανόν να υπάρχει παρόμοια αντιμετώπιση στη βιβλιογραφία. Νομίζω ότι είναι ΚΑΤΑΛΗΛΗ για να χρησιμοποιηθεί στην τάξη ή για εξάσκηση των μαθητών στο κεφάλαιο των ευθειών στη Β΄Λυκείου (πιθανώς με κάποιες υποδείξεις, για να τους οδηγήσουμε στο στόχο).

edit (7-7-2017): Η παραπάνω απόδειξη έχει αντικατασταθεί από τη "βελτιωμένη" απόδειξη (με ίδιο αριθμό) ΕΔΩ.

[Nick1990]

Η πιο απλη και γρηγορη αποδειξη που εχω καταφερει να σκεφτω (πολυ πιθανον να ειναι μια απο τις πρωτες 47, αλλα ακομα και αν δεν ειναι θα μοιαζει πολυ με καποια διοτι ειναι πολυ απλη) ειναι η εξης:

Παιρνουμε τα δυο υψη που τεμνονται στο Η και θελουμε να δειξουμε οτι και το 3ο περναει απο εκει, θεωρουμε τα διανυσματα (δεν εχω βαλει βελακια, αλλα η φορα φαινεται απο τη σειρα με την οποια βαζω τα γραμματα), τοτε και θελουμε να δειξουμε οτι . Ομως

οποτε τελος.

[nsmavrogiannis]

alt1.png (53.21 KiB) Προβλήθηκε 11553 φορές

Παρόμοια με της Φωτεινής μόνο που χρησιμοποιεί ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν. Θεωρούμε τα ύψη . Eίναι:
από το εγγράψιμμο .
από το εγγράψιμμο .
από το εγγράψιμμο .
'Αρα . Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα ύψη του είναι διχοτόμοι των γωνιών του ορθικού του οι οποίες συντρέχουν. Άρα και τα ύψη συντρέχουν.
Μαυρογιάννης

[nsmavrogiannis]

alt2.png (44.3 KiB) Προβλήθηκε 11544 φορές

'Εστω το κοινό σημείο των υψών , . Θα είναι αν και μόνο αν ισχύει . Πράγματι:

όπου χρησιμοποιήθηκε το Πυθαγόρειο θεώρημα στα και ότι από τα όμοια .
Μαυρογιάννης

[ΝΙΚΟΣ]

Κι αν θέλουμε να αποφύγουμε τη χρήση της έννοιας 'ορθόκεντρο' όταν αυτό που θέλουμε είναι να το αποδείξουμε, τότε μπορούμε απλά να πούμε ότι (πάλι στο σχήμα της κυρίας Φωτεινής) η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο, οπότε κάθετη στην και έτσι ολοκληρώνεται ακόμα πιο γρήγορα.

Αγαπητέ φίλε Κώστα,
σε ευχαριστώ πολύ και για τη δεύτερη προσπάθειά σου να επιτύχεις μια πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη.
Είναι προφανές ότι η πρώτη απόδειξή σου θα μείνει σε εκκρεμότητα μέχρι να τεκμηριωθεί. Όσο για τη δεύτερη απόδειξή σου, δυστυχώς τυχαίνει να συμπίπτει με την 33η απόδειξή (με την παρατήρησή της), που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο», τεύχος 10/2001, αλλά και με το βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος 4 παράγραφος 4η(208).
Ευχές…

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

orthokentro.jpg

Νίκο, αυτή, αν δεν έχω κάνει κάποιο χαζό λάθος, είναι μια απόδειξη.
Να μαντέψω;... α.α 5 !

Κάποιες επεξηγήσεις...

Έστω τα δύο ύψη ΒΔ, ΓΕ τα οποία τέμνονται στο Η.
Από το Η φέρουμε ΗΖ κάθετο στη ΒΓ και το ΗΑ.
Για το ζητούμενο αρκεί να δειχθεί ότι ΖΗΑ=180.

Γίνεται χρήση των εγγράψιμων ΒΕΔΓ και ΑΕΗΔ.
Επίσης, η γωνία ΖΗΓ είναι ίση με την γωνία ΑΒΓ (:οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες).

Το σχήμα βοηθάει στην κατανόηση της απόδειξης. Αν υπάρχουν δύσκολα σημεία... πείτε μου.

Η απόδειξη βέβαια αναφέρεται σε οξυγώνιο τρίγωνο.

Αγαπητέ φίλε Κώστα,
σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου, τη Λακωνική και απλή απόδειξη σου.
Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου, τυχαίνει να συμπίπτει με την 35η απόδειξή, που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» τεύχος 10/2001, αλλά και με το βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος 5 παράγραφος 5θ(175).
Ευχές…

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.