Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

#1

ΑΣΚΗΣΗ

Να βρείτε το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου του παρακάτω σχήματος(δες το συνημμένο) , αν στο εσωτερικό του υπάρχει σημείο που να απέχει από τις κορυφές του 5 , 12 , 13 μονάδες μήκους.

: Xmas_tree.png (32.28 KiB) Προβλήθηκε 5575 φορές

k-ser · #2

Μπάμπη,
κάνεις καμιά εφαρμογή στο .... χριστουγεννιάτικο δέντρο;

Δεν ανέβηκες Καρδίτσα. Έχει ένα πανέμορφο ολόλευκο τοπίο!

Τις ευχές μου για καλή Πρωτοχρονιά - κι όχι μόνο.

p_gianno · #3

Μπάμπη καλησπέρα
Έχουμε λύση; Είναι αυτή;
(169* sq(3)+180)/4
Πάνος

#4

math_finder έγραψε:Μπάμπη καλησπέρα
Έχουμε λύση; Είναι αυτή;
(169* sq(3)+180)/4
Πάνος

Πάνο, δεν πρόλαβα να την κοιτάξω ακόμα.Σκέφτομαι να πάρω νόμο συνημιτόνων , αλλά να δούμε πώς θα βγει!Τα νούμερα θυμίζουν πυθαγόρεια τριάδα και μπορεί να χρειαστεί στροφή, ώστε να υπολογίσω κάποια από τις γωνίες γύρω από το σημείο.

#5

k-ser έγραψε:Μπάμπη,
κάνεις καμιά εφαρμογή στο .... χριστουγεννιάτικο δέντρο;

Δεν ανέβηκες Καρδίτσα. Έχει ένα πανέμορφο ολόλευκο τοπίο!

Τις ευχές μου για καλή Πρωτοχρονιά - κι όχι μόνο.

Κώστα , είπα χθες τη γυναίκα μου να ανέβουμε, αλλά μου θύμισε ότι για σήμερα είχα μια δουλειά. Λοιπόν, θυμάσαι παλιά στα χωριά , όταν έρχονταν κανενας γιατρός, φίλος χωριανού, που μαζεύονταν οι παππούδες και τον έπαιρναν για μια εξέταση στο σπίτι ; Κάπως έτσι έπαθα και γω. Συνάντησε η γυναίκα μου τη μάνα μιας μαθήτριάς της, η οποία έχει αδερφή μια συμμαθήτριά μου , την οποία έχω να δω από το 1977 , που μα θυμήθηκε και αφού έμαθε ότι είμαι μαθηματικός(τρομάρα μου δηλαδή!)με παρακάλεσε να δω μια ώρα το γιό της που δίνει φέτος !
Αυτά παθαίνω με τα ... θελήματα και άντε μετά να βρω χρόνο να δω το φίλο μου τον Κώστα στην καρδίτσα.
Μπορεί να έρθουμε μετά την πρωτοχρονιά. Α! Να το λέω τώρα στη Βούλα που μόλις μπήκε μέσα και συμφωνεί!
Παιδιά , φύγαμε για ...Καρδίτσααααααααααα!!!!!!!!!!!!.Πάμε στον Κώστα! Το Μουζάκι έχει και ξενοδοχεία!

p_gianno · #6

Ανεβάζω μια λύση. Ρίξτε μια ματιά για το σωστό του πράγματος

#7

Καλησπέρα Πάνο.Νομίζω πως η λύση σου είναι πάρα πολύ καλή!

#8

Πάνο, με πρόλαβες.

Έγραφα την ακόλουθη λύση, που είναι ίδια με την δικιά σου. Την ανεβάζω ετσι και αλλιώς
γιατί έχει μικρή γενίκευση.

Μπάμπη, εσύ μας δίδαξες τον τρόπο: Στο παλιό mathematica, είχες δώσει μια καταπληκτική λύση σε μία άσκηση που θυμίζει την παρούσα, αλλά με τετράγωνο στη θέση του ισόπλευρου τριγώνου. Ξεχνιούνται αυτά;

Μιμούμενος, αλλά προσαρμόζοντας την λύση σου στο παλιό mathematica, να μια λύση. Την κάνω πιο γενική με ΡΑ=α, ΡΒ = β και ΡΓ = γ όπου $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\gamma ^{2}$

Επί της ΡΒ γράφουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΡΒΔ. Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα ΑΡΒ και ΒΓΔ είναι ίσα, οπότε ΓΔ = α. Παρατηρούμε τώρα ότι το ΡΓΔ είναι ορθογώνιο, καθώς
$\Gamma \Delta ^{2}+P\Delta ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\gamma ^{2}=\Gamma P^{2}$
Άρα

$\sigma \upsilon \nu (BP\Gamma )=\sigma \upsilon \nu (60+\theta )=\sigma \upsilon \nu (60^o)\sigma \upsilon \nu ( \theta )-\eta \mu (60^o)\eta \mu ( \theta ) =\frac{1}{2}\frac{\beta }{\gamma }-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\alpha }{\gamma }$

Η ΒΓ τώρα υπολογίζεται από το ΡΒΓ και τον νόμο των συνιμητόνων. Τέλος, το ζητούμενο εμβαδόν είναι
$E= \frac{B\Gamma ^{2}\sqrt{3}}{4}=...=\frac{3\alpha \beta +\gamma ^{2}\sqrt{3}}{4}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

k-ser · #9

...και μια διαφορετική αντιμετώπιση:

: Γεωμετρίας 6.jpg (39.69 KiB) Προβλήθηκε 5499 φορές

k-ser · #10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Αυτά παθαίνω με τα ... θελήματα και άντε μετά να βρω χρόνο να δω το φίλο μου τον Κώστα στην καρδίτσα.
Μπορεί να έρθουμε μετά την πρωτοχρονιά. Α! Να το λέω τώρα στη Βούλα που μόλις μπήκε μέσα και συμφωνεί!
Παιδιά , φύγαμε για ...Καρδίτσααααααααααα!!!!!!!!!!!!.Πάμε στον Κώστα! Το Μουζάκι έχει και ξενοδοχεία!

Μπάμπη,
σας περιμένουμε. Θα χαρούμε να ανεβείτε.
Όσο για ξενοδοχεία... υπάρχει ένα που είναι σίγουρο! Φτωχικό μεν μα, "χίλιοι καλοί χωράν"!
Καλή πρωτοχρονιά, χαιρετισμούς στη Βούλα.

#11

Μια μικρή παραλλαγή της απόδειξης. Δεν είχα δει τις λύσεις σας, αλλά μια και την έφτιαξα, ας υπάρχει. Εϊναι στο μήκος κύματος των δικών σας προσεγγίσεων.
Μου φαίνεται όμως ότι η εικόνα βγαίνει πολύ μεγάλη. Πώς θα την προσαρμόσω σε κανονικό μέγεθος ; Τη βάζω όμως και ως συνημένη pdf για εκτύπωση.
Ευχαριστώ πολύ

: Γεωμετρίας 6b.jpg (67.84 KiB) Προβλήθηκε 5229 φορές

#12

k-ser έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Αυτά παθαίνω με τα ... θελήματα και άντε μετά να βρω χρόνο να δω το φίλο μου τον Κώστα στην καρδίτσα.
Μπορεί να έρθουμε μετά την πρωτοχρονιά. Α! Να το λέω τώρα στη Βούλα που μόλις μπήκε μέσα και συμφωνεί!
Παιδιά , φύγαμε για ...Καρδίτσααααααααααα!!!!!!!!!!!!.Πάμε στον Κώστα! Το Μουζάκι έχει και ξενοδοχεία!
Μπάμπη,
σας περιμένουμε. Θα χαρούμε να ανεβείτε.
Όσο για ξενοδοχεία... υπάρχει ένα που είναι σίγουρο! Φτωχικό μεν μα, "χίλιοι καλοί χωράν"!
Καλή πρωτοχρονιά, χαιρετισμούς στη Βούλα.

Λοιπόν, όπως βλέπετε , ο Κώστας και γω αφήνουμε ανοικτή πρόσκληση σε άλα τα μέλη του κλαμπ να μας επισκέπτονται στις ιδιαίτερες πατρίδες μας. Εμένα θα με βρίσκετε εκεί το καλοκαίρι ( 10 Ιουλίου - 25 Αυγούστου). Τα λέμε από τώρα για να προγραμματίζετε τα ταξίδια σας(!). Και για να σας δελεάσω με τις ομορφιές της Πίνδου, παραθέτω το εξαίρετο τετράστιχο του Κ.Κρυστάλλη, αν και υμνεί τον Απρίλη και όχι τον Ιανουάριο:

Μιαν Απριλιάτικη βραδιά, μια νύχτα αστεριωμένη
πάνω στου Πίνδου τα βουνά μονάχος μου καθόμουν!
Και κοίταζα τον ουρανό και κρυφοσυλλογιόμουν :
Πώς ζει ο δόλιος άνθρωπος, πώς ζει και πώς πεθαίνει !
Νομίζω πώς το Μιχάλη τον έχω ήδη πείσει. Θα έρθουν όμως και άλλοι πιστεύω.Διότι τίποτα δεν είναι ωραιότερο στη ζωή , από το να έχει κανείς φίλους .Και μπορεί μεν η ζωή να είναι δύσκολη και περίεργη πολλές φορές, αλλά με λιγη προσπάθεια μπορούμε να την κάνουμε πολύ καλύτερη. Δεν χρειάζονται λεφτά ούτε φανταχτερά σαλόνια.Με γέλιο και καλή καρδιά η ευτυχία είναι στην ..τσέπη μας . Και όπως είπε ο Κώστας παραπάνω , στα φτωχικά μας χίλιοι καλοί χωράνε !

p_gianno · #13

Μιχάλη
όποτε μπορέσεις θα ήθελα να μου πεις πιο πρόγραμμα χρησιμοποιείς για την κατασκευή των γεωμετρικών σχημάτων.
Μου αρέσει η πριονωτή σήμανση των γωνιών.
Ευχαριστώ
Πάνος

#14

math_finder έγραψε:Μιχάλη
όποτε μπορέσεις θα ήθελα να μου πεις πιο πρόγραμμα χρησιμοποιείς για την κατασκευή των γεωμετρικών σχημάτων.
Μου αρέσει η πριονωτή σήμανση των γωνιών.
Ευχαριστώ
Πάνος

Πάνο,

Εγώ ζηλεύω τα δικά σου σχήματα, και συ ρωτάς εμένα;

Χρησιμοποιώ πάντως Powerpoint το οποίο μετά μεταφέρω στο Paint για να το κάνω jpg.

Την πριονωτή γραμμή την έκανα "με το χέρι". Από το μενού "αυτόματα σχήματα" επιλέγεις "γραμμές" και μετά "ελεύθερο σχέδιο". Σύροντας την γραμμή σε σχήμα ζιγκ-ζαγκ με το ποντίκι, κάνεις το σχήμα που θέλεις. Βοηθάει να κάνεις μεγένθυση 300% το σχέδιό σου για να έχεις την ακρίβεια που επιθυμείς. Επίσης η "επεξεργασία σημείων" είναι χρήσιμη.

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης.

nicolae · #15

Θεώρημα Pompeiu (1936)
Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ σημείο στο εσωτερικό του. Τότε τα τμήματα ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ αποτελούν μήκη πλευρών τριγώνου
Απόδειξη
Φέρνουμε τις ΡΔ, ΡΕ, ΡΖ κάθετες στις πλευρές του ΑΒΓ. Τότε το τετράλπευρο ΡΕΑΖ είναι εγγράψιμο και από το θεώρημα ημιτόνων παίρνουμε:
$\displaystyle\frac{ZE}{sin60^0}=2R=\frac{PA}{sin90^0}$ και άρα $\displaystyle ZE=\frac{\sqrt{3}}{2}PA$
Όμοια βρίσκουμε $\displaystyle\Delta E=\frac{\sqrt{3}}{2}PB$ και $\displaystyle\Delta Z=\frac{\sqrt{3}}{2}P\Gamma.$
Επειδή ΖΕ, ΔΕ, ΔΖ είναι πλευρές τριγώνου, τότε και τα ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ είναι πλευρές τριγώνου.

Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο - Εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση