Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

#1

Έστω τρείς διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί z_1, z_2, z_3

για τους οποίους ισχύει:

|z_1|=|z_2|=|z_3| = a >0

Aν οι αριθμοί

z_1+z_2z_3, z_2 +z_1 z_3 , z_3+z_1z_2

είναι πραγματικοί , να αποδείξετε ότι:

z_1z_2z_3=1

#2

Ας υποθέσουμε ότι |z_1|=|z_2|=|z_3|=r>0

. Είναι γνωστό τότε ότι:

$\bar{z_i}=\displaystyle\frac{r^2}{z_i}, i=1,2,3$

Αρχικά θα αποδείξουμε ότι r=1

.

Αφαιρούμε τις δοσμένες σχέσεις ανά δύο και παίρνουμε:

$(z_1-z_2)(1-z_3)\in\mathbb{R}$
$(z_2-z_3)(1-z_1)\in\mathbb{R}$ και
$(z_3-z_1)(1-z_2)\in\mathbb{R}$

Παίρνουμε την πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις και χρησιμοποιώντας την πρόταση

$z\in\mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar{z}$ έχουμε:

$(z_1-z_2)(1-z_3)=\overline{(z_1-z_2)(1-z_3)} \Rightarrow$

$z_1z_2z_3(z_1-z_2)(1-z_3)=r^2(z_2-z_1)(z_3-r^2) \stackrel{z_1\neq z_2}{\Rightarrow}$
$\boxed{z_1z_2z_3(z_3-1)=r^2(z_3-r^2)} \ \ (1)$

Εντελώς όμοια παίρνουμε

$\boxed{z_1z_2z_3(z_2-1)=r^2(z_2-r^2)} \ \ (2)$ και

$\boxed{z_1z_2z_3(z_1-1)=r^2(z_1-r^2)} \ \ (3)$

Διαιρούμε κατά μέλη τις (1)

και

και παίρνουμε ( $z_1z_2z_3\neq 0$ ):

(z_3-z_1)(z_2-r^2)=(z_2-1)(z_3-r^2)

και μετά τις πράξεις:

(z_2-z_3)(r^2-1)=0

δηλαδή $\boxed{r=1}$ (αφού $z_2\neq z_3$ ).

Τότε οι (1),(2),(3)

γίνονται:

Από τις παραπάνω παίρνουμε: ( z_1=z_2=z_3=1

που δε γίνεται) είτε z_1z_2z_3=1

που είναι το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

#3

Ερώτηση: Γενικεύεται για n>3

;

Δηλαδή,

Αν |z_i|>0

και $\displaystyle{z_i+\prod_{j\ne i} z_j \in \mathbb{R}}$ για κάθε
$i=1,2,\dots,n$ ( n>3

), ισχύει τότε ότι $\displaystyle{\prod_{i=1}^{n} z_i=1}$ ?

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

cretanman έγραψε:Ας υποθέσουμε ότι . Είναι γνωστό τότε ότι:

$\bar{z_i}=\displaystyle\frac{r^2}{z_i}, i=1,2,3$

Αρχικά θα αποδείξουμε ότι .

Αφαιρούμε τις δοσμένες σχέσεις ανά δύο και παίρνουμε:

$(z_1-z_2)(1-z_3)\in\mathbb{R}$
$(z_2-z_3)(1-z_1)\in\mathbb{R}$ και
$(z_3-z_1)(1-z_2)\in\mathbb{R}$

Παίρνουμε την πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις και χρησιμοποιώντας την πρόταση

$z\in\mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar{z}$ έχουμε:

$(z_1-z_2)(1-z_3)=\overline{(z_1-z_2)(1-z_3)} \Rightarrow$

$z_1z_2z_3(z_1-z_2)(1-z_3)=r^2(z_2-z_1)(z_3-r^2) \stackrel{z_1\neq z_2}{\Rightarrow}$
$\boxed{z_1z_2z_3(z_3-1)=r^2(z_3-r^2)} \ \ (1)$

Εντελώς όμοια παίρνουμε

$\boxed{z_1z_2z_3(z_2-1)=r^2(z_2-r^2)} \ \ (2)$ και

$\boxed{z_1z_2z_3(z_1-1)=r^2(z_1-r^2)} \ \ (3)$

Διαιρούμε κατά μέλη τις και και παίρνουμε ( $z_1z_2z_3\neq 0$ ):

και μετά τις πράξεις:

δηλαδή $\boxed{r=1}$ (αφού $z_2\neq z_3$ ).

Τότε οι γίνονται:

Από τις παραπάνω παίρνουμε: ( που δε γίνεται) είτε που είναι το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε,

τουλάχιστον αυτή η ωραία λύση μπορεί να γίνει κατανοητή και από ένα μαθητή,

διότι η λύση στο σχετικο βιβλίο του Τ.Andreescu με τις αναλογίες, θέλει ...γερά νεύρα κι ας μοιάζει σύντομη !

Εύχομαι καλή τοποθέτηση και καλό Πάσχα!

Μπάμπης

#5

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
cretanman έγραψε: ....
Διαιρούμε κατά μέλη τις και
....
Αλέξανδρε,

τουλάχιστον αυτή η ωραία λύση μπορεί να γίνει κατανοητή και από ένα μαθητή,

διότι η λύση στο σχετικο βιβλίο του Τ.Andreescu με τις αναλογίες, θέλει ...γερά νεύρα κι ας μοιάζει σύντομη !

Εύχομαι καλή τοποθέτηση και καλό Πάσχα!

Μπάμπης

Συμφωνώ απόλυτα με τον Μπάμπη. Βέβαια και οι δύο λύσεις χρειάζονται μια μικρή διερεύνηση.

Πώς μπορούμε να διαιρέσουμε κατά μέλη; Γιατί δεν είναι z_2=1

;

(Απάντηση: Αν z_i=1

για κάποιο

, τότε

και τα πράγματα είναι εύκολα: δείτε τις τελευταίες πέντε σειρές της λύσης του Αλέξανδρου. Οπότε, ας υποθέσουμε ότι $z_i\ne 1$ για i=1,2,3

, κ.ο.κ.)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ανδρέας Πούλος · #6

Έχω μία διαφορετική αντιμετώπιση για το θέμα αυτό.
Βασίζεται στην τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού.
Ονομάζω α, β, γ τα πρωτεύοντα ορίσματα των z1, z2, και z3 αντίστοιχα που έχουν μέτρο /a/.
Η συνθήκη z1 + z2z3 είναι πραγματικός μεταφράζεται ως ημα + /a/ημ(β+γ) = 0.
Η συνθήκη z2 + z1z3 είναι πραγματικός μεταφράζεται ως ημβ + /a/ημ(α+γ) = 0.
Η συνθήκη z3 + z1z2 είναι πραγματικός μεταφράζεται ως ημγ + /a/ημ(α+β) = 0.

Τώρα η προς απόδειξη συνθήκη z1z2z3 = 1 μεταφράζεται ως /a/ = 1, και συν(α+β+γ) = 1 και ημ(α+β+γ) = 0.
Η σχέση ημ(α+β+γ) = 0 πηγάζει από την συν(α+β+γ) = 1.
Άρα το τελικό ζητούμενο μεταφράζεται ως απόδειξη των σχέσεων /a/ =1 και συν(α+β+γ) =1.
Κάντε και σεις κάτι (τα δύσκολα) να μην τα κάνω όλα εγώ.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

Re: Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

Re: Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

Re: Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

Re: Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

Re: Μιγάδες όλου του κόσμου..Ενωθείτε!

Μέλη σε σύνδεση