Δύσκολο ορθογώνιο
Συντονιστής: gbaloglou
Δύσκολο ορθογώνιο
στο άκρο ή ( και) σημείο του τόξου τέτοια ώστε : και τα να είναι συνευθειακά ;
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3352
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο ορθογώνιο
Θέτουμε οπότε η εξίσωση της είναι και δίνει Από τους συντελεστές διεύθυνσης των καθέτων τμημάτων και προκύπτει εύκολα τώρα η τριγωνομετρική εξίσωση αναγόμενη στην τεταρτοβάθμια
από την οποία προκύπτει και
[Δουλειά για το σπίτι (homework): να ελεγχθεί ο τύπος για το (τι συμβαίνει όταν ή ) και να δειχθεί ότι η λύση για το και την είναι μοναδική (γιατί η τεταρτοβάθμια δεν έχει πάνω από δύο πραγματικές ρίζες και γιατί δεν είναι αποδεκτή η δεύτερη) ... και να προσεγγισθεί χωρίς λογισμικό (αν γνωρίζουμε τον αλγόριθμο του Νεύτωνα) ]
από την οποία προκύπτει και
[Δουλειά για το σπίτι (homework): να ελεγχθεί ο τύπος για το (τι συμβαίνει όταν ή ) και να δειχθεί ότι η λύση για το και την είναι μοναδική (γιατί η τεταρτοβάθμια δεν έχει πάνω από δύο πραγματικές ρίζες και γιατί δεν είναι αποδεκτή η δεύτερη) ... και να προσεγγισθεί χωρίς λογισμικό (αν γνωρίζουμε τον αλγόριθμο του Νεύτωνα) ]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13334
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Δύσκολο ορθογώνιο
Παρόμοιο.
Θέτω και Οι υπόλοιπες συντεταγμένες φαίνονται στο σχήμα. Από τη συνθήκη παίρνω και από την συνευθειακότητα των προκύπτει
Με απαλοιφή τώρα του καταλήγω στην εξίσωση
όπου με λογισμικό παίρνω τη δεκτή ρίζα Στη συνέχεια εύκολα
προσδιορίζεται και το
Re: Δύσκολο ορθογώνιο
) και του ημικυκλίου , ( που είναι το : ) μας δίνει τις συντεταγμένες του .
Η καθετότητα των , μας οδηγεί στην ( κάπως πιο ανθρώπινη ) εξίσωση : ,
της οποίας γράφω ( απευθείας ) την προσεγγιστική λύση :
Παρατηρήστε ότι για τη γωνία της λύσης Μπαλόγλου , ισχύει :
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3352
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο ορθογώνιο
Ας τα βάλουμε όλα μαζί -- ύστερα από μικρή επεξεργασία των λύσεων/εξισώσεων, προκύπτουν τρεις τριτοβάθμιες:
(Μπαλόγλου)
(Βισβίκης)
(Καρκάρ)
όπου και
(Μπαλόγλου)
(Βισβίκης)
(Καρκάρ)
όπου και
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο ορθογώνιο
Δεν ξέρω αν έχει ενδιαφέρον για το πρόβλημα που έθεσε ο KARKAR,
το γεγονός ότι αν ονομάσουμε το σημείο τομής των ευθειών και ,
τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και χωρίζεται από τις και σε δύο επίσης ίσα τρίγωνα.
το γεγονός ότι αν ονομάσουμε το σημείο τομής των ευθειών και ,
τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και χωρίζεται από τις και σε δύο επίσης ίσα τρίγωνα.
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Τετ Ιαν 03, 2024 12:16 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3352
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Δύσκολο ορθογώνιο
Αν αυτό το πρόβλημα δίνονταν ως γεωμετρική κατασκευή σε παραδοσιακούς γεωμέτρες, οι περισσότεροι θα πίστευαν ότι μπορουν να το λύσουν και θα παιδεύονταν άδικα (λόγω της τριτοβαθμίου): πράγματι δύσκολο το ορθογώνιο του Θανάση!
[Έλεγξα ότι ισχύουν πράγματι οι και ότι τα είναι όντως συνευθειακά: εννοώ δηλαδή ότι οι ισότητες αυτές (που ο Ανδρέας εξάγει γεωμετρικά από την ορθογωνιότητα) προκύπτουν όντως από τις συντεταγμένες του Θανάση^ αντίστροφα, προκύπτει άμεσα από αυτές η ορθογωνιότητα -- ό,τι και να κάνουμε, πρώτα πρέπει να αποδείξουμε κάτι 'δύσκολο' αλγεβρικά και ακολούθως να έχουμε ένα εύκολο γεωμετρικό πόρισμα. (Προσθέτω ότι .)]
[Έλεγξα ότι ισχύουν πράγματι οι και ότι τα είναι όντως συνευθειακά: εννοώ δηλαδή ότι οι ισότητες αυτές (που ο Ανδρέας εξάγει γεωμετρικά από την ορθογωνιότητα) προκύπτουν όντως από τις συντεταγμένες του Θανάση^ αντίστροφα, προκύπτει άμεσα από αυτές η ορθογωνιότητα -- ό,τι και να κάνουμε, πρώτα πρέπει να αποδείξουμε κάτι 'δύσκολο' αλγεβρικά και ακολούθως να έχουμε ένα εύκολο γεωμετρικό πόρισμα. (Προσθέτω ότι .)]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες