Μιγαδικοί+Γεωμετρια

[R BORIS]

Πολλές φορές η λύση άσκησης Ευκλείδειας επιτυγχάνεται ευκολότερα με την χρήση μιγαδικών
Ένα τυπολόγιο που έχω αξίζει νομίζω να το έχουν και άλλοι φίλοι που δεν το έχουν για να βλέπουμε ποικιλία λύσεων
το δίνω στο συνημμένο

New Microsoft Word Document.doc

(97.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 688 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Ένα τυπολόγιο που έχω αξίζει νομίζω να το έχουν και άλλοι φίλοι που δεν το έχουν για να βλέπουμε ποικιλία λύσεων
το δίνω στο συνημμένο

New Microsoft Word Document.doc

Ροδόλφε, ευχαριστούμε θερμά. Το τυπολόγιο είναι ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ.

Ας προσθέσω άλλον ένα (απλό αλλά) χρήσιμο τύπο: Αν τότε οι a, b, c είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Καληνύχτα,

Μιχάλης Λάμπρου

[Γιώργος Ρίζος]

Δεν ξέρω αν ο Ροδόλφος έδωσε το τυπολόγιο (και) ως πρόκληση για την απόδειξη των σχέσεων. Θερμές ευχαριστίες του οφείλουμε ούτως ή άλλως...

Εκλαμβάνοντάς το ως πρόκληση, δίνω μία γεωμετρική απόδειξη για το 1ο.
Να σημειώσω ότι αναζητώντας τις γεωμετρικές ιδιότητες των μιγαδικών, έχουμε σημαντικό εργαλείο τη τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών.
Δεν θεωρώ ως απαγορευτικό εμπόδιο τον εξοβελισμό τους από την εξεταστέα ύλη!
Δεν θεωρώ σωστό να σερνόμαστε και να φοράμε παρωπίδες έχοντας στο οπτικό μας πεδίο μόνο την "εξεταστέα ύλη" των πανελληνίων.
Δέχομαι, απ'την ἀλλη, ότι πρέπει να προσέχουμε στην επιλογή των θεμάτων που θα διδάξουμε, αλλά σε κάποιους μαθητές πρέπει και αξίζει να δίνουμε και κάτι παραπάνω...

1. AB//CD
Τα μικρά γράμματα είναι οι μιγαδικοί που έχουν για εικόνα το αντίστοιχο κεφαλαίο πχ Α(α)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Radovanovic 01.png (34.37 KiB) Προβλήθηκε 2655 φορές

Στο σχήμα βλέπουμε ότι το Μ είναι εικόνα του α - β και το Ν του γ - δ.
ο έχει εικόνα το Α΄συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα των x. (Το αυτό εφαρμόζουμε για τους β, γ, δ).
Αν ο α - β έχει τριγ. μορφή α - β = ρ(συνθ + iημθ) , τότε ο
έχει τριγ. μορφή = ρ[συν(2π-θ) + iημ(2π-θ)], άρα = συν2θ + iημ2θ.
Ομοίως, Αν ο γ - δ έχει τριγ. μορφή γ - δ = r(συνφ + iημφ) , τότε ο
έχει τριγ. μορφή = r[συν(2π-φ) + iημ(2π-φ)], άρα = συν2φ +iημ2φ
Από την ισότητα προκύπτει ότι συν2θ = συν2φ και ημ2θ = ημ2φ
άρα 2θ = 2κπ +2φ οπότε θ = κπ +φ, με κ = 0 ή 1, οπότε είναι θ = φ ή θ = π +φ άρα τα διανύσματα ΟΜ και ΟΝ είναι ομόρροπα ή αντίρροπα, άρα ΑΒ // ΓΔ


Γιώργος Ρίζος

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Στην εκφώνηση έθεσα όπου αν το ισοδύναμο, γιατί προκύπτει εύκολα ότι αν ΑΒ // ΓΔ, τότε ΟΜ // ΟΝ κ.λπ.

[gbaloglou]

Αν θελετε να μπλεξουμε και αλλους τομεις περαν των μιγαδικων και της γεωμετριας, δειτε εδω.

Γνωστο και ως "Θεωρημα του Marden"*, αυτο στο οποιο αναφερομαι φαινεται πως εχει ηλικια 145 ετων και οφειλεται στον Jörg Siebeck: αν Α, Β, Γ αντιστοιχουν στις 3 ριζες ενος μιγαδικου πολυωνυμου τριτου βαθμου φ(ζ), τοτε οι ριζες της παραγωγου φ'(ζ) ειναι οι εστιες εκεινης της ελλειψης που ειναι εγγεγραμμενη στο ΑΒΓ και εφαπτεται των τριων πλευρων στα μεσα τους.

*Dan Kalman, "An Elementary Proof of Marden's Theorem", American Mathematical Monthly, April 2008, 330-338

[Γιώργος Ρίζος]

Σε συνέχεια της πρώτης απόδειξης, δίνω αντίστοιχες για τη 2η και την 3η.
(Συμπλήρωσα στην εκφώνηση της 1ης AB//CD αν αντί για αν το ισοδύναμο, εφόσον προκύπτει εύκολα το αντίστροφο.


2. Α,Β,C συνευθειακά

Τα μικρά γράμματα είναι οι μιγαδικοί που έχουν για εικόνα το αντίστοιχο κεφαλαίο πχ Α(α)

Radovanovic 02.png (25.08 KiB) Προβλήθηκε 2452 φορές

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Στο (1) αποδείξαμε ότι AB//CD αν


Θέτοντας όπου d το a, έχουμε ότι ΑΒ // ΑC, οπότε Α, Β, C συνευθειακά.

3.


ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Radovanovic 03.png (41.39 KiB) Προβλήθηκε 2452 φορές

Όπως στην (1η) απόδειξη, έχουμε: Το Μ είναι εικόνα του α - β και το Ν του γ - δ.
ο έχει εικόνα το Α΄συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα των x (και ομοίως για τους β, γ, δ).
Αν ο α - β έχει τριγ. μορφή α - β = ρ(συνθ + iημθ) , τότε ο
έχει τριγ. μορφή = ρ[συν(2π-θ) + iημ(2π-θ)], άρα = συν2θ + iημ2θ.
Ομοίως, αν ο γ - δ έχει τριγ. μορφή γ - δ = r(συνφ + iημφ) , τότε ο
έχει τριγ. μορφή = r[συν(2π-φ) + iημ(2π-φ)], άρα = συν(π+2φ) +iημ(π+2φ)
Από την ισότητα προκύπτει ότι
συν2θ = συν(π+2φ) και ημ2θ = ημ(π+2φ), άρα 2θ = 2κπ + π +2φ
οπότε θ = κπ + π/2 + φ, με κ = 0 ή 1,
οπότε είναι θ = π/2 φ ή θ = 3π/2 +φ άρα τα διανύσματα ΟΜ και ΟΝ είναι κάθετα, άρα ΑΒ κάθετο ΓΔ.


Γιώργος Ρίζος

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν ξέρω αν ενοχλεί η "μεταγλώττιση" των λατινικών συμβόλων σε ελληνικά, που τα προτιμώ. Φαντάζομαι οι καλοί χρήστες του LaTex γράφουν λατινικά μονό και μόνο γιατί εξυπηρετεί...