2*5^z=3^t+1

#1

Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:

$2\cdot 5^z=3^t+1$

Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;

#2

Κώστα γράφω την άκομψη λύση μου περιληπτικά αφού είναι μακροσκελής και γεμάτη πράξεις (που φυσικά δεν έκανα με το χέρι). Ευελπιστώ για καλύτερη και πιο σύντομη λύση την οποία αυτή τη στιγμή δε βλέπω. Ελπίζω να μην έχω χάσει κάπου.

Βρίσκω ως μοναδική λύση την (z,t)=(1,2)

.

Παίρνοντας mod 4

βρίσκουμε ότι t=2t_1

Παίρνοντας mod 3

βρίσκουμε ότι z=2z_1+1

Παίρνοντας mod 5

βρίσκουμε ότι t_1=2t_2+1

Παίρνοντας mod 9

βρίσκουμε ότι z_1=3z_2

Παίρνοντας mod 7

βρίσκουμε ότι t_2=3t_3

Παίρνοντας mod 13

βρίσκουμε ότι z_2=2z_3

Παίρνοντας mod 17

βρίσκουμε ότι z_3=4z_4

και

Παίρνοντας mod 19

βρίσκουμε ότι z_4=3z_5

και

και έτσι τελικά η αρχική εξίσωση γίνεται: $5^{144\cdot z_5+1}=\displaystyle\frac{3^{144\cdot t_5+2}+1}{2}$ στην οποία παίρνοντας mod 27

, το πρώτο μέλος είναι ισότιμο με $5\pmod{27}$ ενώ το δεύτερο είναι ισότιμο με $14\pmod{27}$ , άτοπο.

Αλέξανδρος

#3

Αλέξανδρε, να είσαι καλά και σε ευχαριστώ!

Ακολουθώντας μια σκέψη μου για την λύση του θέματος εδώ, έπρεπε να λυθούν κάποιες διαφαντικές με αγνώστους στον εκθέτη. Από αυτές οι πλέον ενδιαφέρουσες είναι αυτή που τώρα συζητάμε και η $2\cdot 3^{y}=5^{x}+1$ . Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το $5^{x}+1$ διαιρείται με το $3^{y}$ αν και μόνον αν το x διαιρείται με το $3^{y-1}$ .
Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το $3^{t}+1$ διαιρείται με το $5^{z}$ αν και μόνο αν το t διαιρείται με το $2\cdot 5^{z-1}$ ,( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!

Να είσαι πάντα καλά και να σε διαβάζουμε!

dimitris pap · #4

rek2 έγραψε: η $2\cdot 3^{y}=5^{x}+1$ . Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το $5^{x}+1$ διαιρείται με το $3^{y}$ αν και μόνον αν το x διαιρείται με το $3^{y-1}$ .

Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το $3^{t}+1$ διαιρείται με το $5^{z}$ αν και μόνο αν το t διαιρείται με το $2\cdot 5^{z-1}$ ,( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!

Ηint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

dimitris pap έγραψε:
rek2 έγραψε: η $2\cdot 3^{y}=5^{x}+1$ . Αυτή έχει μοναδική λύση y=x=1, και ένας τρόπος να το δούμε είναι, να αποδείξουμε ότι το $5^{x}+1$ διαιρείται με το $3^{y}$ αν και μόνον αν το x διαιρείται με το $3^{y-1}$ .

Για τη περίπτωση που εξετάζουμε τώρα, εικάζω ότι το $3^{t}+1$ διαιρείται με το $5^{z}$ αν και μόνο αν το t διαιρείται με το $2\cdot 5^{z-1}$ ,( ή κάτι τέτοιο) αλλά θα το ξάψω κάποια άλλη στιγμή στο μέλλον, λόγω χρόνου! Πάντως, κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!!!

Ηint:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το λήμμα για να δειχτεί αυτό λέγεται lifting the exponent (ένα googlarisma θα βγάλει κάποια αποτελέσματα...). Επειτα ανισοτικά νομίζω μπορεί να δειχτεί ότι το t πρέπει να ναι πολύ μικρό

Αγαπητέ Δημήτρη, σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την βοήθειά σου!!
Να είσαι πάντα καλά, να προοδεύεις και να πραγματοποιήσεις με τον καλύτερο τρόπο τους σκοπούς της ζωής σου.

Ρεκούμης Κωνσταντίνος

#6

Ο Δημήτρης χρησιμοποίησε απ' ότι μου είχε πει το πολύ χρήσιμο αυτό λήμμα που μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ για να λύσει και την περσινή άσκηση της Βαλκανιάδας.

Δημήτρη αν δε σου κάνει κόπο γράψε τη λύση σου στο συγκεκριμένο πρόβλημα αναλυτικά για να δούμε την εφαρμογή του παραπάνω λήμματος σε πραγματικό πρόβλημα.

Αλέξανδρος

#7

Καλημέρα σε όλους!
Διοφαντικές εξισώσεις της μορφής

$\alpha x^m-\beta y^n=k$ , όπου $\alpha, \beta, x, y, k$ δοσμένοι θετικοί ακέραιοι με $x\geq2$ και $y\geq2$ και αγνώστους τα m, n

, ονομάζονται εξισώσεις Pillai..

Έχει αποδειχθεί, (με κάποιες υποθέσεις για τα $x,y,\alpha,\beta,k$ ), ότι εξισώσεις της παραπάνω μορφής έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Για την απόδειξη εφαρμόστηκε η υπερβατική μέθοδος του Baker. Δηλαδή χρησιμοποιήθηκαν φράγματα γραμμικών μορφών λογαρίθμων αλγεβρικών αριθμών.

Πράγματι, κάποιες εκθετικές διοφαντικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με πιο elementary τρόπο όπως περιέγραψαν ο Αλέξανδρος και ο Δημήτρης σε προηγούμενα μηνύματα (με modulo ή με το lifting the exponent).

Για το πρόβλημα μας αρκεί το ότι οι εξισώσεις θα έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων. Οπότε, για Α αρκετά μεγάλο τουλαχιστον ενας απο τους ακεραιους Α,Α+1,Α+2,...,Α+9 θα εχει περισσοτερους απο δυο διαφορετικους πρωτους παραγοντες.

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

Αρχιμήδης 6 · #8

rek2 έγραψε:Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:

$2\cdot 5^z=3^t+1$

Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;

Απλή εφαρμογή του θεωρήματος zsigmondi Δες εδώ http://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem

3^2+1=10=2*5

Οπότε για

υπάρχει πρώτος

που δεν ισούται με

και

που διαιρεί τον 3^t+1

οπότε δεν έχει λύσεις.

Το θεώρημα είναι χρήσιμο για εξισώσεις της μορφής αυτής.

Δημήτρης

Αρχιμήδης 6 · #9

rek2 έγραψε:Να λυθεί στους θετικούς ακέραιους, ως προς z, t, η εξίσωση:

$2\cdot 5^z=3^t+1$

Είναι δύσκολη ή κάτι δεν βλέπω;

Είναι μια καλή εφαρμογή του LTE.

Θα αποδείξω ότι μοναδική λύση της εξίσωσης είναι (z,t)=(1,2)

To LTE λήμμα λέει:

Αν x,y

δυο ακέραιοι και

περιττός έτσι ώστε p|x+y

,

τότε

, όπου

είναι η μέγιστη δύναμη του

που διαιρεί το

.

Η εξίσωση 2*5^z=3^t+1

έχει προφανή λύση την (z,t)=(1,2)

και ίσως να είναι μοναδική... Γενικά περιμένουμε πεπερασμένο πλήθος λύσεων σε μορφές a*b^x-c*d^y=e

για δεδομένους $a,b,c,d,e\neq0$

$3^t+1\equiv0mod5$ άρα $t\equiv2mod4$ συνεπώς να θέσω t=4l+2

άρα η εξίσωση θα έχει την παρακάτω μορφή,

$2*5^z=9^{2l+1}+1$

Εδώ θα εφαρμοστεί το LTE οπότε,

$u_5(2*5^z)=u_5(9^{2l+1}+1)$

z=u_5(9+1)+u_5(2l+1)

άρα η μέγιστη δύναμη του

που διαιρεί το 2l+1

είναι

συνεπώς

$2l+1=5^{z-1}t$ , (t,5)=1

,

'αρα

$2*5^z=9^{5^{z-1}t}+1$ (1)

Για κάθε a>1

επαγωγικά ισχύει ότι 10a<5^a

άρα αν θέσω $a=5^{z-1}$ για κάθε z>1

ισχύει

$2*5^z=10*5^{z-1}<5^{5^{z-1}}<9^{5^{z-1}t}+1$ άρα η (1) δεν έχει λύσεις για z>1

άρα μοναδική λύση z=1

2nisic · #10

Να βρεθούν οι φυσικοί x,y,z

τέτοιοι ώστε:

$2^{x}5^{y}=3^{z}+1$

Με mod8

έχουμε: $3^{z}+1\equiv 2or4(mod8)\Rightarrow x=1or2$

Αν

τότε έχουμε την: 4*5^y=3^z+1

Αν

έχουμε την λύση (x,y,z):(2,0,1)

Αν $y\neq 0$ με mod4

έχουμε

αλλά με

έχουμε

Αδύνατο.

Αν

τότε έχουμε την $2*5^{y}=3^{z}+1$

Αν

έχουμε την λύση (x,y,z):(1,0,0)

Αν $y\neq 0$ έχουμε την αρχική που έχει λυθεί. Δίνω άλλη μια λύση:

case1

Αν

έχουμε την λύση (x,y,z):(1,1,2)

Αν

τότε:
Με

έχουμε:
$2*5^{y}\equiv 1(mod27)\Leftrightarrow 5^{y}\equiv 14(mod27)\Leftrightarrow y\equiv 7(mod18)$
Με mid19

έχουμε:
$3^{z}\equiv 2*5^{y}-1\equiv 2*5^{7}-1\equiv 13-1\equiv 12(mod19)\Leftrightarrow z\equiv 15(mod18)$
Όμως με mod37

έχουμε:
$LHS\equiv 2*(+-18)\equiv +-1(mod37)$
$RHS\equiv 3^{z}+1\equiv 3^{15}+1\equiv 12(mod37)$
Αδύνατη.

Άρα οι λύσεις είναι (x,y,z):(1,0,0),(2,0,1),(1,1,2)

2*5^z=3^t+1

2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Re: 2*5^z=3^t+1

Μέλη σε σύνδεση