Σ.καμπής-κυρτότητα.

[S.E.Louridas]

Θεωρούμε την συνάρτηση:

Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα της και να εξεταστεί αν έχει σημεία καμπής.

S.E.Louridas

[chris_gatos]

Kαλησπέρα!

Εδώ νομίζω πως πρωτίστως θα πρέπει να δώσουμε και τους αντίστοιχους ορισμούς σύμφωνα με τους οποίους θα κινηθούμε...

Αλλιώς με το σχολικό, αλλιώς με τα υπόλοιπα.

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου κάποιες προσωπικές σκέψεις πάνω στον Α.Σ.Ε.Π.:
Αν δεν κάνω λάθος από την Α΄ Λυκείου έχουμε την έννοια της κυρτής γωνίας και του κυρτού ευθύγραμμου σχήματος. Άρα όταν ερχόμαστε στην Γ΄ Λυκείου έχουμε την επέκταση σε καμπύλες ή τμήματα τους μη ευθύγραμμες ή μη ευθύγραμμα της έννοιας της κυρτότητας. Αυτό σημαίνει ότι ο υποψήφιος και ειδικά του Α.Σ.Ε.Π. (Πτυχιούχος Μαθηματικός) κάνει πρέπει να κάνει σύνθεση των γνώσεων για να απαντήσει σωστά και όχι αποκλεισμούς.
Ας μου επιτραπεί επί πλέον να θεωρώ ότι στα Μαθηματικά δεν υπάρχουν αντικρουόμενοι ορισμοί της ίδιας έννοιας σε κάθε βαθμίδα του Μαθηματικού κύκλου αλλά ‘προσαρμογές’ στην εκάστοτε διδακτική ανάγκη με βάση κύρια την θεωρητική βάση του κοινού που απευθύνεται (άλλη στο Γυμνάσιο, άλλη στο Λύκειο κ.τ.λ.).
Τελικά το θέμα που πρότεινα για να ασχοληθούν οι συνάδελφοι (Α.Σ.Ε.Π.) και θα μιλήσω ευθέως, το πρότεινα προσπαθώντας να κάνω πρόληψη. Δηλαδή αν βρεθεί κάποιος εισηγητής και θέσει σε κάποιον διαγωνισμό Α.Σ.Ε.Π. κάτι τέτοιο ,για τους γνωστούς πλέον λόγους, να έχουμε προλάβει ώστε να μην αναλωθούμε στο πώς θα αντιμετωπίσουμε τα μετά τον διαγωνισμό γεγονότα πάνω σε ένα κακό που θα έχει γίνει. Προσωπικά λοιπόν επιμένω για προπονητικούς και μόνο λόγους στην πρόταση του θέματος αυτού ώστε να ασχοληθούν οι συνάδελφοι και βέβαια είναι και ένα θέμα που αγγίζει και την ειδική διδακτική επίσης εξεταζόμενο Μάθημα στον Α.Σ.Ε.Π. .
Πάντα με κάθε επιφύλαξη και με αίσθημα ευθύνης προς τους επισκέπτες στην Μεγαλύτερη Επιστημονική Μαθηματική οικογένεια στην χώρα mathematica.

S.E.Louridas

[chris_gatos]

Σωτήρη εσύ καλά έπραξες κι έδωσες το θέμα, μα κι εγώ εκφράζω την απορία του υποψήφιου.

Τώρα πως να απαντήσω;

Με τον ορισμό του σχολικού;

Μα η f' στο διάστημα τάδε δεν είναι γνησίως αύξουσα!

Μήπως με του Νεγρεπόντη;

Μήπως με του Ζήβα;

Μήπως με του Κάππου;

Μήπως με του Spivak;

Χμμ...νομίζω πως θα πρυτανεύσει η λογική.

Κι εγώ Σωτήρη έχω την ίδια εντύπωση μ'εσένα περί του ενιαίου των μαθηματικών μα μέχρι στιγμής

παραδέχομαι πως τα πάντα είναι θέμα ορισμού.

[S.E.Louridas]

Είναι σαφές ότι συμφωνώ με τον Χρήστο και είναι επίσης προφανές το γιατί γίνεται ο διάλογος που αφορά τον Α.Σ.Ε.Π. και όχι τους υποψήφιους προς την αντίστοιχη τριτοβάθμια σχολή.
Με βάση το Μαθηματικό Λεξικό (Duden,Rechen und Mathematik σε μετάφραση των Καθηγητών Γ.Κ.Παντελίδη και Δ.Χ.Κραβαρίτη, σελίδες 350-351) σε περιβάλλον συνεχούς τουλάχιστον συνάρτησης έχουμε ''δύο ορισμούς'',αυτόν της κυρτής και εκείνο της γνήσια κυρτής συνάρτησης όπου αποκλείεται η ισότητα στην σχέση (*).
Αντίστοιχα έχουμε ορισμούς και για την κοίλη συνάρτηση. Από ότι λοιπόν φαίνεται όταν μιλάμε για σημείο καμπής (ξ, f(ξ)) στην θέση ξ μιλάμε τελικά για αλλαγή της ΓΝΗΣΙΑΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ της συνάρτησης «κοντά» στο σημείο ξ.

S.E.Louridas

[chris_gatos]

Καλημέρα!

Θέλω απλά να γράψω αυτά που διάβασα σε δύο βιβλία του καθηγητή του Ε.Μ.Π Γ.Παντελίδη.

Πάμε πρώτα στο βιβλίο ''Ανάλυση'' τόμος Ι εκδόσεις Ζήτη, σελίδα 186.

Ορισμός 7.1

Θα λέμε ότι η συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα Ι και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Ι, είναι κυρτή(αντ.κοίλη)

στο Ι, όταν η παράγωγος της f'(x) είναι αύξουσα(αντ.φθίνουσα) στο Ι.

Πάμε στο βιβλίο ''Βιβλίο του διδάσκοντος για το μαθημα Ανάλυση της Γ'Λυκείου'' του Γ.Παντελίδη εκδόσεις Ζήτη,σελίδα 153.

Ορισμός 1

Έστω μία συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β).

Λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πρός τα άνω στο [α,β], αν η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β)

Λέμε ότι η f είναι κοίλη ή στρέφει τα κοίλα πρός τα κάτω στο [α,β], αν η f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β).

Σχόλιο: Δεν είναι απαραίτητο η παράγωγος να είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στον παραπάνω ορισμό

αρκεί η αύξουσα ή φθίνουσα, διατυπώθηκε όμως έτσι για να αποφεύγουμε παθολογικές

καταστάσεις.

Τάδε έφη Γ.Παντελίδης(τον επικαλέστηκα γιατί ο Σωτήρης πιό πάνω επικαλέιται η μετάφραση του ιδίου απο το Λεξικό τω μαθηματικών).

Ψάχνω να βρώ αυτό που είπε ο Γιάννης στη συναντησή μας, πως η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη ταυτόχρονα.

Κάπου το έχει πάρει το μάτι μου, μα δε θυμάμαι που.

Τα έγραψα όλα αυτά για να δείξω πως όλα τελικά είναι θέμα ορισμού.

Στο συγκεκριμένο θέμα υπάρχει (κατά την άποψη μου) θολούρα...

Νομίζω πως ήμουν κατατοπιστικός.

Και πάλι καλημέρα!

Υ.Γ: Το βρήκα!! Στο βιβλίο ''Στοιχεία Μαθηματικής Αναλύσεως'' Α.Φερεντίνου-Β.Σαββαϊδης τόμος 2 στη σελίδα 63

γράφει:

''Μια συνάρτηση με γράφημα ευθεία ή ημιευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα, με διεύθυνση διάφορη του άξονα των τεταγμένων

είναι συγχρόνως κυρτή και κοίλη''

Επισυνάπτω και το θεώρημα 12 του ίδιου βιβλίου σελίδα 63''Έστω συνάρτηση f:(α,β) με πεπερασμένη παράγωγο.Ικανή

και αναγκαία συνθήκη για το κυρτό(αντ. το κοίλο) της f είναι : η f ' να είναι αύξουσα (αντ.φθίνουσα).Επίσης, ικανή και

αναγκαία συνθήκη για το να'ναι η f γνησίως κυρτή (αντ.γνησίως κοίλη) είναι :

η f ' να'ναι γνησίως αύξουσα(αντ.γνησίως φθίνουσα).

Σας κούρασα; ΣΥΓΝΩΜΗ.

Μα ακόμη παραμένει η απορία μου σχετικά με το τι θα απαντήσει ενας υποψήφιος στα ερωτήματα της αρχικής άσκησης.

[S.E.Louridas]

Επειδή είναι ορατό να τεθεί σε εξετάσεις του Α.Σ.Ε.Π. είτε στο γνωστικό αντικείμενο είτε στην ειδική διδακτική, θεωρητικού τύπου θέμα που να αναφέρεται στην έννοια «σημείο καμπής του διαγράμματος συνάρτησης» ας έχουμε υπ’ όψη και τα εξής:
Ένα σημείο της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης που υπάρχει εφαπτομένη και στο οποίο αλλάζει η κυρτότητα της ονομάζεται σημείο καμπής.
Ας παρατηρήσουμε ότι πιθανόν να έχουμε σημείο καμπής σε σημείο (ξ,f(ξ)) έστω και αν στο σημείο ξ δεν ορίζεται η δεύτερη παράγωγος.
Όταν μιλάμε για εφαπτομένη καμπύλης σε σημείο της (ξ,f(ξ)) εννοούμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο αυτό και έχει την ίδια κλίση με την καμπύλη στο σημείο αυτό (Leibniz). Αν τώρα η παράγωγος της συνεχούς στο ξ συνάρτησης f στο σημείο αυτό ξ απειρίζεται θετικά ή αρνητικά τότε η εφαπτομένη του διαγράμματος της f στο σημείο
(ξ,f(ξ)) είναι η x=ξ.

S.E.Louridas

[S.E.Louridas]

Η απάντηση στην άσκηση που έθεσα και που την κατασκεύασα για να δημιουργηθεί ένας διάλογος που θα κατέληγε σε ‘στίγμα’ είναι :
Στον τελευταίο κλάδο έχουμε κοίλη και δεν υπάρχουν σημεία καμπής της f έστω και αν το ευθύγραμμο τμήμα ,που είναι η γραφική παράσταση του προ τελευταίου κλάδου, ειναι εφαπτόμενο στην κοίλη του τελευταίου κλάδου στο σημείο (3,f(3)).

S.E.Louridas