Ογκος στερεου

antegeia · #1

Έστω το επίπεδο x+2y+z=10

, του οποίου ένα τμήμα έχει προβολή στο επίπεδο του χωρίου (α) που έχει σύνορο στην έλλειψη x^2+(y/2)^2=1

. Zητείται ο υπολογισμός όγκου του στερεού που περικλείεται από το τμήμα του επιπέδου και την προβολή του (α) στο επίπεδο. Ποιο το εμβαδόν του τμήματος αυτού του επιπέδου x+2y+z=10

.

Ωmega Man · #2

Για τον όγκο έχουμε,

$\displaystyle{\begin{matrix}\bf x+2y+z & \bf= & \bf 10 \\ \bf x^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2 &\bf =& \bf1\end{matrix}\;\bf\Bigg\}\longrightarrow}$ και με αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες παίρνουμε,

$\displaystyle{\bf\iiint_{\mathbb{V}} 1 \;d\mathbb{V}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{10-r\cos(\theta)-4r\sin(\theta)}\;2r \;dz\;d\theta\;dr=20\pi}$ .

Δίνω και το σχήμα.

Ωmega Man · #3

Για το εμβαδόν,
$\displaystyle{\bf z=10-x-2y}$ κάνοντας παραμετρικοποίηση της επιφάνειας,
$\displaystyle{\bf S(x,y)=(x,y,10-x-2y)}$ και $\displaystyle{\bf ||S_{x}\times S_{y}||=||(1,0,-1)\times(0,1,-2)||=\sqrt{6}}$ . Στο επίπεδο $\displaystyle{\bf z=0}$ το χωρίο $\displaystyle{\mathbb{D}}$ ορίζεται από την σχέση $\displaystyle{\bf x^2+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}\leq 1}$ και το ζητούμενο εμβαδόν από την γνωστή σχέση,
$\displaystyle{\bf Area=\iint_{\mathbb{D}}||S_{x}\times S_{y}||\;d\mathbb{A}}$ . Κάνοντας τους υπολογισμούς και μια μετατροπή σε πολικές συντεταγμένες παίρνουμε,

$\displaystyle{\bf Area = \sqrt{6}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}2r\;d\theta\;dr=2\pi \sqrt{6}}$ .

Ογκος στερεου

Ογκος στερεου

Re: Ογκος στερεου

Re: Ογκος στερεου

Μέλη σε σύνδεση