2."ΛΙΓΗ ΣΚΕΨΗ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΛΥΣΗ"(ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ)

[S.E.Louridas]

2 . "ΛΙΓΗ ΣΚΕΨΗ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΛΥΣΗ " (ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ)

1) Επειδή πολλές φορές μέσα από το ΜΗ ΙΣΧΥΟΝ δυνατόν να κατανοήσουμε το ΙΣΧΥΟΝ ας δούμε το εξής πρόβλημα :
" Να εξεταστεί αν δύο τρίγωνα πού έχουν ίσα ορθικά τρίγωνα είναι ισα " (Ορθικό τριγώνου είναι το τρίγωνο πού έχει σάν κορυφές τά ίχνη των υψών του στίς αντίστοιχες πλευρές του .Μάλλιστα τα ύψη του αρχικού τριγώνου είναι διχοτόμοι τού ορθικού του .
Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ είναι ΟΧΙ καί αυτό γιατί , άν τρ.ΔΕΖ είναι το ορθικό τρίγωνο τού τριγώνου ΑΒΓ όταν ΑΔ,ΒΕ ΓΖ είναι τα ύψη του καί σκεφτούμε λίγο ,θα δούμε ότι το ΔΕΖ είναι επίσης ορθικό τών τριγώνων ΗΑΒ ,ΗΑΓ ,ΗΒΓ ,πύ δέν είναι ίσα με το τρίγωνο ΑΒΓ .ΕΠΟΜΕΝΩΣ "σπάει" το μονοσήμαντο της ύπαρξης .
Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ,ΗΑΒ,ΗΑΓ ΗΒΓ (Η το ορθόκεντρο του ΑΒΓ) είναι ΜΗ ΙΣΑ ανά δύο τότε η πιθανότητα τα τρίγωνα ΑΒΓ ,Α'Β'Γ' με ίσα ορθικά να είναι ισα είναι 1:4 .

2) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (Για κατασκευαστές προβλημάτων)
Μέσα από εφικτές γεωμετρικές κατασκευές σχημάτων πού οδηγούν στήν μοναδικότητα του κατασκευασθέντος μπορούμε να δημιουργήσουμε μαθ. προβλήματα πού να ζητάμε την
ισότητα σχημάτων ή αλλα θέματα αντίστοιχου πνεύματος.

3) Ας συζητήσουμε τώρα ένα πρόβλημα :
Να αποδειχθεί οτι είναι δυνατή η κατασκευή τετραπλεύρου ΑΒΓΔ εγγεγραμένου σέ κύκλο ακτίνας ρ αν επιπλέον δίνονται :ΔΓ=2ρ ,ΑΒ=λ οπου λ σταθερή θετική μικρότερη του 2ρ καί ΑΔ:ΒΓ=κ μέ κ θετική σταθερή .
ΛΥΣΗ :
Θεωρούμε τον περιγγεγραμένο κύκλο του ΑΒΓΔ και Μ το σημείο τομής τών διαγωνίων του οπότε εχουμε τα όμοια τρίγωνα ΑΜΔ καί ΒΜΓ .Αρα ΜΔ:ΜΓ=ΑΔ:ΒΓ=κ (1) .Από τήν ομοιότητα τών τριγώνων ΜΑΒκαιΜΔΓ, παίρνουμε, οτι ΑΜ:ΜΔ=ΑΒ:ΔΓ=λ:2ρ (2).Από τις σχέσεις (1),(2) εχουμε οτι :ΑΜ:ΜΓ=(κ.λ):(2ρ) (3) πού είναι σταθερή ποσότητα .Συνεπώς το σημείο Μ προσδιορίζεται σάν τομή δυο σταθερών κύκλων , ενός Απολλωνίου (σχέση 1) καί ενός ομοιόθετου τού περιγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓΔ (σχέση3)
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Εχουμε καί το συμμετρικό τού Μ ως πρός την ΔΓ πού ομως δίνει ισο σχήμα πρός το ΑΒΓΔ .

4)ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ :
Εστω δυο τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ τέτοια πού ΑΒ=ΕΖ ,ΔΓ=ΗΘ ,ΑΔ:ΒΓ=ΕΘ:ΗΖ<1 καί γων.ΔΑΓ=γων.ΔΒΓ=γων.ΘΕΗ=γων.ΘΖΗ=1ορθή .Να εξεταστεί αν τα τετράπλευρα αυτά είναι ίσα . (Υπ:ένας τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε τίς προηγούμενες απόψεις) .
S.E.Louridas

[gbaloglou]

Λεω να το διακινδυνευσω και να πω ΝΑΙ για το #4! Κατα την δικη μου οπτικη το προβλημα ειναι ισοδυναμο προς την μελετη των τετραπλευρων ΑΒΓΔ οπου Α, Β κινουνται πανω σε ημιπεριφερεια* κυκλου διαμετρου ΓΔ με |ΑΒ| και ΑΔ:ΒΓ σταθερα. Καθως το σταθερου μηκους ΑΒ γλιστραει πανω στην ημιπεριφερεια, με το Α να ταξιδευει απο το Δ προς το Γ, ο λογος ΑΔ:ΒΓ μεταβαλλεται γνησιως αυξητικα απο το 0 ως το οο**, αρα η θεση οπου ο λογος ισουται προς δοθεντα αριθμο*** ειναι μοναδικη.

*ημιπεριφερεια για να μη μας βγει στρεβλο το τετραπλευρο

**τα αντιστοιχα τοξα εχουν λογο φ/(π-θ-φ), οπου θ = μηκος τοξου ΑΒ (σταθερο) και φ μηκος τοξου ΔΑ

***για καθε λ < 1 υπαρχουν δυο τετραπλευρα ΑΒΓΔ και Α'Β'Γ'Δ', κατοπτρικα το ενα του αλλου, ωστε ΑΔ:ΒΓ = λ και Α'Δ':Β'Γ' = 1/λ

Αυτα απο την ομορφη Θεσσαλονικη

Γιωργος Μπαλογλου

[gbaloglou]

Λεω να το διακινδυνευσω και να πω ΝΑΙ για το #4! Κατα την δικη μου οπτικη το προβλημα ειναι ισοδυναμο προς την μελετη των τετραπλευρων ΑΒΓΔ οπου Α, Β κινουνται πανω σε ημιπεριφερεια* κυκλου διαμετρου ΓΔ με |ΑΒ| και ΑΔ:ΒΓ σταθερα. Καθως το σταθερου μηκους ΑΒ γλιστραει πανω στην ημιπεριφερεια, με το Α να ταξιδευει απο το Δ προς το Γ, ο λογος ΑΔ:ΒΓ μεταβαλλεται γνησιως αυξητικα απο το 0 ως το οο**, αρα η θεση οπου ο λογος ισουται προς δοθεντα αριθμο*** ειναι μοναδικη.

*ημιπεριφερεια για να μη μας βγει στρεβλο το τετραπλευρο

**τα αντιστοιχα τοξα εχουν λογο φ/(π-θ-φ), οπου θ = μηκος τοξου ΑΒ (σταθερο) και φ μηκος τοξου ΔΑ

***για καθε λ < 1 υπαρχουν δυο τετραπλευρα ΑΒΓΔ και Α'Β'Γ'Δ', κατοπτρικα το ενα του αλλου, ωστε ΑΔ:ΒΓ = λ και Α'Δ':Β'Γ' = 1/λ

Βεβαιως κατοπτρικοτητα υπαρχει και οταν το ενα τετραπλευρο βρισκεται στην ανω ημιπεριφερεια ενω το αλλο τετραπλευρο στην κατω ημιπεριφερεια: αυτο ομως δεν αλλαζει την απαντηση μου.

Αυτα απο την ομορφη Θεσσαλονικη

Γιωργος Μπαλογλου

[gbaloglou]

Με αφορμη τα ανωτερω προτεινω το εξης προβλημα (το οποιο δεν εχω λυσει ακομη):

Να επιλυθει τετραπλευρο ΑΒΓΔ γνωριζοντας τις πλευρες ΑΒ και ΓΔ, τις γωνιες ΔΑΓ και ΔΒΓ, και τον λογο ΑΔ:ΒΓ.

Γιωργος Μπαλογλου