Διανύσματα 2

#1

Αν $\left| {\vec{\alpha }} \right|=2,\left| {\vec{\beta }} \right|=1,\left( \vec{\alpha },\vec{\beta } \right)=\frac{\pi }{3}$ , να δείξετε ότι ισχύει $\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)+\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\frac{5}{4}\vec{\alpha }+2\vec{\beta }$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

$\displaystyle{\pi \rho o{\beta _{\mathop \alpha \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to }$

$\displaystyle{\pi \rho o{\beta _{\mathop \beta \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \beta \limits^ \to }$

και $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1}$
άρα έχουμε

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to + \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to \, + \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{1} \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \\ = \frac{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}} + \mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to }}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to \, + \left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}} \right) \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \left( {1 + \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to }}{4}} \right)\mathop \alpha \limits^ \to \, + \left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}} \right) \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \frac{5}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to + 2 \cdot \mathop \beta \limits^ \to \\ \end{array}}$

Αποδεικνύω και τους τύπους που χρησιμοποίησα στην αρχή ...
$\displaystyle{\begin{array}{l} \pi \rho o{\beta _{\mathop \alpha \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \lambda \cdot \mathop \alpha \limits^ \to \\ \mathop \alpha \limits^ \to \cdot \pi \rho o{\beta _{\mathop \alpha \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \lambda \cdot {\mathop \alpha \limits^ \to ^{\,2}} \\ \mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \lambda \cdot {\mathop \alpha \limits^ \to ^{\,2}} \Leftrightarrow \lambda = \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}}}} \\ \end{array}}$

#3

Ακριβως!!

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε: $\displaystyle{\pi \rho o{\beta _{\mathop \alpha \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to }$

$\displaystyle{\pi \rho o{\beta _{\mathop \beta \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \beta \limits^ \to }$

και $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1}$
άρα έχουμε

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to + \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to \, + \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{1} \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \\ = \frac{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}} + \mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to }}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to \, + \left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}} \right) \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \left( {1 + \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to }}{4}} \right)\mathop \alpha \limits^ \to \, + \left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}} \right) \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \frac{5}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to + 2 \cdot \mathop \beta \limits^ \to \\ \end{array}}$

#4

Αν $\left| {\vec{\alpha }} \right|=2,\left| {\vec{\beta }} \right|=1,\left( \vec{\alpha },\vec{\beta } \right)=\frac{\pi }{3}$ , να δείξετε ότι ισχύει $\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)+\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\frac{5}{4}\vec{\alpha }+2\vec{\beta }$
ΛΥΣΗ 1 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
$\displaystyle{\pi \rho o{\beta _{\mathop \alpha \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to }$

$\displaystyle{\pi \rho o{\beta _{\mathop \beta \limits^ \to }}\left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right) = \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \beta \limits^ \to }$

και $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1}$
άρα έχουμε

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to + \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{{{{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}}} \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to \, + \frac{{\mathop \beta \limits^ \to \cdot \left( {\mathop \alpha \limits^ \to + \mathop \beta \limits^ \to } \right)}}{1} \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \\ = \frac{{{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}} + \mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to }}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to \, + \left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}} \right) \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \left( {1 + \frac{{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to }}{4}} \right)\mathop \alpha \limits^ \to \, + \left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}}} \right) \cdot \mathop \beta \limits^ \to = \frac{5}{4} \cdot \mathop \alpha \limits^ \to + 2 \cdot \mathop \beta \limits^ \to \\ \end{array}}$
ΛΥΣΗ 2
$\vec{\beta }\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\vec{\beta }\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)$ (1) και
$\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\lambda \vec{\beta }$ (2).
Ισχύει $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=2\cdot 1\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}=2\frac{1}{2}=1$ .
Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) οπότε $\vec{\beta }\lambda \vec{\beta }=\vec{\beta }\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)\Leftrightarrow \frac{\lambda {{{\vec{\beta }}}^{2}}}{{{{\vec{\beta }}}^{2}}}=\frac{\vec{\beta }\vec{\alpha }+{{{\vec{\beta }}}^{2}}}{{{{\vec{\beta }}}^{2}}}\Leftrightarrow \lambda =\frac{\vec{\beta }\vec{\alpha }+{{{\vec{\beta }}}^{2}}}{{{{\vec{\beta }}}^{2}}}=\frac{1+{{1}^{2}}}{{{1}^{2}}}=2$ .
Άρα από (2), $\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=2\vec{\beta }$ .
Με αντίστοιχη διαδικασία έχουμε $\vec{\alpha }\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\vec{\alpha }\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)$ (3)
και $\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\kappa \vec{\alpha }$ (4) .
Αντικαθιστούμε την (4) στην (3) , οπότε
$\vec{\alpha }\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\vec{\alpha }\cdot \kappa \vec{\alpha }\Leftrightarrow$ $\frac{{{\alpha }^{2}}+\vec{\alpha }\vec{\beta }}{{{{\vec{\alpha }}}^{2}}}=\frac{\kappa {{{\vec{\alpha }}}^{2}}}{{{{\vec{\alpha }}}^{2}}}\Leftrightarrow \kappa =\frac{{{2}^{2}}+1}{{{2}^{2}}}=\frac{5}{4}$ οπότε από την (4) έχουμε $\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\frac{5}{4}\vec{\alpha }$ .
Άρα $\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)+\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\left( \vec{\alpha }+\vec{\beta } \right)=\frac{5}{4}\vec{\alpha }+2\vec{\beta }$

#5

Και εποπτικά:
Στο σχήμα είναι:
$\ddot{\vec{OA}}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{\beta }$
με:
$\left|\vec{\alpha } \right|=2,\left|\vec{\beta } \right|=1$
και
$\hat{\vec{\alpha },\vec{\beta }}=\frac{\pi }{3}$
Για την προβολή της διαγωνίου στην ΟΑ είναι:
$\pi \varrho o\beta_{\vec{\alpha }}(\vec{\alpha } +\vec{\beta })=\vec{OA}+\vec{AM_1}$
όμως:
$AM_1=(AM).cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$
άρα:
$\pi \varrho o\beta_{\vec{\alpha }}(\vec{\alpha } +\vec{\beta })=\vec{OA}+\frac{1}{4}\vec{OA}=\frac{5}{4} \vec{OA}(1)$
όμοια δείχνεται ακόμα:
$\pi \varrho o\beta_{\vec{\\beta }}(\vec{\alpha } +\vec{\beta })=2\vec{OB }(2)$
άρα το άθροισμα κατά μέλη των (1) και (2) δίνει τη ζητούμενη.

#6

Και μια διαφορετική προσέγγιση, στην άσκηση του Κώστα.

: 28-12-2010 Geometry γ.png (20.07 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

Έστω τα διανύσματα $\displaystyle \overrightarrow {OA} = \vec \alpha ,\;\overrightarrow {OB} = \vec \beta ,$ με μέτρα 2 και 1 αντίστοιχα, ώστε να σχηματίζουν γωνία 60°.

Τοποθετώ ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Ο και Β(1, 0).
Τότε το Α βρίσκεται στην ευθεία $\displaystyle y = \sqrt 3 x$ και έχει συντεταγμένες $\displaystyle {\rm A}\left( {1,\;\sqrt 3 } \right)$

Άρα $\displaystyle \vec \alpha = \left( {1,\;\sqrt 3 } \right),\;\;\vec \beta = \left( {1,\;0} \right)$

Οπότε: $\displaystyle \vec \alpha + \vec \beta = \overrightarrow {{\rm O}\Gamma } = \left( {2,\;\sqrt 3 } \right)$ , οπότε $\displaystyle \Gamma \left( {2,\;\sqrt 3 } \right)$

Η προβολή του $\displaystyle \overrightarrow {{\rm O}\Gamma }$ στον Ox είναι $\displaystyle \pi \rho o\beta \left( {\vec \alpha + \vec \beta } \right)_{\vec \beta } = \overrightarrow {{\rm O}\Delta } = \left( {2,\;0} \right)$

Η προβολή του $\displaystyle \overrightarrow {{\rm O}\Gamma }$ στην ΟΑ είναι το διάνυσμα $\displaystyle \overrightarrow {{\rm O}{\rm E}}$ .

Η ΓΕ είναι κάθετη στην ΟΑ, και ΑΓ // Οx, άρα $\displaystyle \widehat{{\rm A}\Gamma {\rm E}} = 30^\circ$ , οπότε $\displaystyle {\rm A}{\rm E} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2} = \frac{1}{2}$ , οπότε $\displaystyle {\rm O}{\rm E} = \frac{5}{2}$ .

Αφού $\displaystyle \widehat{{\rm E}{\rm O}x} = 60^\circ$ η τετμημένη του Ε είναι $\displaystyle \frac{5}{4}$ ,

άρα $\displaystyle E\left( {\frac{5}{4},\;\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)\; \Rightarrow \;\pi \rho o\beta \left( {\vec \alpha + \vec \beta } \right)_{\vec \alpha } = \overrightarrow {{\rm O}{\rm E}} = \left( {\frac{5}{4},\;\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)$

$\displaystyle \;\pi \rho o\beta \left( {\vec \alpha + \vec \beta } \right)_{\vec \alpha } + \pi \rho o\beta \left( {\vec \alpha + \vec \beta } \right)_{\vec \beta } = \\ \\ =\left( {\frac{5}{4} + 2,\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right) = \frac{5}{4}\left( {1,\sqrt 3 } \right) + 2\left( {1,\;0} \right) = \frac{5}{4}\vec \alpha + 2\;\vec \beta$

ΕΡΩΤΗΣΗ: Θα ήθελα τη γνώμη σας: Το "κάρφωμα" των διανυσμάτων σε ορθοκανονικό σύστημα είναι προφανώς νόμιμο, εφόσον εμείς ορίζουμε το κέντρο και τον Οx. Συνηθίζεται κάτι τέτοιο; Υπάρχει σχετική βιβλιογραφία; Πιστεύετε ότι μπορεί να μάς διευκολύνει (σε κάποιες περιπτώσεις) μια τέτοια τεχνική ή είναι πολύς κόπος για το τίποτα;

ΣΧΟΛΙΟ: Απέφυγα να χρησιμοποιήσω εξίσωση ευθείας στην εύρεση του Ε για να μην βγω εντελώς "εκτός θέματος".

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. Απαντώντας και σε φιλική συζήτηση με συνάδελφο, που μάς παρακολουθεί, ο οποίος εξέφρασε την εκτίμηση ότι το 70% των θεμάτων και των λύσεων του mathematica δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην τάξη.
Πέρα από το ότι το

δεν παίζει το ρόλο του σχολικού συμπληρώματος, αλλά ξανοίγεται και σε πάμπολλα άλλα θέματα, προσθέτω τα εξής:
Στους φακέλους με ονομασία Μαθηματικά Γυμνασίου-Λυκείου συνήθως δεν ασχολούμαστε με τελείως τετριμμένα θέματα. Το Γιατί είναι ευνόητο και το έχουμε παλαιότερα αναλύσει.
Πολλές φορές προσεγγίζουμε θέματα με πολλούς τρόπους.
Εννοείται ότι δεν μεταφέρουμε στις τάξεις μας όλες τις μεθόδους και τις λύσεις που αναρτούμε εδώ!
Κάνουμε μάθημα "κανονικό", συντονισμένο με τις δυνατότητες και τις ανάγκες της τάξης.
Το

είναι και χώρος πειραματισμού, φαντασίας, ανταλλαγής μεθόδων κι εμπλουτισμού των γνώσεων μας.
Προφανώς, λοιπόν, στην τάξη θα προτιμήσω τις λύσεις των φίλων παραπάνω κι όχι την τελευταία. Όμως, αν βρω μαθητή πρόθυμο να ψάξει παραπάνω, θα του δώσω να πειραματιστεί και με κάτι διαφορετικό...

Διανύσματα 2

Διανύσματα 2

Re: Διανύσματα 2

Re: Διανύσματα 2

Re: Διανύσματα 2

Re: Διανύσματα 2

Re: Διανύσματα 2

Μέλη σε σύνδεση