είναι ρητός ή όχι ;

irakleios · #1

Noμίζω δεν έχει ξανασυζητηθεί .

Ο αριθμός $2^{\sqrt{2}}$ είναι ρητός ή άρρητος ;

#2

Μήπως εννοείς τον $2^{\sqrt{2}}$ γιατί δεν φαίνεται καλά;
Εν πάσει περιπτώσει νομίζω, αν θυμάμαι καλά, η υπερβατικότητα ή μη του $2^{\sqrt{2}}$ ήταν ένα από τα 23 σημαντικότερα ανοικτά προβλήματα που έθεσε ο D. Hilbert στο δεύτερο Διεθνές συνέδριο Μαθηματικών που έγινε στο Παρίσι το 1900.
Δόθηκε γενικότερη απάντηση μετά 34 χρόνια από τον Ρώσο A. Gelford, ο οποίος απέδειξε ότι αν ο $0<a \neq 1$ είναι αλγεβρικός και ο

άρρητος, τότε ο a^b

είναι υπερβατικός, συνεπώς ο $2^{\sqrt{2}}$ , ως υπερβατικός, είναι άρρητος.
Φιλικά

#3

Ίσως κάνω λάθος, αλλά θα συμφωνήσω με τον Σπύρο παραπάνω. Πρόκειται για την (υπερβατική) σταθέρα Gelfond-Schneider.

#4

Σπύρο και Θάνο, όπως τα λέτε είναι.

Επί τη ευκαιρία ας πω μία χαριτωμένη λύση σε ένα πρόβλημα, που πρωτοάκουσα στα φοιτητικά μου χρόνια.

Να αποδειχθεί με ελάχιστες γνώσεις (π.χ. Α΄ Γυμνασίου) ότι υπάρχουν άρρητοι a, b

με

ρητός.

Υπάρχουν διάφορες λύσεις, αλλά η χαριτωμένη είναι η εξής:

Εξετάζουμε τον $\sqrt2 ^ {\sqrt 2}$ . Αν είναι ρητός, τελειώσαμε με $a=b=\sqrt2$ .

Αν είναι άρρητος, παίρνουμε $a= \sqrt2 ^ {\sqrt 2}$ , που είπαμε ότι είναι άρρητος, και $b= \sqrt2$ . Οπότε $a^b= \left(\sqrt2 ^ {\sqrt 2}\right)^ {\sqrt 2}= \sqrt2 ^ {2} = 2 =$ ρητός.

Συμπέρασμα, είτε ο $\sqrt2 ^ {\sqrt 2}$ είτε ο $\left(\sqrt2 ^ {\sqrt 2}\right)^ {\sqrt 2}$ (δεν ξέρουμε ποιός) λύνει το πρόβλημά μας!

Αυτά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ.
Σύμφωνα με τα παραπάνω, και συγκεκριμένα σύμφωνα με το θεώρημα Gelfond-Schneider, αυτός που λύνει το πρόβλημα είναι ο δεύτερος αριθμός.
Αν ψάξετε Gelfond, Schneider, theorem στο Google, είμαι βέβαιος ότι θα σας βγάλει πάρα πολλά διαμάντια.

Cauchy-Schwartz · #5

Καλησπέρα,

Αν ο δοσμένος αριθμός ήταν άρρητος, τότε και ο δοσμένος αριθμός στην ρίζα 2 θα ήταν επίσης άρρητος, άτοπον αφού ο 4
είναι ρητός.

Ελπίζω να είμαι σωστός...

#6

Cauchy-Schwartz έγραψε:Καλησπέρα,

Αν ο δοσμένος αριθμός ήταν άρρητος, τότε και ο δοσμένος αριθμός στην ρίζα 2 θα ήταν επίσης άρρητος, άτοπον αφού ο 4
είναι ρητός.

Ελπίζω να είμαι σωστός...

Δεν είναι έτσι, γιατί όπως απέδειξε αμέσως πιο πάνω ο Μιχάλης, υπάρχουν άρρητοι a,b

ώστε ο

να είναι ρητός.

Φιλικά

#7

Cauchy-Schwartz έγραψε:Καλησπέρα,

Αν ο δοσμένος αριθμός ήταν άρρητος, τότε και ο δοσμένος αριθμός στην ρίζα 2 θα ήταν επίσης άρρητος, άτοπον αφού ο 4
είναι ρητός.

Ελπίζω να είμαι σωστός...

Χμμμμ

α) άρρητος στη άρρητο δεν κάνει κατ' ανάγκη άρρητο. Π.χ. $e^{\ln 2}=2$ = ρητός ενώ είναι άρρητοι οι $e, \ln 2$ (το τελευταίο διότι αν $\ln 2 = \frac {p}{q}$ τότε 2^q = e^p

, που αντιβαίνει στην υπερβατικότητα του

).

β) Κάνοντας τις πράξεις που λες, νομίζω ότι δεν βγαίνει 4 αλλά $2^{\sqrt 2}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Cauchy-Schwartz · #8

Σας ευχαριστώ πολύ για την διόρθωση.

Ήθελα πολύ να μάθω το λάθος μου.

είναι ρητός ή όχι ;

είναι ρητός ή όχι ;

Re: είναι ρητός ή όχι ;

Re: είναι ρητός ή όχι ;

Re: είναι ρητός ή όχι ;

Re: είναι ρητός ή όχι ;

Re: είναι ρητός ή όχι ;

Re: είναι ρητός ή όχι ;

Re: είναι ρητός ή όχι ;

Μέλη σε σύνδεση