ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ

G.Tsikaloudakis · #1

Μια άσκηση που τακτικά έβαζα στα διαγωνίσματα (όταν είχαμε κάποιο επίπεδο και ενδιαφέρον των μαθητών , για τη ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ...)
Έστω ΡΑ, ΡΒ εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο (Ο,ρ) και Μ σημείο του τόξου {AB}

διαφορετικό των Α,Β.
Να αποδείξετε ότι :
$\frac{{(PMA)}}{{(PMB)}} = \frac{{MA^2 }}{{MB^2 }}$

#2

Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων (ΡΜΑ), (ΡΜΒ) είναι:

$\displaystyle\ \frac{(PMA)}{\left(PMB \right)}=\frac{\frac{\left(PA \right)\left(M\Delta \right)}{2}}{\frac{\left(PB \right)\left(ME \right)}{2}}=\frac{M\Delta }{ME}\ \ (1)$
Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΜΑΔ) και (ΟΗΑ) προκύπτει:

$\displaystyle \frac{\left(MA \right)/2}{OA}=\frac{M\Delta }{MA}\Rightarrow \left(MA \right)^2=2\left(OA \right)\left(M\Delta \right)\ \ (2)$

Όμοια από την ομοιότητα των (ΜΒΕ) και (ΟΘΒ) προκύπτει:

$\left(MB \right)^2=2\left(OB \right)\left(ME \right)\ \ (3)$

Από τις (2) και (3) έχουμε:

$\displaystyle \frac{\left(MA \right)^2}{\left(MB \right)^2}=\frac{M\Delta }{ME} \ \ \left(4 \right)$

Από τις (1) και (4) συμπεραίνεται:

$\displaystyle \frac{\left(PMA \right)}{\left(PMB \right)}=\frac{\left(MA \right)^2}{\left(MB \right)^2}$

mathfinder · #3

Καλησπέρα στο

Κι άλλη μία λύση :
Είναι ΡΑ=ΡΒ (εφαπτόμενα τμήματα) και τα τρίγωνα ΡΑΜ , ΜΑΒ έχουν μία γωνία ίση , όπως και τα τρίγωνα ΡΜΒ , ΜΑΒ .
Οπότε :
$\displaystyle{\frac{{\left( {PMA} \right)}}{{\left( {PMB} \right)}} = \frac{{\left( {PMA} \right)}}{{\left( {MAB} \right)}} \cdot \frac{{\left( {MAB} \right)}}{{\left( {PMB} \right)}} = \frac{{PA \cdot MA}}{{MB \cdot AB}} \cdot \frac{{AB \cdot MA}}{{MB \cdot PB}} = \frac{{M{A^2}}}{{M{B^2}}}}$ .

Αθ. Μπεληγιάννης

Υ.Γ. : Μία βοήθεια . Πως μπορώ να μικρύνω τις διαστάσεις της συνημμένης εικόνας ;

#4

Θανάση Καλημέρα.
Φαντάζομαι πως είναι σχήμα του Geogebra και πως έχεις επιλέξει
ένα ορθογώνιο τμήμα της επιφάνειας του, το αντέγραψες και το επικόλλησες
στο βοήθημα της ζωγραφικής κι από κεί το έσωσες ως PNG.

Αν έτσι έχουν τα πράγματα, τότε για να το μικρύνεις έχεις δύο τρόπους:

1ος) Κατά την αρχική αντιγραφή(από επιφάνεια του λογισμικού) να μικρύνεις το σχήμα
ανάλογα με την δικιά σου επιθυμία, να το αντιγράψεις και μετά να ακολουθήσεις τα ίδια βήματα που περιγράφηκαν ανωτέρω.

2ος) Στο πρόγραμμα της ζωγραφικής μπορείς κι εκεί να κάνεις τη σμίκρυνση με ποσοστά επί των διαστάσεων από
το παραθυράκι Image->stretch and skew. Αφού κάνεις αυτό επιλέγεις με το βέλος επιλογής του
προγράμματος αυτού το σχήμα, το αντιγράφεις ξανά και το επικολλάς σε νέο παράθυρο του ιδίου
προγράμματος επιλέγοντας το μέγεθος του φόντου.
Μετά πάλι σώσιμο σε PNG κλπ.
Ο τρόπος αυτός όπως και ο πρώτος έχει πάντα τις δικές
του αδυναμίες. Διορθώνει όμως αρκετά το θέμα.

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ.
1. Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι εξαγωγής απευθείας από το geogebra σε μορφή PNG. Εγώ πάντως
προτιμώ απ΄όλους τους τρόπους τον 1ο που περιέγραψα.

2.Νομίζω πως δεν σε μπέρδεψα.

ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ

ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ

Re: ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ

Re: ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ

Re: ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ

Μέλη σε σύνδεση