Εξίσωση

pito · #1

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e*(-x)+x-1. Να λυθεί η εξίσωση f(x)=f(x*2)+lnx.

#2

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{f(x)-f(x^2)=lnx}$

Aν x>1 με ΘΜΤ παίρνουμε $\displaystyle{(x-x^2)\frac{e^u-1}{e^u}=lnx}$ αδύνατον αφού για χ>1 το 1ο μέλος είναι <0 ενώ το 2ο >0 (1<x<u<x^2)

ὀμοια όταν 0<χ<1

Η χ=1 επαληθεύει άρα είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης

pito · #3

Δεν είχα σκεφτεί το ΘΜΤ.Σας ευχαριστώ θερμά!

parmenides51 · #4

pito έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=e^{-x}+x-1}$ . Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=f(x^2)+lnx}$ .

Μια άλλη ιδέα

$\displaystyle{f(x)=f(x^2)+lnx \Leftrightarrow f(x)+lnx=f(x^2)+2lnx \Leftrightarrow f(x)+lnx=f(x^2)+lnx^2 \Leftrightarrow g(x)=g(x^2)}$

όπου $\displaystyle{g(x)=f(x)+lnx}$ για κάθε $\displaystyle{x\in(0,+\infty)}$

Εύκολα αποδεικνύεται πως η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$
και η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ ως άθροισμα γνησίως αύξουσων συναρτήσεων
άρα η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι 1-1

στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$

$\displaystyle{ g(x)=g(x^2) \mathtop \limits{_{\Leftrightarrow}^{g 1-1}} x=x^2}$ $\displaystyle{ \limits{_{\Leftrightarrow}^{x\in(0,+\infty)}} x=1}$

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση