Μία με παραλληλόγραμμα και τραπέζια.

[nsmavrogiannis]

Θεωρούμε μία σταθερή ευθεία και ένα σημείο K εκτός της .

periodic.png (20.07 KiB) Προβλήθηκε 1887 φορές

Για κάθε oνομάζουμε:
το συμμετρικό του ως προς
το συμμετρικό του ως προς
το συμμετρικό του ως προς
το συμμετρικό του ως προς
Να αποδείξετε ότι το μήκος του είναι 4πλάσιο της απόστασης του από την .
Μαυρογιάννης

ΥΓ Δείτε και το viewtopic.php?f=52&t=1314

[Γιώργος Ρίζος]

Επιχειρώ μία απάντηση δίχως παραλληλόγραμμα και τραπέζια...

symetria 01.png (29.45 KiB) Προβλήθηκε 1744 φορές

Τα ισαπέχουν από την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το , (λόγω συμμετρίας), οπότε είναι στην ίδια ευθεία.
Τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε .
Αν α η απόσταση του και κ η απόσταση του από την (ε), τότε = 2α.
Επίσης, ΓΚ = ΚΔ = α + κ, άρα = 2(α + 2κ) = 2α +4κ.

Οπότε = 2α +4κ -2α =4κ.

Γιώργος Ρίζος

Στο συνημμένο ανάλογη αντιμετώπιση με συντεταγμένες, διακρίνοντας τις περιπτώσεις: Α στο θετικό ημιεπίπεδο, στον άξονα (ε) και στο αρνητικό, δίχως λόγια.

[vittasko]

Έστω το σημείο και λόγω συμμετρίας του σχήματος, έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και ότι το σημείο συμμετρικό του ως προς την ευθεία κείται επί της ευθείας

Άρα, από και ( συμμετρικό του ), προκύπτει ότι .

Με το θεώρημα Θαλή τώρα, στο τρίγωνο έχουμε όπου και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[Φωτεινή]

καλημέρα
δεν έχω και το καλύτερο σχήμα αλλά δεν πειράζει

mavr.PNG (14.26 KiB) Προβλήθηκε 1713 φορές

[gbaloglou]

Λιγα σχολια για το τι κρυβεται πισω απο το σχημα (και την λυση) της Φωτεινης...

Οπως βλεπουμε, το Α3 προκυπτει απο το Α με στροφη 180 μοιρων περι το Λ ... το οποιο Λ προκυπτει απο το Κ μεσω ανακλασης περι την ευθεια ε: λιγο πιο αφηρημενα, η στροφη (180 μοιρων) περι το Λ ειναι η ανακλαση της στροφης (180 μοιρων) περι το Κ. Ομως, αυτη η στροφη των 180 μοιρων περι το Λ εχει προκυψει και κατα εναν αλλο τροπο: συνθεση ανακλασης περι την ε ακολουθουμενης απο στροφη 180 μοιρων περι το Κ ακολουθουμενης απο ανακλαση περι την ε! Συμβολικα, ε[Κ] = ε*Κ*ε.

Γενικωτερα, αν φ και σ ειναι δυο ισομετριες του επιπεδου -- δυο μετασχηματισμοι δηλαδη που διατηρουν τις αποστασεις, οπως καθε στροφη (οχι κατ' αναγκην 180 μοιρων) και καθε ανακλαση -- τοτε φ[σ] = φ*σ*φ', οπου φ' ειναι η αντιστροφη της φ ισομετρια: η εικονα της σ υπο την φ ισουται προς την αντιστροφη της φ επι την σ επι την φ. [Στην περιπτωση που η φ ειναι ανακλαση, τοτε φ' = φ, και ετσι δικαιολογειται η ανωτερω ισοτητα ε[Κ] = ε*Κ*ε.] Αυτη ειναι η Αρχη της Συζυγιας (Conjugacy Principle) που συζητω στο βιβλιο μου "Isometrica" (διατιθεται δωρεαν στον ιστο) και χρησιμοποιω εκτενως για την γεωμετρικη ταξινομηση των 17 κρυσταλλογραφικων ομαδων του επιπεδου (Κεφαλαιο 8) -- δειτε ειδικωτερα τις σελιδες 395-397 (8.0.3), οπου εξεταζονται η στροφη της ολισθανακλασης και η ολισθανακλαση της στροφης. [Ολισθανακλαση (glide reflection) ειναι η γεωμετρικα σημαντικωτατη συνθεση ανακλασης και παραλληλης προς αυτην ολισθησης.]

Επιστρεφοντας τωρα στο αρχικο προβλημα: μιλαμε για την συνθεση Κ*ε*Κ*ε = Κ*(ε*Κ*ε) = Κ*Λ, δηλαδη για την συνθεση δυο στροφων 180 μοιρων: το οτι μια τετοια συνθεση ειναι μια ολισθηση (παραλληλη μεταφορα) με διανυσμα 2*ΛΚ ειναι πλεον μια απλη και χαριτωμενη ασκηση* -- τοσο απλη και χαριτωμενη που την παρουσιαζα και στους μη μαθηματικα προσανατολισμενους φοιτητες μου στην Αμερικη, στο μαθημα Symmetries (ιστοσελιδα http://www.oswego.edu/~baloglou/103 , οπου βρισκεται και το βιβλιο "Isometrica" που ανεφερα προηγουμενως).

Γιωργος Μπαλογλου

*

[gbaloglou]

Συνεχιζω με μια διαφορετικη προσεγγιση βασισμενη στην ισοτητα Κ*ε*Κ*ε = (Κ*ε)*(Κ*ε), στην παρατηρηση οτι το τετραγωνο καθε ολισθανακλασης (με διανυσμα w) ειναι ολισθηση (με διανυσμα 2w), και στο θεωρημα οτι η συνθεση Κ*ε ανακλασης ε ακολουθουμενης απο στροφη 180 μοιρων Κ ειναι ολισθανακλαση (με αξονα διερχομενο απο το Κ και καθετο προς την ε και διανυσμα 2ΟΚ, οπου Ο η προβολη του Κ στην ε) -- βλεπε συνημμενο.

Γιωργος Μπαλογλου

[nsmavrogiannis]

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις που μας προφέρατε, προσεγμένες και διαφορετικές.
Από την προσέγγιση του Γιώργου Μπαλόγλου (αξίζει να επισκεφθείτε την ιστοσελίδα του) φαίνεται τι χάνουν οι νέοι μας με την απουσία της διδασκαλίας των σημειακών μετασχηματισμών στην Γεωμετρία. 'Οταν πριν χρόνια (πολλά) ως μαθητής τους πρωτοσυνάντησα άρχισαν, αίφνης, τα σχήματα να κινούνται. Για μένα η Γεωμετρία, μετά, δεν ήταν ίδια. Κρίμα που στερούμε από τους μαθητές μας μία σημαντική διανοητική περιπέτεια (γιατί αν δεν είναι και αυτό τα Μαθηματικά, συγχωρείστε μου τον αφορισμό, δεν είναι τίποτα).
Μαυρογιάννης

[gbaloglou]

Νικο ευχαριστω για τις επισημανσεις σου. Κλεινω, απο πλευρας μου, με μια συντομη ματια (βλεπε συνημμενο) στις περιοδικες συναρτησεις απο την σκοπια των border patterns -- τα οποια συζητω, σε εντελως στοιχειωδες επιπεδο, στο δευτερο κεφαλαιο του "Isometrica" -- που εχει τις ριζες της στο αρχικο προβλημα.

Ο τυπος p111 εχει μονον ολισθηση -- απλη περιοδικη συναρτηση χωρις αλλες ιδιοτητες.

Ο τυπος pm11 εχει καθετη ανακλαση -- 'αρτια' περιοδικη συναρτηση, f(-x+a) = f(x+a).

Ο τυπος p112 εχει στροφη (180 μοιρων) -- 'περιττη' περιοδικη συναρτηση, f(-x+b) = -f(x+b).

Ο τυπος p1a1 εχει ολισθανακλαση -- 'αντιπεριοδικη' (αρα και περιοδικη) συναρτηση, f(x+c) = -f(x).

Ο τυπος pma2 εχει καθετη ανακλαση *και* στροφη, *αρα (μεσω συνθεσης) και ολισθανακλαση*.

[Δεν ειναι συμπτωση το γεγονος οτι ενω ο pm11 και ο p112 εχουν δυο ειδη αξονων καθετης ανακλασης και δυο ειδη κεντρων στροφης 180 μοιρων, αντιστοιχα, ο pma2 εχει μονον ενα απο το καθενα: αυτο συμβαινει διοτι δυο οποιαδηποτε κεντρα στροφης απεικονιζονται το ενα στο αλλο ειτε με ολισθηση ειτε με ανακλαση, και αντιστροφως δυο οποιοιδηποτε αξονες καθετης ανακλασης απεικονιζονται ο ενας στον αλλο ειτε με ολισθηση ειτε με στροφη 180 μοιρων -- Αρχη της Συζυγιας (βλεπε προηγουμενο μηνυμα μου)!]

Η σπουδαιοτητα του αρχικου προβληματος εγκειται στο οτι η αρτιοτητα (f(-x+a) = f(x+a)) *μαζι* με την περιττοτητα (f(-x+b) = -f(x+b)) *συνεπαγονται* την (αντι)περιοδικοτητα (f(x+c) = -f(x) και f(x+2c) = f(x)). Μπορει παντως να αποδειχθει, ειτε αλγεβρικα ειτε γεωμετρικα, οτι αρτιοτητα + αντιπεριοδικοτητα ----> περιττοτητα και οτι περιττοτητα + αντιπεριοδικοτητα ----> αρτιοτητα. Οι 2 δηλαδη ιδιοτητες μαζι συνεπαγονται την τριτη (κανονας 2-3).

Γιωργος Μπαλογλου

ΥΓ Υπαρχουν δυο ακομη συνοριοτυποι -- αποδοση της στιγμης για τον ορο border patterns -- που ομως δεν συμπεριλαμβανονται στο παρακατω συνημμενο ... διοτι δεν αντιστοιχουν σε συναρτησεις ... καθοτι εχουν *οριζοντια* ανακλαση! (Ο p1m1 εχει μονον αυτην (συν ολισθηση, εξ ορισμου), ο pmm2 την συνδυαζει (κανονας 2-3 και εδω) με καθετη ανακλαση και στροφη 180 μοιρων.)

[gbaloglou]

Υστερογραφο στο υστερογραφο (του προηγουμενου μηνυματος): παραδειγματα τυπων p1m1 και pmm2 που προκυπτουν απο τους 5 συνοριοτυπους (του προηγουμενου μηνυματος) με *οριζοντια* ανακλαση: