ΤΕΣΣEΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΡΤΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα ΑΒΕΖ, ΒΓΗΘ, ΓΔΙΚ και ΑΔΛΜ. Αν Ν, Ν’ είναι τα μέσα των ΖΗ και ΚΜ αντίστοιχα δείξτε ότι το τετράπλευρο ΑΝ’ΓΝ είναι τετράγωνο.

Ας την αφήσουμε για διαπραγμάτευση την Κυριακή στους μαθητές (Ομορφη αλλά όχι δύσκολη)

Ευχαριστώ

Στάθης Κούτρας

[Eukleidis]

Ας επαναφέρουμε τις ασκήσεις αυτές μιας και θα ήθελα να δω μια λύση.

[S.E.Louridas]

Μερικές νότες λύσης ώστε οι μικροί μας φίλοι να συμπληρώσουν.
Αν θεωρήσουμε στο σχήμα του εισηγητή του θέματος στο τρίγωνο ΒΑΓ τις κάθετες επί της ευθείας ΑΓ, τις ΖΖ΄, ΒΒ΄, ΝΝ΄, ΗΗ΄, συμβαίνουν τα εξής:
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΖΖ΄Α, ΒΑΒ΄ είναι ίσα, όπως επίσης και τα τρίγωνα Β´à και ΗΓΗ΄. Άρα έχουμε: ΖΖ΄=ΑΒ΄ και ΗΗ΄=´à οπότε ΖΖ΄+ΗΗ΄=ΑΓ και επίσης 2ΝΝ΄= ΖΖ΄+ΗΗ΄, δηλαδή ΑΓ=2ΝΝ΄. Επίσης από την ίδια ισότητα των τριγώνων παίρνουμε:ΑΖ΄=ΒΒ΄=ΓΗ΄, που μας οδηγεί στο ότι το σημείο Ν΄ που είναι μέσο του Ζ΄Η΄ από το τραπέζιο ΖΖ΄Ή΄Η. Τελικά η ΝΝ΄ είναι κάθετη στην ΑΓ και ισούται με το μισό της πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΝΑΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Πάνω στα προαναφερθέντα στηρίζεται και το πανέμορφο πρόβλημα του Θησαυρού που έκρυψε με «Μαθηματική πονηριά» ο πειρατής.

S.E.Louridas

[Stavroulitsa]

Καλησπέρα! Θα βάλω τη λύση μου γιατί μου άρεσε το σχήμα... Θα ήθελα τη γνώμη σας αν είναι σωστή η τελική διατύπωση...
Όπως είπε ο κύριος Λουρίδας τα τρίγωνα ΖΑΖ' και ΒΑΒ' είναι ίσα και τα τρίγωνα ΒΓΒ' και ΗΓΗ' είναι ίσα. Ομοίως και από την άλλη πλευρά τα τρίγωνα ΜΑΜ' και ΔΑΔ' είναι ίσα και ΚΓΚ' και ΔΓΔ' είναι ίσα. Επομένως όπως αναφέρθηκε ΝΡ//Ζ'Ζ//Η'Η και , οπότε . Ομοίως και Ν'Ρ//ΚΚ'//ΜΜ' και και άρα αφου τα ΝΡ και Ν'Ρ είναι μεσοκάθετοι στο ΑΓ, συμπίπτουν. Άρα επειδή οι διαγώνιοι του ΑΝΓΝ' είναι ίσες( επειδή ) και τέμνονται κάθετα και υάρχουν δύο ορθές, το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

ΥΓ. Κύριε Λουρίδα τι λέει το πρόβλημα με τον θησαυρό;;;

[S.E.Louridas]

Σταυρουλίτσα
Ενας Αρχηγός πειρατής πήγε σε ενα ξερονήσι και έθαψε τον θησαυρό σε ένα σημείο με βάση τρία δένδρα μία μπανανιά (Α), μία χουρμαδιά (Γ) και ενα ξερόδενδρο(Β), κοντα στην ακτή ως εξής:
Έσκαψε πρός τα έξω από την περιοχή που όριζαν τα δέντρα και κάθετα στην ΒΑ (από το Α) και σημάδεψε σημείο Κ ωστε ΚΑ=ΑΒ, μετά πρός τα έξω από την περιοχή που όριζαν τα δέντρα και κάθετα στην ΒΓ (από το Γ) και σημάδεψε σημείο Λ ωστε ΓΛ=ΓΒ. Στην συνέχεια σκάβοντας κατά ευθεία ενωσε τα σημεία Κ,Λ και βρήκε το μέσο του ΚΛ όπου έθαψε τον θησαυρό, αφερόντας στην συνέχεια επιμελώς κάθε ίχνος. Μετά από ενα χρόνο επέστρεψε και διαπύστωσαν ότι το ξερόδενδρο δεν υπήρχε.Ολοι πάγωσαν αλλά ο Αρχηγός πειρατής ξεκαρδίστηκε στα γέλια.Γιατί άραγε τόση ευτυχία;

S.E.Louridas

[S.E.Louridas]

Είναι λοιπόν ευτυχισμένος γιατί γνωρίζει Γεωμετρία, οπότε Χαράσει ένα ευθύγραμμο τμήμα (στο χώμα, σκάβοντας προσεκτικά) από το Α έως το Γ, βρίσκει το μέσον του, σκάβει από το μέσον κατά ευθεία και κάθετα στο ΑΓ μέχρι να φτάσει σέ απόσταση από το μέσο ίση με το μισό της ΑΓ. Σκάβουν στο σημείο αυτό. Η πιθανότητα να βρούν με την πρώτη τον θησαυρό είναι 1:2. Αρα αν δεν τον βρούν με την πρώτη θα πάνε στην συμμετρική θέση ως πρός την ΑΓ και θα τον βρούν.

(*) Γιά να μην κουράσουμε την Σταυρουλίτσα μας αφού αυτή την εποχή θα έχει γενικώτερο διάβασμα. Ετσι και αλλιώς την θεωρούμε μικρή (στην ηλικία) συναδέλφισά μας.

S.E.Louridas

[Μπάμπης Στεργίου]

Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα ΑΒΕΖ, ΒΓΗΘ, ΓΔΙΚ και ΑΔΛΜ. Αν Ν, Ν’ είναι τα μέσα των ΖΗ και ΚΜ αντίστοιχα δείξτε ότι το τετράπλευρο ΑΝ’ΓΝ είναι τετράγωνο.

Ας την αφήσουμε για διαπραγμάτευση την Κυριακή στους μαθητές (Ομορφη αλλά όχι δύσκολη)

Ευχαριστώ

Στάθης Κούτρας

Μπορούμε εναλλακτικά να θεωρήσουμε πχ το συμμετρικό Σ του Α ως προς το Ν, οπότε το τρίγωνο ΑΓΝ βγαίνει ισοσκελές(αρκεί μια σύγκριση τριγώνων, λόγω του σχηματιζόμενου παραλληλογράμμου) .

Μπάμπης