Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

#1

Κάπου είδα πρόσφατα την επαναφορά της συζήτησης (εδώ),

Αφού το θυμηθήκαμε:

Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle \frac{{xy}}{{2x + 3y}} = 5,\;\;\frac{{\omega x}}{{3\omega + 5x}} = 2,\;\;\frac{{y\omega }}{{5y + 2\omega }} = 3$

Από τις εξετάσεις του Μαΐου του 1978 (2ο Λύκειο Κέρκυρας, Α΄ Λυκείου).

(Δοκιμάστε το! Τέτοιοι μετασχηματισμοί δεν διδάσκονται σήμερα. Αν θυμάμαι καλά, υπήρχε παρόμοιο λυμένο στο βιβλίο).

edit: Η επαλήθευση των (σχετικά δύστροπων αποτελεσμάτων) είναι από μόνη της μια πανέμορφη διαδικασία! Φαίνεται πολύπλοκη και βαρετή, αλλά τελικά δεν θέλει κόπο, ΘΕΛΕΙ ΤΡΟΠΟ. Δοκιμάστε και θα με θυμηθείτε!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Παρατηρούμε ότι $x,\psi ,\omega \neq 0$
Αν αντιστρέψουμε τα κλάσματα προκύπτει όπως σημείωσε ο Γιώργος μία ασκηση από το βιβλίο της Α λυκείου(παλιό)
και μία αντίστοιχη υπάρχει ( με 5 αγνώστους ) στο βιβλίο της Β κατεύθυνσης.

Χρήστος

mathxl · #3

Αφού ο Χρήστος έδωσε το χιντ, το οποίο έχω γράψει μέχρι ένα σημείο, δίνω αυτά που έχω γράψει
$\displaystyle{\frac{{xy}}{{2x + 3y}} = 5 \wedge \frac{{\omega x}}{{3\omega + 5x}} = 2 \wedge \frac{{y\omega }}{{5y + 2\omega }} = 3 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{2x + 3y}}{{xy}} = \frac{1}{5} \wedge \frac{{3\omega + 5x}}{{\omega x}} = \frac{1}{2} \wedge \frac{{5y + 2\omega }}{{y\omega }} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2 \cdot \frac{1}{y} + 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{5} \wedge 3 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{\omega } = \frac{1}{2} \wedge 5 \cdot \frac{1}{\omega } + 2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{3}}$

τώρα μπορούμε να

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
(Δοκιμάστε το! Τέτοιοι μετασχηματισμοί δεν διδάσκονται σήμερα.

edit: Η επαλήθευση των (σχετικά δύστροπων αποτελεσμάτων) είναι από μόνη της μια πανέμορφη διαδικασία! Φαίνεται πολύπλοκη και βαρετή, αλλά τελικά δεν θέλει κόπο, ΘΕΛΕΙ ΤΡΟΠΟ. Δοκιμάστε και θα με θυμηθείτε!

Αν δεν ασχοληθείτε μετά από τόση διαφήμιση, τι να πω, ... κρίμα θα είναι

Θα συμφωνήσω και θα διαφημίσω και εγώ το θέμα.

Στα παλιά καλά βιβλία πάντα υπήρχε ένα κεφάλαιο επίλυσης συστημάτων με χρήση τεχνασμάτων.

Δυστυχώς, εξαφανίστηκαν από τα σύγχρονα βιβλία με αποτέλεσμα να υπάρχει αρκετή δυστοκία στην διαχείριση παραστάσεων από τους μαθητές μας.

Τι να πει κανείς! Ίσως ο Σολωμός το είπε καλύτερα: περασμένα μεγαλεία και διηγώντας τα να κλαις.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathxl · #5

Μιχάλη τέτοιο σύστημα έχω δει για πρώτη φορά σε βιβλίο του Τόγκα ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΤΟΜΟΣ Α ΕΚΔΟΣΗ ΟΓΔΟΗ...από την ΄σχολική βιβλιοθήκη..
Αντιγράφω από την σελίδΑ 348
Άσκηση 1756
$\displaystyle{\frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{12}}{5} \wedge \frac{{\omega x}}{{\omega + x}} = \frac{{36}}{{13}} \wedge \frac{{y\omega }}{{y + \omega }} = \frac{{18}}{5}}$

10 ΟΚΤΩΒΡΊΟΥ 1959 ΑΘΗΝΑ

#6

mathxl έγραψε:Μιχάλη τέτοιο σύστημα έχω δει για πρώτη φορά σε βιβλίο του Τόγκα...από την ΄σχολική βιβλιοθήκη..

Όταν ήμουν μαθητής, ο Καθηγητής είχε την επιλογή να μην διδάξει από το σχολικό βιβλίο αλλά από εξωσχολικό της επιλογής του. Μία από τις στάνταρ επιλογές ήταν η Άλγεβρα (αντίστοιχα η Γεωμετρία ή η Τριγωνομετρία) του Τόγκα ή άλλων ανάλογων.
Είχα την τύχη να περάσω από τέτοια διαδικασία.

Ας προσθέσω ότι και στο πάλαι ποτέ δικό μου βιβλίο, δηλαδή στο εγκεκριμένο των Πολυκλαδικών Λυκείων της δεκαετίας του '80, είχα βάλει τέτοιες ασκήσεις στο ανάλογο κεφάλαιο.

Σταχυολογώ μερικές

Να επιλυθούν τα

1) (παρόμοια με την παραπάνω)

$\frac {yz}{3y+2z}=6, \frac {zx}{3x+2z}=8, \frac {xy}{5x+4y}=6$

2) $(x+y) + xy = 11, \,\,(x+y)xy=30$

3) $(x+y)+x^2+y^2=18,\,\, (x+y)(x^2+y^2)=65$

4) $x-y+xy=13,\,\, x^2y -xy=30$

και πάει λέγοντας (κλαίγοντας;).

Φιλικά,

Μιχάλης

Γιώργος Απόκης · #7

Aν και απαντήθηκε η ερώτηση για το αρχικό σύστημα, ας δούμε λίγο τη διαδικασία:

Αφού $x,y,w\neq 0$ , από την πρώτη εξίσωση έχουμε (αντιστρέφοντας):

$\displaystyle{\frac{2x+3y}{xy}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow \frac{2}{y}+\frac{3}{x}=\frac{1}{5}$ . Oμοίως προκύπτουν $\displaystyle{\frac{3}{x}+\frac{5}{w}=\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{\frac{5}{w}+\frac{2}{y}=\frac{1}{3}}}$ .

Aν θέσουμε $\displaystyle{\frac{3}{x}=p}$ , $\displaystyle{\frac{2}{y}=q}$ και $\displaystyle{\frac{5}{w}=r}$ , προκύπτουν οι εξισώσεις:

$\displaystyle{q+p=\frac{1}{5}}$ (1), $\displaystyle{p+r=\frac{1}{2}}$ (2), $\displaystyle{q+r=\frac{1}{3}}$ (3). Από το σύστημα αυτό έχουμε:

$\displaystyle{p=\frac{11}{60}\Leftrightarrow \frac{3}{x}=\frac{11}{60}\Leftrightarrow x=\frac{180}{11}}$

$\displaystyle{q=\frac{1}{60}\Leftrightarrow \frac{2}{y}=\frac{1}{60}\Leftrightarrow y=120}$

$\displaystyle{r=\frac{19}{60}\Leftrightarrow \frac{5}{w}=\frac{19}{60}\Leftrightarrow w=\frac{300}{19}}$

Edit: Επαλήθευση !
$\displaystyle{\frac{xy}{2x+3y}=\frac{\frac{180}{11}\cdot 120}{\frac{360}{11}+360}=\frac{180\cdot 120}{360+11\cdot 360}=\frac{180\cdot 120}{180(2+11\cdot 2)}=\frac{120}{24}=5}$

$\displaystyle{\frac{wx}{3w+5x}=\frac{\frac{300}{19}\cdot \frac{180}{11}}{\frac{900}{19}+\frac{900}{11}}=\frac{300\cdot 180}{11\cdot 900+19\cdot 900}=\frac{300\cdot 180}{300(11\cdot 3+19\cdot 3)}=\frac{180}{90}=2}$

$\displaystyle{\frac{yw}{5y+2w}=\frac{120\cdot \frac{300}{19}}{600+\frac{600}{19}}=\frac{120\cdot 300}{19\cdot 600+600}=\frac{120\cdot 300}{300(19 \cdot 2+2)}=\frac{120}{40}=3}$

#8

Ευχαριστώ όλους τους συμμετέχοντες!

Φαντάζομαι θα συμφωνήσετε ότι η ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ, όπως αναλυτικά την παρουσίασε ο Γιώργος έχει τη δική της αξία.

Μιχάλη, υπάρχει κάπου το βιβλίο σου για τα Πολυκλαδικά;

#9

Γιώργος Ρίζος έγραψε: <...>
Μιχάλη, υπάρχει κάπου το βιβλίο σου για τα Πολυκλαδικά;

Γιώργο, πονεμένη ιστορία.
Το Υπουργείο μου έδωσε μόνο τρία αντίτυπα, όσα και τα παιδιά μου. Άσε που το ένα ... μου το έφαγε ο σκύλος μου!

Τώρα που βρήκα βάθρο να πω τον πόνο μου, αντιγράφω από σχετικό μήνυμα που είχα αναρτήσει αλλού:

Για το βιβλίο δεν πληρώθηκα τέσσερα αεροπορικά εισητήρια (= όσο το μηνιάτικό μου τότε) παρ' όλη την πρόσκληση με τα εκτός έδρας από το Υπουργείο Παιδείας, για να παραστώ σε συμβούλιο για το βιβλίο κατά την διάρκεια προετοιμασιών. Επίσης δεν πληρώθηκα το λυσάρι (=το 40% της συνολικής, πενιχρής, αμοιβής). Φυσικά τα ζήτησα. Το Υπουργείο τα αναγνώρισε αλλά μόνος τρόπος να τα έπαιρνα, επειδή η αρχική πληρωμή είχε ήδη γίνει, ήταν δια της δικαστικής οδού. Εννοείται ότι στο τέλος τα χάρισα γιατί δεν πηγαίνουν την Μαμά Πατρίδα στα δικαστήρια.

Δυστυχώς το Υπουργείο μου την ξαναέφερε αργότερα, όταν έγραψα το βιβλίο των Μαθηματικών του Σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας (δεν κυκλοφορεί πια): Το κατέθεσα σε τετραχρωμία (δικά μου έξοδα), όπως άλλωστε ζήταγαν οι προδιαγραφές του Υπουργείου. Όμως τελικά τυπώθηκαν τα πάντα σε μαυρογκρί, ακόμη και οι ωραίοι πίνακες ζωγραφικής που είχα στην αρχή κάθε κεφαλαίου, με τα ιστορικά σχόλια. Άσε που όσους τύπους είχα σε πλαίσιο, ο εκτυπωτής του Υπουργείου δεν τους διάβασε και στη θέση τους τύπωσε κάτι σαν @#$*&% .
Για το βιβλιο αυτό δεν πήρα παρά μόνο ένα αντίτυπο (εννοείται, το κρύβω με μεγάλη επιμέλεια από τον σκύλο μου, μπας και το φάει και αυτό).

Φιλικά,

Μιχάλης.

#10

Μιας και το συζητήσαμε και όλοι μας αναπολούμε τα μαθητικά μας χρόνια όπου κυριαρχούσαν τα τεχνάσματα στα συστήματα, προτείνω αν κανείς θυμάται ή αν έχει κάποιο παλιό 'Ευαγγέλιο" να γράψει και άλλα συστήματα που λύνονται με κάποιο τέχνασμα για να τα θυμηθούμε και εμείς και να τα μάθουν οι νεώτεροι.

Απλώς εγώ θα υπενθυμίσω το ομογενές σύστημα που διδασκόταν παλιά (και πρόσφατα το ξαναείδαμε στο mathematica)

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί το σύστημα:

$x^{2}+3xy-2y^{2}=-1 3x^{2}-xy+y^{2}=5$

#11

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:...
προτείνω αν κανείς θυμάται ή αν έχει κάποιο παλιό 'Ευαγγέλιο" να γράψει και άλλα συστήματα που λύνονται με κάποιο τέχνασμα για να τα θυμηθούμε και εμείς και να τα μάθουν οι νεώτεροι.

Γράφω μερικά:

Σ1)

$\displaystyle{x+2(y+z+w)=19,}$

$\displaystyle{y+3(z+x+w)=26,}$

$\displaystyle{z+4(x+y+w)=31,}$

$\displaystyle{w+5(x+y+z)=34.}$

Σ2)

$\displaystyle{x^2+xy+y^2=a^2,}$

$\displaystyle{y^2+yz+z^2=b^2,}$

$\displaystyle{z^2+zx+x^2=c^2,}$ όπου $\displaystyle{a,b,c\in \mathbb{R}.}$

Σ3)

$\displaystyle{x^2-x=yz+1,}$

$\displaystyle{y^2-y=zx+1,}$

$\displaystyle{z^2-z=xy+1.}$

#12

matha έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:...
προτείνω αν κανείς θυμάται ή αν έχει κάποιο παλιό 'Ευαγγέλιο" να γράψει και άλλα συστήματα που λύνονται με κάποιο τέχνασμα για να τα θυμηθούμε και εμείς και να τα μάθουν οι νεώτεροι.

Γράφω μερικά:

Σ1)

$\displaystyle{x+2(y+z+w)=19,}$

$\displaystyle{y+3(z+x+w)=26,}$

$\displaystyle{z+4(x+y+w)=31,}$

$\displaystyle{w+5(x+y+z)=34.}$

Σ2)

$\displaystyle{x^2+xy+y^2=a^2,}$

$\displaystyle{y^2+yz+z^2=b^2,}$

$\displaystyle{z^2+zx+x^2=c^2,}$ όπου $\displaystyle{a,b,c\in \mathbb{R}.}$

Σ3)

$\displaystyle{x^2-x=yz+1,}$

$\displaystyle{y^2-y=zx+1,}$

$\displaystyle{z^2-z=xy+1.}$

#13

matha έγραψε:Σ1)

$\displaystyle{x+2(y+z+w)=19,}$

$\displaystyle{y+3(z+x+w)=26,}$

$\displaystyle{z+4(x+y+w)=31,}$

$\displaystyle{w+5(x+y+z)=34.}$

Τέτοια συστήματα διδασκόμασταν (την δεκαετία του 1970), στην Τετάρτη Γυμνασίου.

Ονομάζουμε $\displaystyle{x+y+z+w=k}$ . (ΣΧΕΣΗ 1). Tότε το δοσμένο σύστημα, γράφεται:

$\displaystyle{x+2(k-x)=19}$

$\displaystyle{y+3(k-y)=26}$

$\displaystyle{z+4(k-z)=31}$

$\displaystyle{w+5(k-w)=34}$

Άρα:

$\displaystyle{x=2k-19}$

$\displaystyle{y=\frac{3k-26}{2}}$

$\displaystyle{z=\frac{4k-31}{3}}$

$\displaystyle{w=\frac{5k-34}{4}}$

Αντικαθιστώντας στην σχέση (1), βρίσκουμε $\displaystyle{k=10}$ .

Άρα:

$\displaystyle{x=1 , y=2 , z=3 , w=4}$ , που είναι και η λύση του συστήματος.

#14

matha έγραψε:Σ2)

$\displaystyle{x^2+xy+y^2=a^2,}$

$\displaystyle{y^2+yz+z^2=b^2,}$

$\displaystyle{z^2+zx+x^2=c^2,}$ όπου $\displaystyle{a,b,c\in \mathbb{R}.}$

Από την πρώτη εξίσωση αφαιρώ την δεύτερη και έχω: $\displaystyle{(x-z)(x+y+z)=a^2 -b^2}$

Eπίσης από την δεύτερη εξίσωση, αφαιρώ την τρίτη και έχω: $\displaystyle{(y-x)(x+y+z)=b^2 -c^2}$

Διαιρώντας τώρα κατά μέλη αυτές, έχω: $\displaystyle{\frac{x-z}{y-x}=\frac{a^2 -b^2}{b^2 -c^2}:=k}$ . Άρα:

$\displaystyle{z=(1+k)x-ky}$ . Αντικαθιστώντας τώρα το

στην πρώτη από τις δοσμένες εξισώσεις, έχουμε:

$\displaystyle{k(x-y)(2x+y+kx-ky)=b^2 -a^2:=m\Rightarrow (k+2)x^2 -(2k+1)xy+(k-1)y^2=\frac{m}{k}}$

Θεωρώ τώρα το σύστημα:

$\displaystyle{(k+2)x^2 -(2k+1)xy+(k-1)y^2 =\frac{m}{k}}$

$\displaystyle{x^2 +xy+y^2 =a^2}$

Το σύστημα΄αυτό είναι ομογενές δευτέρου βαθμού και θέτοντας $\displaystyle{y=nx , x\neq 0}$ , και διαιρώντας έπειτα τις εξισώσεις κατά μέλη, βρίσκουμε το

, και η συνέχεια είναι πλέον γνωστή.

#15

matha έγραψε:Σ3)

$\displaystyle{x^2-x=yz+1,}$

$\displaystyle{y^2-y=zx+1,}$

$\displaystyle{z^2-z=xy+1.}$

Aπό την πρώτη εξίσωση, αφαιρώ την δεύτερη και έχω:

$\displaystyle{(x-y)(x+y+z-1)=0}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x-y=0\Rightarrow y=x}$
Τότε έχω το σύστημα:

$\displaystyle{y=x}$

$\displaystyle{x^2 -x=xz+1}$

$\displaystyle{z^2 -z=x^2 +1}$

Aφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες από αυτές, βρίσκω:

$\displaystyle{(x-z)(2x+z-1)=0}$

Οπότε αν $\displaystyle{x=z}$ , προκύπτει η λύση $\displaystyle{(x,y,z)=(-1 , -1, -1)}$

Aν $\displaystyle{2x+z-1=0}$ , τότε $\displaystyle{z=1-2x}$ , οπότε εύκολα βρίσκουμε τις λύσεις:

$\displaystyle{(x-y-z)=(1,1,-1) , (x,y,z)=(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{5}{3})}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x+y+z=1}$

Τότε $\displaystyle{x+y=1-z}$ και αφού η τρίτη από τις δοσμένες εξισώσεις, γράφεται: $\displaystyle{xy=z^2 -z-1}$ , έχουμε το ακόλουθο σύστημα:

$\displaystyle{x+y=1-z}$

$\displaystyle{xy=z^2 -z-1}$

Άρα τα $\displaystyle{x,y}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης:

$\displaystyle{t^2-(1-z)t+z^2 -z-1=0}$

Η διακρίνουσα είναι: $\displaystyle{D=(1-z)^2 -4(z^2 -z-1)=-3z^2+2z+5}$ και είναι $\displaystyle{D\geq 0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{z\epsilon [-1,\frac{5}{3}]}$

Συνεπώς το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, $\displaystyle{(x,y,z)=(\frac{1-z+\sqrt{-3z^2 +2z+5}}{2},\frac{1-z-\sqrt{-3z^2 +2z+5}}{2} , z)$ ,

όπου ο $\displaystyle{z}$ είναι πραγματικός αριθμός, που ανήκει στο $\displaystyle{[-1,\frac{5}{3}]}$

Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Re: Σύστημα 3x3 με τεχνάσματα

Μέλη σε σύνδεση