Και εγγράψιμο και περιγράψιμο
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
-
- Δημοσιεύσεις: 927
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm
Και εγγράψιμο και περιγράψιμο
Μία άσκηση από την "Επιπεδομετρία" του Γ.Τσίντσιφα:
Τετράπλευρον εναι εγγράψιμον καί περιγράψιμον. Να δειχθεί ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι .
Υ.Γ. Άνευ λύσεως
Τετράπλευρον εναι εγγράψιμον καί περιγράψιμον. Να δειχθεί ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι .
Υ.Γ. Άνευ λύσεως
Re: Και εγγράψιμο και περιγράψιμο
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι
"Αν είναι το εμβαδό του τετραπλεύρου, τότε ".
Η παραπάνω σχέση έπεται άμεσα από τον τύπο του Brahmagupta
,
όπου ,
διότι είναι , αφού το τετράπλευρο είναι περιγγεγραμμένο σε κύκλο.
Φιλικά,
Αχιλλέας
"Αν είναι το εμβαδό του τετραπλεύρου, τότε ".
Η παραπάνω σχέση έπεται άμεσα από τον τύπο του Brahmagupta
,
όπου ,
διότι είναι , αφού το τετράπλευρο είναι περιγγεγραμμένο σε κύκλο.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Και εγγράψιμο και περιγράψιμο
Ας μου επιτρέψει ο Αχιλλέας να βάλω αναλυτικά την απόδειξη του τύπου που αναφέρει ο οποίος πράγματι είναι το "κλειδί" της υπόθεσης καθώς και μια αναλυτική λύση. Ευχαριστώ!!
Λήμμα: Αν είναι τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο (σχήμα 1) με να δείξετε ότι:
με την ημιπερίμετρο του (δηλαδή )
Απόδειξη
Θεωρούμε γνωστό ότι ισχύει ο τύπος του Ήρωνα σε τρίγωνο. Δηλαδή για τρίγωνο με πλευρές ισχύει:
ο οποίος διαμορφώνεται ως εξής:
Αν και τότε για το τρίγωνο βάσει του τύπου θα είναι
Όμως προφανώς
Από την ομοιότητα των τριγώνων ισχύει:
οπότε τις σχέσεις προκύπτει ότι με
Επειδή τώρα το τετράπλευρο είναι και περιγράψιμο σε κύκλο θα είναι:
οπότε ο τύπος διαμορφώνεται: . Για το θέμα μας τώρα (σχήμα 2) προφανώς είναι:
Από
Φιλικά
Στάθης
Λήμμα: Αν είναι τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο (σχήμα 1) με να δείξετε ότι:
με την ημιπερίμετρο του (δηλαδή )
Απόδειξη
Θεωρούμε γνωστό ότι ισχύει ο τύπος του Ήρωνα σε τρίγωνο. Δηλαδή για τρίγωνο με πλευρές ισχύει:
ο οποίος διαμορφώνεται ως εξής:
Αν και τότε για το τρίγωνο βάσει του τύπου θα είναι
Όμως προφανώς
Από την ομοιότητα των τριγώνων ισχύει:
οπότε τις σχέσεις προκύπτει ότι με
Επειδή τώρα το τετράπλευρο είναι και περιγράψιμο σε κύκλο θα είναι:
οπότε ο τύπος διαμορφώνεται: . Για το θέμα μας τώρα (σχήμα 2) προφανώς είναι:
Από
Φιλικά
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Λήμμα - άσκηση.png (48.35 KiB) Προβλήθηκε 1554 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης