Και εγγράψιμο και περιγράψιμο

Grigoris K. · #1

Μία άσκηση από την "Επιπεδομετρία" του Γ.Τσίντσιφα:

Τετράπλευρον $\displaystyle{AB \Gamma \Delta}$ εναι εγγράψιμον καί περιγράψιμον. Να δειχθεί ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι $\rho \displaystyle = \frac{2\sqrt{\alpha\beta\gamma \delta}}{\alpha + \beta +\gamma +\delta}$ .

Υ.Γ. Άνευ λύσεως

#2

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι

"Αν

είναι το εμβαδό του τετραπλεύρου, τότε $E^2=\alpha\beta\gamma\delta$ ".

Η παραπάνω σχέση έπεται άμεσα από τον τύπο του Brahmagupta

$E^2=(s-\alpha)(s-\beta)(s-\gamma)(s-\delta)$ ,

όπου $s=\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\delta}{2}$ ,

διότι είναι $s=\alpha+\gamma=\beta+\delta$ , αφού το τετράπλευρο είναι περιγγεγραμμένο σε κύκλο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Ας μου επιτρέψει ο Αχιλλέας να βάλω αναλυτικά την απόδειξη του τύπου που αναφέρει ο οποίος πράγματι είναι το "κλειδί" της υπόθεσης καθώς και μια αναλυτική λύση. Ευχαριστώ!!

Λήμμα: Αν $\displaystyle{ ABCD }$ είναι τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο (σχήμα 1) με $\displaystyle{ AB = a,BC = b,CD = c,DA = d }$ να δείξετε ότι: $\displaystyle{ \boxed{\left( {ABCD} \right) = \sqrt {\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {s - d} \right)} } }$

με $\displaystyle{ s }$ την ημιπερίμετρο του $\displaystyle{ ABCD }$ (δηλαδή $\displaystyle{ 2s = a + b + c + d }$ )

Απόδειξη

Θεωρούμε γνωστό ότι ισχύει ο τύπος του Ήρωνα σε τρίγωνο. Δηλαδή για τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ με πλευρές $\displaystyle{ a,b,c }$ ισχύει:

$\displaystyle{ \left( {ABC} \right) = \sqrt {\tau \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)} ,\tau = \frac{{a + b + c}} {2} }$ ο οποίος διαμορφώνεται ως εξής: $\displaystyle{ \boxed{\left( {ABC} \right) = \frac{1} {4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} }:\left( 1 \right) }$

Αν $\displaystyle{ E \equiv CB \cap DA }$ και $\displaystyle{ CE = x,DE = y }$ τότε για το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle DEC }$ βάσει του τύπου $\displaystyle{ \left( 1 \right) }$ θα είναι $\displaystyle{ \boxed{\left( {DEC} \right) = \frac{1} {4}\sqrt {\left( {x + y + c} \right)\left( { - x + y + c} \right)\left( {x - y + c} \right)\left( {x + y - c} \right)} }:\left( 2 \right) }$

Όμως προφανώς $\displaystyle{ \vartriangle AEB \sim \vartriangle DEC \Rightarrow \frac{{\left( {AEB} \right)}} {{\left( {DEC} \right)}} = \left( {\frac{a} {c}} \right)^2 = \frac{{a^2 }} {{c^2 }} \Rightarrow \frac{{\left( {AEB} \right) - \left( {DEC} \right)}} {{\left( {DEC} \right)}} = \frac{{a^2 - c^2 }} {{c^2 }} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {ABCD} \right)}} {{\left( {DEC} \right)}} = \frac{{a^2 - c^2 }} {{c^2 }}}:\left( 3 \right) }$

Από την ομοιότητα των τριγώνων ισχύει:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \frac{{EC}} {{CD}} = \frac{{EA}} {{AB}} \Rightarrow \frac{x} {c} = \frac{{y - d}} {a} \hfill \\ \frac{{ED}} {{CD}} = \frac{{EB}} {{AB}} \Rightarrow \frac{y} {c} = \frac{{x - b}} {a} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} \frac{{x + y}} {c} = \frac{{x + y - \left( {b + d} \right)}} {a} \Rightarrow c \cdot \left[ {x + y - \left( {b + d} \right)} \right] = a\left( {x + y} \right) \Rightarrow \ldots \boxed{x + y = \frac{{b + d}} {{c - a}}}:\left( 4 \right) }$

οπότε τις σχέσεις $\displaystyle{ \left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right) }$ προκύπτει ότι $\displaystyle{ \boxed{\left( {ABCD} \right) = \sqrt {\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {s - d} \right)} }:\left( 5 \right) }$ με $\displaystyle{ 2s = a + b + c + d }$

Επειδή τώρα το τετράπλευρο είναι και περιγράψιμο σε κύκλο θα είναι: $\displaystyle{ a + c = b + d \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2s = 2a + 2c \hfill \\ 2s = 2b + 2d \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} s = a + c \hfill \\ s = b + d \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

οπότε ο τύπος $\displaystyle{ \left( 5 \right) }$ διαμορφώνεται: $\displaystyle{ \boxed{\left( {ABCD} \right) = \sqrt {abcd} }:\left( 6 \right) }$ . Για το θέμα μας τώρα (σχήμα 2) προφανώς είναι:

$\displaystyle{ \left( {ABCD} \right) = \left( {IAB} \right) + \left( {IBC} \right) + \left( {ICA} \right) + \left( {IAD} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) = \frac{1} {2}a\rho + \frac{1} {2}b\rho + \frac{1} {2}c\rho + \frac{1} {2}d\rho }$ $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\left( {ABCD} \right) = \frac{1} {2}\rho \left( {a + b + c + d} \right)}:\left( 7 \right) }$

Από $\displaystyle{ \left( 6 \right),\left( 7 \right) \Rightarrow \frac{1} {2}\rho \left( {a + b + c + d} \right) = \sqrt {abcd} \Rightarrow \boxed{\rho = \frac{{2\sqrt {abcd} }} {{a + b + c + d}}} }$

Φιλικά
Στάθης

Και εγγράψιμο και περιγράψιμο

Και εγγράψιμο και περιγράψιμο

Re: Και εγγράψιμο και περιγράψιμο

Re: Και εγγράψιμο και περιγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση