+διαστική

vasilis.volos.13 · #1

Μια άσκηση πριν πάω για ύπνο γιατί αύριο το πρωί ξεκιννούν πάλι τα φροντιστήρια

Αν ισχύει a+b+c=0

όπου $a,b,c\in \mathbb R$ να δειχθεί ότι :

1) $\;\;(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)$

2) $\;\;\displaystyle \frac{a^7+b^7+c^7}{7}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\times\frac{a^5+b^5+c^5}{5}$

3) $\;\;5(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=6(a^5+b^5+c^5)$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Η ιδέα είναι η εξής:

Τα $\displaystyle{a,b,c}$ θεωρούμε, ότι είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3-sx^2+px-q=0,}$ όπου $\displaystyle{s=a+b+c,p=ab+bc+ca,q=abc.}$

Εν προκειμένω, τα $\displaystyle{a,b,c}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{\boxed{x^3=q-px}}$ .

Είναι $\displaystyle{a^3=q-pa}$ (1), άρα $\displaystyle{\sum a^3=\sum (q-pa)=3q-p(a+b+c)=3q=3abc}$ (η γνωστή εφαρμογή ξανααποδείχθηκε).

$\displaystyle{\bullet}$ Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της (1) με $\displaystyle{a}$ προκύπτει $\displaystyle{a^4=qa-pa^2}$ , άρα $\displaystyle{\sum a^4=q(a+b+c)-p\sum a^2=2p^2,}$ αφού $\displaystyle{a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)=-2p.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με $\displaystyle{a^2,}$ οπότε είναι $\displaystyle{a^5=-pa^3+qa^2,}$ άρα

$\displaystyle{\sum a^5=-p\sum a^3+q\sum a^2=-p\cdot 3q+q(-2p)=-5pq.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με $\displaystyle{a^4,}$ οπότε $\displaystyle{a^7=-pa^5+qa^4,}$ άρα

$\displaystyle{\sum a^7=-p\sum a^5+q\sum a^4=-p(-5pq)+q\cdot 2p^2=7p^2q.}$

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, δίνονται άμεσα οι ζητούμενες αποδείξεις.

parmenides51 · #3

Η άσκηση 2

#4

Μία συμπλήρωση από το A Problem Book in Mathematics του V.A. Krechmar, εκδόσεις MIR, Μόσχα:

Έστω $\displaystyle{a,b,c}$ με $\displaystyle{a+b+c=0.}$ Θέτουμε $\displaystyle{s_k=a^k+b^k+c^k}$ .

Ζητείται να αποδειχθούν οι σχέσεις

$\displaystyle{2s_4=s_2 ^2 }$ ,

$\displaystyle{6s_5=5s_2s_3,}$

$\displaystyle{6s_7=7s_3s_4,}$

$\displaystyle{10s_7=7s_2s_5,}$

$\displaystyle{25s_7s_3=21s_5 ^2,}$

$\displaystyle{50s_7 ^2=49s_4s_5 ^2,}$

$\displaystyle{s_{n+3}=abcs_n+\frac{1}{2}s_2s_{n+1}.}$

+διαστική

+διαστική

Re: +διαστική

Re: +διαστική

Re: +διαστική

Μέλη σε σύνδεση