Σύστημα !

#1

Να λυθεί το σύστημα

$\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x^2+y^2}=z+1\\ \sqrt{y^2+z^2}=x+1\\ \sqrt{x^2+z^2}=y+1\end{array}\right .$

#2

socrates έγραψε:Να λυθεί το σύστημα

$\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x^2+y^2}=z+1\\ \sqrt{y^2+z^2}=x+1\\ \sqrt{x^2+z^2}=y+1\end{array}\right .$

Έστω $\displaystyle{(x,y,z)}$ μια λύση του συστήματος. Είναι $\displaystyle{x,y,z\geq -1.}$
Ας θέσουμε για ευκολία $\displaystyle{x=a-1,y=b-1,z=c-1,}$ οπότε $\displaystyle{a,b,c\geq 0.}$

Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται

$\displaystyle{a^2+b^2-2a-2b+2=c^2,}$ (1)

$\displaystyle{b^2+c^2-2b-2c+2=a^2,}$ (2)

$\displaystyle{c^2+a^2-2c-2a+2=b^2.}$ (3)

Με αφαίρεση κατά μέλη των παραπάνω εξισώσεων ανά δύο, λαμβάνουμε

$\displaystyle{(a-c)(a+c-1)=0,}$

$\displaystyle{(b-a)(b+a-1)=0,}$

$\displaystyle{(c-b)(c+b-1)=0.}$

Αν υποθέσουμε ότι ισχύει $\displaystyle{a\ne b\ne c\ne a}$ ,

βρίσκουμε $\displaystyle{a+b=b+c=c+a=1,}$ άρα $\displaystyle{a=b=c,}$ άτοπο!

Άρα δύο τουλάχιστον εκ των $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ίσοι.

Ας υποθέσουμε, ότι $\displaystyle{a=b.}$

Τότε, οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται

$\displaystyle{2a^2-4a+2=c^2}$ (4)

$\displaystyle{c^2-2c+2=2a.}$ (5)

Μάλιστα, η (4) γράφεται και ως $\displaystyle{c=\sqrt{2}|a-1|.}$ (6)

Από τις (4),(5) προκύπτει $\displaystyle{a^2-3a+2=c \Rightarrow (a-1)(a-2)=c,}$ οπότε, λόγω της (6), είναι

$\displaystyle{|a-1||a-2|=\sqrt{2}|a-1|.}$ Άρα, $\displaystyle{a=1}$ ή $\displaystyle{a=2+\sqrt{2}}$ ή $\displaystyle{a=2-\sqrt{2}.}$

Τότε, εύκολα βρίσκουμε $\displaystyle{a=b=1,c=0}$ ή $\displaystyle{a=b=c=2+\sqrt{2}}$ ή $\displaystyle{a=b=c=2-\sqrt{2}.}$

Άρα βρίσκουμε $\displaystyle{x=y=0,z=-1}$ ή $\displaystyle{x=y=z=1+\sqrt{2}}$ ή $\displaystyle{x=y=z=1-\sqrt{2}.}$

Ανάλογα βρίσκουμε και τις τριάδες $\displaystyle{(0,-1,0),(-1,0,0)}$ και όλες ικανοποιούν το αρχικό σύστημα.

Σύστημα !

Σύστημα !

Re: Σύστημα !

Μέλη σε σύνδεση